Volume de la sphère

Bonjour, alors je te propose dans cette séquence de calculer la formule qui donne le volume de la sphère en fonction de son rayon. Alors tu peux bien imaginer que c'est une formule importante, on rencontre beaucoup les sphères en pratique. Voilà c'est illustré ici avec un exemple pas très scientifique bien sûr, mais néanmoins on a ici des sphères. J'ai la sphère ici qui est une boule de pétanque et la petite sphère ici qui est le cochonnet qu'on associe à ces boules. Voilà alors ces boules sont de taille différente, on le voit. Typiquement une boule de pétanque a un rayon de 3,6 centimètres alors que le cochonnet a 1,5 centimètre de rayon. Alors voilà pour illustrer la formule du volume de la sphère qu'on va obtenir dans quelques minutes, et bien je vais te poser une question, à ton avis combien de fois le cochonnet rentre, en termes de volume bien sûr, dans la boule de pétanque ? Combien de cochonnet on peut venir mettre ici dans cette boule ? Voilà fais-toi une idée de la réponse à cette question. On y répondra scientifiquement tout à l'heure dès qu'on aura la formule qui donne le volume de la sphère. Alors voilà, en attendant de répondre à cette question, calculons la formule qui va nous donner le volume de la sphère connaissant son rayon. Comment est-ce qu'on ferait bien ça ? Peut-être que tu as une idée, peut-être que tu pourrais t'inspirer de ce qu'on a déjà fait sur Clipédia, ce qu'on a fait dans une séquence il n'y a pas si longtemps, rappelle-toi quand tu as étudié sur Clipédia le lien entre la décomposition infinitessimale et la notion d'intégration, et bien tu as vu qu'on était passé par le calcul de l'air du cercle en décomposant le cercle ici en anneaux. La décomposition infinitessimale que je t'avais proposé était la suivante, on a décomposé l'air du cercle en l'air d'anneaux, on voit l'anneau ici en vert plus foncé, son air est donné par deux pierres d'air, et dans deux pierres on retrouve la circonférence du cercle. Ces deux pierres on le retrouve ici, on voit que c'est l'intégrante de cette intégrale, et si tu intègres cette intégrante ici, tu vas obtenir la formule πR², c'est la surface du cercle. Voilà, donc on voit ici qu'on s'en est sorti à partir de la connaissance de la circonférence du cercle, on a calculé la surface du cercle sur base de la connaissance de la circonférence du cercle. Et ici regarde ce qu'on a, on cherche le volume de la sphère sur base de, ben oui, tu l'as deviné, on va calculer le volume de la sphère sur base de la connaissance de la surface de la sphère. On est dans une situation tout à fait analogue, ici on connaissait la circonférence, la circonférence nous a permis de calculer la surface, et bien voilà, je te propose ici d'utiliser la connaissance de la surface de la sphère pour calculer son volume, et tu verras que la démarche va être tout à fait analogue à ce qu'on a fait dans cette séquence précédente sur Clipedia. Si tu n'as pas vu cette séquence, je t'invite à aller la voir, elle permet vraiment d'établir un lien entre cette notion de décomposition infinitésimale et cette notion d'intégral. Alors allons-y ici, si je veux me laisser inspirer par ça, que ce que je vais faire, et bien je vais décomposer le volume de la sphère ici en coquilles sphériques. Effectivement, voilà le volume de la sphère que je représente ici en coupe avec un plan diamétral, tu l'as compris, voilà le rayon de la sphère qui apparaît Et donc tout ce volume ici sphérique, et bien je te propose de le décomposer en coquilles sphériques définies par les sphères ici. Ces cercles représentent bien des sphères, tu dois tout imaginer à trois dimensions, c'est un peu plus compliqué que le cercle qui était bien plan ici. Maintenant tu dois t'imaginer que ces cercles ici ne sont que des coupes de sphères, de rayons, à chaque fois différents bien entendu. Alors ces coquilles sphériques ont une certaine épaisseur que je vais appeler dr, voilà r ici qui sera ma variable d'intégration, tu l'as déjà compris, ça c'est la variable avec laquelle je vais décrire ma décomposition infinitésimale. Je