Première Spé maths et Term - Panorama sur la dérivation en première - Complet

Bonjour à tous, alors aujourd'hui je vous propose un bilan sur le chapitre dérivation du programme de première spécialité maths. C'est un chapitre assez long, qui est souvent divisé en plusieurs par les professeurs. On part d'abord du nombre dérivé et de la tangente, et ensuite on arrive sur le calcul de ce qu'on appelle les dérivés. Une fois qu'on a appris à dériver des fonctions, on voit à quoi sert justement cette dérivation, elle sert notamment pour l'étude des variations. Je vais rappeler rapidement un petit peu ce que c'est que le nombre dérivé, quel est le lien avec les tangentes, comment on obtient ces nombres dérivés à l'aide de limites de taux d'accroissement, quelque chose qui en général est compliqué pour les élèves, et qui sert finalement dans le programme de première uniquement à démontrer les formules qu'on utilisera plus tard, ce qu'on appelle les formules de dérivation. Il faut donc apprendre à dériver les fonctions constantes, les fonctions affines, les fonctions puissance n, la fonction inverse, la fonction racine carré, tout ça dans un tableau avec les domaines de définition, les domaines de dérivabilité pour chaque fonction. On rajoutera au cours d'année les fonctions trigonométriques sinus et cosinus. Ensuite on va apprendre à dériver des sommes de fonctions, on va dériver une fonction multipliée par un réel, tout ça nous servira à dériver les fonctions polynomiales. Ensuite on apprendra à dériver les produits, les quotients, et quelques formules. En plus il y a une dernière formule ici, qui s'appelle la dérivée d'une composée affine. Je verrai un petit peu avec vous du hors-programme, en ce qui concerne les applications, on verra le lien avec les sciences de variation de fonctions, et aussi ce qu'on appelle la convexité. Il y a pas mal de choses à dire, je vais aller vite, ce n'est pas un cours où je vais tout démontrer, je vais juste faire un panorama assez rapide, mais j'espère qu'on plaît. On est parti avec ce fameux nombre dérivé, qu'est-ce que c'est que ça ? Tout d'abord, vous avez certainement commencé par l'étude de la courbe de la fonction carrée, cette fameuse parabole, ici j'ai créé un point, et comme ça je peux le mettre un petit peu où je veux. Au départ on met souvent en 1, cet endroit là, et on regarde un petit peu ce qui se passe quand on s'approche, et on voit que quand on s'approche d'une courbe, qui est comme ça une courbe, comme celle des carrés, comme celle de toutes les courbes que vous avez bien tracées, en général quand on fait un zoom sur une courbe, on a l'impression qu'à un moment on a devant nous une droite. Evidemment ce n'est pas une droite, mais ça y ressemble beaucoup. Et donc l'idée, c'est d'aller chercher la droite justement en question. Donc ici, alors elle n'est pas ici cette droite, c'est celle-ci, et plus je vais zoomer, plus autour de A est cette droite. Donc après on recule, et donc la droite qu'on a obtenue par zoom, on va lui donner un nom, ça s'appelle la tangente. On démontre qu'elle est unique, c'est la droite qui approxime au mieux la fonction quand on est au voisinage, quand on est très près d'un point donné, et donc à chaque point de la courbe, vous avez une tangente différente. Ici vous voyez, j'ai représenté, en fonction de là où je mets le point, vous avez en fait une tangente différente. Alors ce qu'on remarque quand il nous servira dans les applications, c'est que quand la tangente est une droite qui monte quand on va de gauche à droite, la courbe aussi monte à cet endroit là, donc il y a un lien entre les variations de la fonction et les coefficients directeurs des tangentes, donc on s'oriente tout de suite vers la recherche de ces coefficients directeurs, comment on trouve le coefficient directeur d'une tangente, et bien ça c'est assez abstrait, et on utilise pour ça la notion de séquence. On va placer un autre point sur la courbe, un point que j'appellerai M, alors le point M il est ici, vous voyez, je le mets ici, donc c'est un point quelconque sur la courbe, je vais placer A d'abscisse 1, et bien M je vais l'appeler, je vais lui donner comme abscisse 1 plus H, vous voyez que je peux faire varier H, ici H égale 0,6, si je fais bouger H, et bien le point M s'éloigne ou se rapproche du point A. Donc, une fois qu'on a ce point, on va tracer la droite AM. A est fixée, le point M va bouger, cette droite AM s'appelle une séquence, vous voyez qu'elle coupe la courbe en deux endroits, ici, et quand je vais rapprocher le point M du point A, et bien regardez, la séquence, ici en violet, va se rapprocher de la tangente. Et donc, on va essayer de mettre en place un processus qui permet de calculer les coefficients directeurs de ces séquences, et de voir comment on peut approcher avec ça le coefficient directeur de la droite verte, donc ce qu'on appellera la tangente. Vous voyez que j'arrive par la gauche, par la droite, la droite violette, ici, a tendance à se coller au fur et à mesure qu'on rapproche le point M, donc du point A, elle a tendance à se coller sur notre tangente. Je vais rappeler que le coefficient de la droite AB, si A et B sont deux points ici, avec des abscisses différentes, et bien c'est yA moins yB sur xA moins xB, d'accord ? Pour une fonction, je vais prendre a, quelqu'un, un réel dans le domaine de définition de f, et je vais regarder f2a, et je vais prendre le point A d'abscisse a, et d'ordonnais f2a, c'est un point de la courbe, pareil, je vais prendre M d'abscisse A plus H d'ordonnais f2a plus H, et donc deux points de la courbe. Quand je calcule le coefficient de la droite AM, c'est ce qu'on appelle une séquente, et bien on trouve quoi ? yM moins yA sur xM moins xA, ça veut dire exactement f2a plus H moins f2a sur H, ce fameux quotient qu'on appelle le taux de variation de f entre A plus H et A. On va faire rapprocher le point M du point A, donc ça veut dire que f2a plus H va se rapprocher de 0 et donc c'est pour ça qu'on va regarder ce qu'on appelle la limite quand H tend vers 0 de f2a plus H moins f2a sur H. Si cette limite est un nombre réel petit l, et bien dans ce cas là, on dit que ce nombre petit l, c'est le nombre dérivé de f en A, ça c'est très important. Et ça veut dire que graphiquement, la pente de la tangente au point d'ab6 petit a, c'est-à-dire ce que j'ai appelé point, et bien cette pente, ce coefficient directeur, c'est petit l. Donc en faisant cette limite, on calcule le coefficient directeur d'une tangente. Dans le cours, si f est dérivable en A, f'2a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'ab6a, donc ça c'est cette réalité là. Maintenant, propriété, équation de la tangente, qu'il faut connaître absolument par cœur, la tangente au point d'ab6 petit a, et bien là pour l'équation y égale f'2a fois x-a plus f2a. Et ça, c'est à connaître par cœur. C'est donc l'équation d'une tangente. Ça veut dire que quand on est tout près de petit a, f'2x, et bien sa valeur est à peu près f'2a fois x-a plus f2a. Donc ça, c'est la première partie du cours qui peut stresser les élèves, parce que il y a des histoires de limites. Ensuite, on passe sur une deuxième partie, qui s'appelle le calcul des fonctions dérivées. Qu'est-ce que c'est qu'une fonction dérivée ? Et bien comme votre fonction f admet partout des nombres dérivés, et bien on dit qu'elle est dérivable sur l'ensemble considéré, donc sur un intervalle i, toujours un intervalle pour l'instant, et après on étendra ça à des réunions d'intervalles, dire que f est dérivable sur un intervalle signifie que f est dérivable en tout réel de cet intervalle. Et là arrivent donc les fonctions, les formules qu'il va falloir apprendre par cœur. On commence toujours par la fonction constante. Si on prend une fonction constante, donc si une fonction, pour toute x, si on a f de x qui est égale à par exemple 4, alors, on dira que la fonction f a pour dérivé la fonction d'expression f' de x. La dérivé de f, c'est la fonction qu'on appelle f' qu'on note f', là on lit f' c'est un apostrophe, mais on lit ça prime, f' de x égale, et donc ça donne 0. Quand on dérive une constante, ça fait toujours 0. Que vous mettiez 4, 14, 143, 1.43, moins 1.43, tout ça aura pour dérivé la fonction nulle. Et donc on apprendra que la fonction constante donc