vais passer de valeur de r en valeur de r ici, chaque fois en faisant un petit saut de dr. Rappelle-toi dr est un infinitésimal, c'est une grandeur arbitrairement petite, arbitrairement proche de zéro. Voilà, alors on aura bien sûr besoin d'une volume, le volume de cette coquille sphérique sera ce qu'on appelle l'élément de la décomposition infinitésimale. Je cherche à calculer le volume, et bien je décompose ce volume en petit élément infinitésimal ici de volume. Le volume de cette coquille, je vais en avoir besoin, forcément, puisque c'est en sommant tous les volumes de toutes les coquilles qui apparaissent dans cette décomposition que je veux obtenir le volume complet de la sphère. Alors voilà, pour ça je vais me laisser inspirer par ce qu'on a fait pour le cercle. Regarde ici pour le cercle, j'avais cette décomposition en anneaux, chaque anneau avait une surface qui était donnée par le rayon qui est ici, tu le vois, c'était donné par r ici, multiplié par Et rappelle-toi, comment est-ce qu'on peut justifier ceci ? Et bien tout simplement parce que le 2πr ici, c'est la circonférence du cercle, et si je déplie cet anneau, je vais bien obtenir un rectangle de longueur 2πr et de hauteur dr. C'est bien la surface de cet élément de décomposition infinitésimale qu'il va me servir ici à obtenir cette intégrale. Comme tu le vois, je retrouve ici ce 2πr dr, c'est-à-dire ce ds. Voilà, et bien ce sera exactement la même chose qu'on va faire ici. Ici on a procédé à partir de la connaissance de la circonférence, et ici j'ai besoin d'un volume que je vais obtenir à partir de la connaissance de la surface. Si j'ai une surface ici, je la connais, c'est la surface de la sphère, c'est 4πr², attention, c'est bien r ici, le rayon de cette sphère. J'ai donc bien une surface sphérique ici, qui vaut 4πr², et sur cette surface, je viens mettre ici une épaisseur dr. Si dr est arbitrairement petit, et bien je pourrais faire comme ici. Comme j'ai fait ici, j'ai déplié cet anneau pour en faire un rectangle de longueur 2πr et de hauteur dr. Et bien ici, je vais faire la même chose, je vais quelque part découper cette coquille sphérique pour l'aplatir complètement. J'aurai donc un parallèle pipette, ou une forme d'une certaine surface, 4πr², sur une hauteur dr, qui me donnera le volume 4πr² dr. Alors voilà, on est un petit peu inconfortable avec ceci, parce que comme je viens de te le dire, ici je suis obligé de couper cette coquille sphérique pour imaginer que je l'aplatis pour avoir un volume qui est bien la surface aplatie, multipliée par la hauteur de cette surface. On a bien l'idée d'un volume là. Mais voilà, on sait aussi que ceci n'était pas la surface exacte. Ceci n'est valable que quand dr est effectivement un élément infinitésimal. On a dû le vérifier, on a vu ça de manière très précise. Comment est-ce qu'on pouvait justifier ceci ? Alors ici, je ne vais pas encore le justifier de manière précise, j'y reviendrai plus tard. Tu vas voir que je reviendrai sur cette expression de l'élément de volume de ma décomposition. Et tu vas voir que c'est tout à fait cohérent. On peut vraiment adopter ceci comme volume de l'élément de décomposition infinitésimal. La surface fois la hauteur, la surface fois la hauteur, c'est le volume. Voilà, connaissant ça, maintenant c'est parti. Je sais que je vais sommer tous ces dv pour avoir le volume total. Voilà le signe somme de l'émission, la notation ici du s pour somme. Le dv, c'est 4pi r carré dr. Voilà, c'est l'intégrale que je vais devoir faire. Alors on peut déjà sortir le 4pi, c'est une constante. On sait bien que si je somme tous les nombres multipliés par un même facteur, ce facteur peut sortir de la somme. Voilà qui est fait. Et voilà, je n'ai plus qu'à sommer ici ces r carré dr. Voilà, j'ai donc une intégrale. Il me manque forcément les bornes d'intégration. Pour ça, je sais que je vais sommer tous ces volumes de coquilles sphériques depuis zéro ici jusque grand R. Bien sûr, là je vais m'arrêter puisqu'il me faut le volume de la sphère de rayon grand R. Voilà, je vais donc aller de zéro à grand R. Et