qui a x associé à a étant un réel, a est un réel fixé, cette fonction est dérivable sur a, et la fonction dérivée, c'est-à-dire la fonction qui donne les coefficients des vecteurs des tangents, et bien c'est la fonction nulle. Donc si vous avez f' f de x égale 8, et bien on en déduira que f' de x est égale à 0. Et ça, pour tout x réel. D'accord ? Et on répète à la place de 8, vous mettez n'importe quel nombre réel. La condition qui ne bouge pas pour toute la fonction. Donc ça s'appelle les fonctions constantes. Une fois qu'on a fait les fonctions constantes, on va s'attaquer aux fonctions affines. Quand on a une fonction dont l'expression est ax plus b, et bien la dérivée, c'est-à-dire la fonction qui donne les coefficients des tangents, elle est donnée par l'expression f' de x égale petit a. Donc ça, ça se comprend. Tout comme la première d'ailleurs. Quand on trace la courbe d'une fonction affine, d'une droite de pente a, donc imaginez que c'est ceci, et bien quand on veut la tangente de cette courbe, bien la courbe étant déjà une droite, elle est sa propre tangente. Donc la tangente a pour coefficient directeur le même coefficient que la courbe. Ça veut dire que c'est normal de trouver ici comme dérivé petit a, puisque petit a c'est le coefficient directeur de votre courbe. Et d'ailleurs quand on a des constantes, ça vous donne des courbes pour des droites horizontales qui ont des pentes qui sont bien égales à 0. Donc c'est normal que la dérivée d'une constante soit nulle puisque la pente des fonctions constantes est égale à 0. Ainsi dans les tableaux, l'ensemble de définition des fonctions affines c'est R, ça c'est l'expression la dérivée c'est a. Et l'ensemble de dérivabilité c'est dérivable partout, c'est à dire que partout il y a une tangente ici non verticale de pente petit a. Alors dans la pratique, vous aurez par exemple la dérivée la fonctionnelle d'expression 4x moins 2, et bien dans ce cas là, pour x appartenant à R, R' sera toujours égale à 4. Alors certains vont dire mais qu'est-ce que devient le moins 2 ? Et bien le moins 2 c'est une constante, il n'intervient pas sur la pente. D'ailleurs la pente d'une fonction affine n'est uniquement déterminée que par le coefficient réacteur, le coefficient qui est devant x. D'accord ? Donc c'est normal qu'en dérivant, le nombre moins 2 disparaisse. On peut d'ailleurs dériver des fonctions plusieurs fois mais on obtient une autre fonction qui s'appelle la dérivée seconde. Si je dérive une deuxième fois, je n'ai plus f', j'ai ce qu'on appelle f''. On verra, ça peut s'interpréter. Et quand on dérive ici 4, et bien vous voyez que 4 est une constante, donc quand on dérive une constante, ça donne 0. Voilà, donc ça s'appelle la dérivée seconde. Donc quand on vous dit de dériver, vous dérivez une seule fois. Vous ne dérivez pas deux fois. Si vous dérivez deux fois, vous obtenez une autre fonction. Maintenant, on continue avec, vous voyez dans le tableau, les fonctions puissance. Alors la propriété nous dit, alors tout ça, ça se démontre avec les limites de taux de variation. Et les fonctions puissance, xn, et bien la dérivée est très simple, c'est n xn-1. Elles sont définies sur R, ces fonctions puissance n. Elles sont dérivables sur R. Et la dérivée de x puissance n, c'est n xn-1. n étant un entier non nul. Donc ça donne quoi cette formule ? Et bien, ça veut dire que si votre fonction a pour expression x3, et bien sa dérivée, c'est bien mon h3x3 Alors ça c'est n, je mets 3 devant, et je diminue la puissance. J'avais du cube, je n'ai plus que du carré. Quand on dérive un polynomial, ici le degré 3, ça descend d'1. Donc ça devient un polynomial degré 2. C'est très simple, si j'avais mis à la place x4, et bien f' aurait donné 4x3. Le degré du départ devant, et ici ça a baissé de 1. Si je dérive x5, j'aurai 5x4. Si je dérive x12, ça fera 12x11. Vous voyez, c'est très simple. Ensuite, il existe deux fonctions. C'est clair qu'il faut bien apprendre à dériver. La fonction, alors je vais commencer par la fonction inverse. Alors celle-ci, elle est définie sur une réunion d'intervalles, ce qu'on appelle R étoile, donc R privé de 0. On peut écrire ça R privé de 0. Sur chacun des intervalles, elle est dérivable. Donc elle est dérivable aussi sur l'union. Et ça, la dérivée a pour expression, vous apprenez par coeur, ça se démontre aussi avec le taux de variation. (-1 sur x²). Si vous voulez la démonstration, vous regardez sur le livret, ici c'est un QR code, vous ouvrez la vidéo, et je fais la démonstration. Donc là, vous apprenez ça par coeur. Pour la fonction racine carré, alors la fonction racine carré, elle a une petite particularité par rapport à toutes les autres. Ici, la fonction inverse, elle est dérivable sur R étoile, définirable sur R étoile. Par contre, la racine carré, il y a un petit point important, c'est qu'elle est définie sur 0 plus l'infini, ce qu'on appelle R+. Par contre, on ne veut pas la dériver en 0, donc elle est dérivable sur l'ouvert. On ouvre en 0. 0 ouvert plus l'infini. Et la formule, on l'apprend, c'est pareil. Si vous voulez la démonstration, vous allez voir la vidéo. F' pour la fonction racine, c'est 1 sur 2 racine de x, voilà. Alors des fonctions un petit peu particulières, on verra. Quand j'en aborde pas forcément la fonction valeur absolue, je vais quand même en parler rapidement. Pour faire un panorama. La fonction valeur absolue, elle est, je rappelle que la courbe de la fonction valeur absolue sur les noms positifs, c'est f de x égale x et sur les noms négatifs, f de x égale moins x. Donc on a une courbe assez connue qui est en pointe, comme ça avait une pointe ici. Et donc cette fonction est particulière par rapport aux autres. On a vu que racine carrée, elle avait un petit peu de curiosité, elle n'est pas dérivable en 0. La valeur absolue aussi, mais ce n'est pas pour la même raison. Parce qu'ici, quand on est à droite, la pente, vous voyez, ici on a une pente égale à 1 quand on est à droite de 0, quand on est à gauche, on a une pente égale à moins 1. On a ici quelque chose qu'on dit en maths non dérivable, c'est non dérivable en 0, c'est parce qu'il y a en fait deux tangentes distinctes, une à gauche et une à droite. Quand on dérive la fonction valeur absolue, on ne le fera quasiment jamais en première, mais si on doit dériver, il faut séparer. Vous dérivez sur l'ensemble des noms positifs, ça donnera 1, vous dérivez sur l'ensemble des noms négatifs, ça donnera moins 1. Vous voyez, on a ce qu'on appelle une dérivée discontinue. Moins 1 du côté gauche et 1 du côté droit. Donc en 0, le raccord ne se fait pas, il n'y en a pas de dérivée en 0. Si vous voulez un petit peu plus de détails, c'est comme je vous dis, allez voir la vidéo. Maintenant, bien toutes les fonctions ne sont pas si simples. Autrement dit, on ne fait pas tout avec les fonctions à constante, affine, puissance, 1 sur x, racine de x, alors il y en a d'autres. Je vais peut-être vous donner celle-ci aussi tant qu'on y est. J'aurais dû peut-être parler de 1 sur x puissance n. Alors on ne fait pas tout avec les fonctions que je viens de citer, il y en a d'autres. Il y en a notamment une autre, 1 sur x puissance n. On apprendra à dériver, mais ici vous pouvez apprendre tout de suite que cette fonction est dérivable sur l'étoile, elle est définirable sur l'étoile, donc partout sauf en 0, et l'expression de sa dérivée, c'est des formules qu'on apprend. C'est moins n sur x puissance n plus 1. Attention à ne pas mélanger avec les fonctions puissance n, on a dérivé, donc ici n x n moins 1. Ici la puissance de degré diminue, ici le degré augmente. On a moins 1, ici on a plus 1. Alors une vue, parce qu'en fait c'est la même chose. Pourquoi je dis que c'est la même chose ? Pourquoi ce plus 1 et ce moins 1 sont la même chose ? Parce qu'on pourrait considérer que 1 sur x puissance n, si on l'est, puis autrement c'est x puissance moins n. Et donc si j'applique le même processus de dérivation à ça que j'ai aux fonctions puissance, j'ai là le degré qui va aller devant, moins n, et ici la puissance qui diminue de 1. Comme les fonctions puissance n, et vous voyez que là, une fois que je remets ça en dessous, j'ai en fait moins n sur x puissance, l'opposé de moins n moins 1 qui n'est que n plus 1. Donc cette formule ici, eh bien ça