à partir de là, c'est un automatisme maintenant qui se met en route. Comment est-ce qu'on fait pour résoudre une intégrale ? Quand on reconnaît l'intégrante, c'est bien le cas ici, r carré. Je dois rechercher la primitive. Quelle est la fonction qui dérive et me donne r carré ? C'est un tiers de r cube, bien sûr. Je mets ce qu'on appelle cette primitive ici entre crochets et je mets les bornes. Voilà, alors c'est bien un tiers de r cube, on est bien d'accord. Si je dérive r cube, j'aurai trois r carré. Avec le 3 qui est ici au dénominateur, les trois vont s'en aller. Il me restera r carré. On voit bien que la dérivée de ceci, c'est l'intégrante. C'est donc bien correct. Je peux utiliser les bornes maintenant. Je vais remplacer le petit r ici par grand r. J'aurai un tiers de grand r cube moins un tiers de zéro au cube. Ça me donne zéro et donc le résultat, c'est un tiers de grand r cube. Voilà, c'est le résultat. On obtient pour le volume de la sphère la formule 4 tiers de pi r cube. C'est comme ça que je vais l'écrire là. Voilà, cette formule a été obtenue pour la première fois par Archimède au troisième siècle avant Jésus-Christ. Alors à cette époque, Archimède ne disposait pas de cet outil mathématique moderne que constitue le calcul intégral. Il a procédé tout autrement, de façon extrêmement élégante. J'ai préparé une séquence pour ça. D'ailleurs, je t'invite à aller la voir. Comment Archimède a-t-il fait pour trouver la formule du volume de la sphère ? Voilà, c'est le thème de cette séquence. Je t'invite à aller la voir. Tu verras, c'est très très élégant. Voilà, maintenant qu'on a la formule du volume de la sphère, je te propose de vérifier ici si ce qu'on a proposé pour ce volume était bien cohérent. Est-ce qu'on peut vraiment adopter ceci pour le volume de la coquille sphérique que j'ai ici dans ma décomposition ? Alors la réponse est oui. Tu peux bien l'imaginer, mais je vais le vérifier avec toi. On va voir si c'est cohérent avec ce que j'ai ici. Maintenant que j'ai la fonction V de R, je suis capable de calculer la différentielle de cette fonction par rapport à la variable V. Qu'est-ce que ça va être ? Cette différentielle, ça va tout simplement être, comme son nom l'indique, une différence entre le volume de la sphère de rayon R plus DR, la grande sphère que j'ai ici, c'est bien R plus DR, son rayon. J'ai donc un certain volume ici auquel je vais retirer le volume de la sphère de rayon R. Et à ce moment-là, quand j'aurai retiré à ce volume-ci le volume de la sphère intérieure, j'aurai forcément le volume de la coquille sphérique. C'est bien ce qu'on appelle ici la différentielle en termes de mathématiques, la différentielle qui est associée bien sûr à la différentielle ici de ma variable d'intégration. Voilà. Ce DV, donc ce n'est rien d'autre que le volume de la sphère extérieure de rayon R plus DR auquel je retire le volume de la sphère intérieure. C'est bien ce que je fais ici avec le signe en moins. C'est imparable. Ceci, c'est bien la différentielle de la fonction V associée donc à cette différentielle de la variable ici, radiale, qui me permet de décrire chacune des sphères. Voilà. J'espère que c'est bien clair pour toi. Essaye de ne pas oublier ce genre de choses. C'est important. C'est ce qui te permet de comprendre réellement ce langage mathématique pour bien l'appliquer quand tu dois résoudre un exercice. Voilà. Donc ça, c'est le DV. Et bien sûr, maintenant, je peux vérifier cette formule sur base de la connaissance de cette fonction. Je suis capable maintenant de calculer ce DV. Et pour ça, je vais tout simplement dire que j'ai un rayon R plus DR. Ici, c'était le rayon R que je vais donc remplacer par R plus DR. Tu vois bien que R est devenu R plus DR. Je le fais. R plus DR au cube. J'applique bien la formule. Quatre tiers de Pi, le rayon au cube. Moi, la même chose ici pour le rayon R. Voilà. Ça, c'est moins quatre tiers de Pi R cube. Voilà. J'ai un cube ici. Un binôme au cube. Comment est-ce qu'on fait ? Voilà. Mais d'abord, tu vois que je vais mettre en évidence ici le quatre tiers de Pi. Je le retrouve bien là et là. Comme ceci. C'est clair. Là, j'ai bien un binôme au cube ici. On sait que c'est le cube du premier terme plus trois fois le carré du premier avec le second. Tu le vois bien ici. Plus trois fois le premier avec le carré du second. Voilà. Plus le cube du dernier, du deuxième ici, terme du binôme. Moins R cube. Nous l'oublions pas. Moins R cube ici. Ce qui va bien sûr se simplifier. Le R cube qui est là. Voilà. Je le simplifie tout de suite. Et ici, qu'est-ce que je vois ? Je vois que j'ai quelque chose qui ne correspond pas à ça. Effectivement, je vois ici quatre Pi R carré DR que je vais retrouver bien sûr. Le 3 avec le 3 ici peuvent se simplifier. J'ai bien quatre Pi R carré DR. Mais je vois des termes en plus. Alors, pour voir ce qu'on peut faire de ces termes en plus, peut-être que tu as déjà entrevu, tu vois bien qu'ils apparaissent ici avec des puissances supérieures. Rappelle-toi, on peut supprimer ces puissances supérieures dès qu'on les voit. Mais voilà, on va le justifier proprement ici. Pourquoi on peut les supprimer ? Pour ça, je vais tout simplement mettre DR. Tu vois qu'il y a un facteur DR commun dans ces trois termes. Je vais le mettre en évidence. Il me restera donc un 3R carré, un 3R DR et ici un DR au carré. Tu es bien d'accord avec moi ? Et là, qu'est-ce que je vois ? Je vois qu'une grandeur infinitessimale, arbitrairement petite, ici aussi, puisque c'est au carré en plus, donc elle est vraiment très petite celle-ci, est comparée à une grandeur qui n'a absolument rien d'infinitessimale, c'est le rayon quelconque ici. Il est clair que DR étant un nombre arbitrairement petit, je peux forcément le négliger par rapport à ceci, de même que celui-ci. C'est évident que je peux laisser tomber ces termes. Voilà, et donc je vais donc laisser tomber ces termes de puissance supérieure à 1. Je ne garde que la puissance 1. Et qu'est-ce que j'obtiens ? J'obtiens 4 tiers de Pi x 3R carré. C'est bien le 4PiR carré que j'ai ici qui multiplie DR comme ici. C'est donc bien ça l'expression de la différentielle du volume. C'est bien correct. Je pouvais bien utiliser ceci que j'avais obtenu, juste sur base de l'intuition. J'ai une surface sur laquelle j'ai une certaine épaisseur. Je sais que quand j'ai une surface avec une certaine épaisseur, quand tout est plan, il me suffit de prendre cette surface et de multiplier par l'épaisseur pour en avoir le volume. J'ai pu faire la même chose ici sur une sphère, tout simplement parce que DR est un nombre arbitrairement petit, que aux puissances supérieures ici, qui en réalité, si DR n'était pas infiniment petit, devrait être prise en compte. Ceci peut être laissé tomber parce que DR est une grandeur infinitissime. J'espère que tu comprends bien ça. C'est vraiment important. Voilà. Tout ça pour dire qu'on a bien justifié ceci. C'est tout à fait cohérent avec le résultat qu'on a obtenu. C'était important à bien vérifier. Je simplifie encore le 3 pour bien obtenir 4PiR carré DR. C'est bien le résultat qu'on a. Voilà. Maintenant qu'on a fait ça, je te propose de prendre un petit peu de recul et de comparer ce qu'on avait fait pour le cercle ici à ce qu'on a fait pour la sphère. Alors voilà. Ici, j'obtiens l'élément de volume 4PiR carré DR. La surface fois l'épaisseur DR, ça donne le volume. Ici, on avait tout simplement la circonférence fois la largeur de l'anneau. Et bien ça nous donnait la surface DS. C'est tout à fait analogue. Que ce qu'on voit d'autre ici ? On voit que DS est donné par 2PiR DR et donc on voit que DS sur DR divisé par DR, ça me donne 2PiR. On voit que la surface du cercle dérivée par rapport au rayon du cercle me donne la circonférence du cercle. C'est ce qui est écrit ici. Si je fais le rapport des deux, je mets le DR là, j'obtiens ceci. Je vois que j'ai 2PiR, c'est la circonférence. Et c'est forcément cohérent d'un point de vue mathématique puisqu'on sait que la surface de ce cercle de rayon, le petit r, c'est PiR carré. Si je dérive ceci, je trouve bien 2PiR. 2PiR comme ceci. D'accord ? Et la situation est tout à fait analogue ici. Regarde, j'ai un volume infinitésimal qui est 4PiR carré DR qui me permet d'obtenir la dérivée du volume par rapport au rayon R et j'obtiens 4PiR carré. C'est logique. C'est bien la surface fois DR ici qui me donne ce volume. Si je le divise par DR, je retrouve bien la surface. Donc voilà, tu peux retenir que la dérivée du volume d'une sphère par rapport à son rayon va te donner la surface de cette sphère. C'est aussi simple que ça. La dérivée de la surface du cercle par rapport à son rayon va te donner la circonférence du cercle. Ce sont des petites choses qui sont pas mal à retenir pour avoir de l'aisance dans ce domaine, dans le domaine de calcul intégral, de la décomposition infinitésimale. C'est pas mal d'avoir ce genre de choses à l'esprit. On peut aussi dire ici que la circonférence du cercle, quelque part, c'est le taux de croissance de la surface du cercle quand le rayon augmente. Pour un DR donné, la surface augmente de 2PiR DR, donc par unité de longueur, le taux de croissance, c'est 2PiR, c'est la circonférence. Même chose pour la sphère. Le volume augmente avec un taux de croissance qui est donné par la surface de la sphère. Voilà, un de ces petites réflexions. Elles sont pas mal. Essaye de les mûrir. Elles pourraient être utiles lorsque tu appliques le principe de la décomposition infinitésimale pour faire ce type de calcul intégral. Voilà, on va revenir à notre petit problème maintenant. Maintenant qu'on a la formule qui donne le volume de la sphère, eh bien, on peut y aller. Je t'avais demandé combien de fois le cochonnet rentre dans la boule de pétanque. On peut y répondre maintenant. Je peux calculer ces volumes sans problème. Je remplace R par 3,6. Pour la boule de pétanque, 3,6 au cube, tu prends ta calculatrice, tu calcules tout ça. Si tu admets que Pi vaut 3,14, eh bien, c'est le calcul à faire qui va te donner, pour le cochonnet ici, la même chose avec un 1,5 au cube plutôt que 3,6 au cube. Ta calculette va donc te donner à peu près 195 centimètres cubes, alors que pour le cochonnet, tu vas obtenir 14 petits centimètres cubes. C'est vachement différent si tu fais le rapport des deux comme je te proposais. C'était la question que j'avais. Combien de fois le cochonnet va rentrer dans la boule de pétanque ? Eh bien, pour ça, tu fais 195, 195 divisé par 14. Eh bien, ça te donne à peu près 14 tout simplement. Et tu remarqueras que j'ai mis ici R cube sur petit R cube. Effectivement, si tu fais le rapport des deux volumes pour le rayon de la boule de pétanque et ensuite pour le rayon du cochonnet, 4 tiers de Pi va être un facteur commun dans cette division et tu auras juste R cube sur petit R cube et tu trouves 14. Le cochonnet peut rentrer 14 fois dans la boule de pétanque. C'est un peu surprenant, c'est beaucoup. Je ne sais pas si c'est le chiffre que tu avais, si c'est le nombre que tu avais à l'esprit. Mais voilà, les volumes laissent parfois des surprises. On le voit ici. C'est un nombre qui est probablement plus grand que ce que tu imaginais. Alors voilà, à propos de surprises, je t'avais promis dans la vidéo précédente, je ne sais pas si tu l'as vue, mais voilà, de calculer le volume d'une boule de l'atomium. On va le faire, sachant qu'une boule de l'atomium fait un rayon de 9 mètres. J'utilise ma petite formule pour le calculer. 9 au cube, c'est 729 et j'aurai donc ici à peu près 3000 mètres cubes. 3000 mètres cubes, c'est ce qui correspond à un bassin olympique qui fait 50 mètres de long, 25 mètres de large et 2,4 mètres de profondeur. C'est typique ici pour un bassin. Voilà, c'est toute l'eau que contient une piscine olympique. Ça peut paraître surprenant. Quand on traite de volume, on est parfois surpris. Il y a des résultats qui peuvent parfois paraître contre-intuitifs. C'est tout l'intérêt, bien sûr, des formules telles que celles-là. Elles sont précieuses en pratique pour quantifier les choses, pour dimensionner les problèmes. Ici, en l'occurrence, les problèmes qu'ils vont avoir avec des sphères. Voilà, c'est ici que se termine cette séquence. Je te remercie pour ton attention et te dis à très bientôt.