n'est qu'une extension de celle-ci pour des nombres n qui sont négatifs. D'accord ? Donc ça c'est des petites astuces pour se rappeler les formules, mais en première je crois qu'il suffit d'apprendre vraiment moins n sur x puissance n plus 1 c'est très bien, une fois que vous la saurez ce sera bon. On parlera des fonctions sinus et cosinus plus tard, il faut juste savoir que sinus en dérive en donne cosinus, et cosinus en dérive en donne moins sinus. Alors maintenant, eh bien toutes les fonctions ne sont pas si simples que celles que je viens de citer. Donc prenons un polynôme tout simple, x² plus x, une somme de deux fonctions de référence. On sait dériver x², on sait dériver x. Eh bien une phrase qu'il faudra retenir, c'est que la dérivée d'une somme, c'est la somme des dérivés. Autrement dit, si on a la dérivée de la fonction u plus v, eh bien sa dérivée sera u' plus v. Et on peut dériver une somme sur l'intervalle où les deux sont dérivables. Donc ici, si je veux dériver x² plus x, eh bien je sais que x² et x sont dérivables sur R. Donc ici sur R, je pourrais dire que la dérivée de cette somme, c'est la somme des dérivés. On dit en maths qu'on dérive terme à terme. Je prends le premier terme x², je le dérive, ça me donne deux x. Je passe au deuxième, je dérive donc x, je me souviendrai 1, puisque x est une fonction affine de coefficient 1, sa dérivée vaut 1. Et vous voyez, j'ai dérivé une somme. Donc après, j'aurais pu rajouter, par exemple, plus x³. Eh bien là, j'aurais dérivé terme à terme, j'aurais dérivé aussi le terme x³ qui me donnerait plus 3x². J'aurais pu rajouter x7, ça m'aurait donné 7x6. Vous voyez qu'on dérive une somme terme à terme. La dérivée d'une somme, je répète, est la somme des dérivés. Autre exemple, si je me place sur R étoile plus, c'est-à-dire les nombres positifs non nuls, eh bien je peux dériver x, je peux dériver racine de x, je peux dériver 1 sur x, si je dérive cette somme, c'est tout simple à dériver. On dira que f est dérivable comme somme de fonction dérivable sur R plus étoile, et la dérivée de x, ça revoit. La dérivée de racine de x, c'est 1 sur 2 racine de x, et la dérivée d'1 sur x, on l'a vu, c'est moins 1 sur x. Vous voyez, je dérive encore une fois terme à terme. Ensuite, on a aussi des fonctions très simples, qui sont par exemple les fonctions 7x². Si je multiplie x² par 7, eh bien quand on multiplie une fonction par 7, il faut bien comprendre que les pentes de la courbe sont aussi multipliées par 7. Donc la dérivée de 7x², c'est tout simplement 7 fois la dérivée d'x². La dérivée d'x², on l'a dit, c'était 2x. Donc quand on multiplie une fonction par une constante, sa dérivée est multipliée par la constante. On dira, en termes de formule, que la dérivée de ku, et on mettra ça comme ça, c'est k fois la dérivée de u, c'est ku prime. Donc ku prime, entre parenthèses, égale k fois u prime. C'est donc vraiment une des formules les plus importantes qu'on utilise, sans s'en rendre compte à force, puisqu'on l'utilise tout le temps. Ça veut dire que dès maintenant, on peut dériver tous les polynômes, puisque les polynômes ce sont des sommes. Toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur R comme somme de fonctions de puissance entière. Donc un exemple, je prends f2x égale 3x4 moins 2x3 plus x2 plus 4x moins 1. Regardez, on peut dériver ça sur R comme tous les polynômes. J'aurai donc 3 fois la dérivée de x4, donc 3 fois 4x3 moins 2 fois la dérivée de x3 qui est 3x2 plus une fois la dérivée d'x2 qui est 2x, plus la dérivée de 4x moins 1. Alors le 4x donne 4, le moins 1 est une constante, donne 0. Et dans la pratique, on ira même beaucoup plus vite. On fera directement ici 3 fois 4 12x3 moins 2 fois 3 6x2. Vous voyez, on multiplie la puissance par le coefficient plus 2x plus 4. Voilà comment on dérive un polynôme. Deuxième exemple très rapide, je prends 4x2 moins 2x plus 3 j'aurai comme dérivé une fonction d'expression, donc 4 fois 2 8x moins la dérivée de 2x plus 3 qui est 2. Vous voyez, quand on dérive un polynôme d'ailleurs le degré diminue. On avait un degré 4, on a maintenant un degré 3. On avait un degré 2, on a maintenant un degré 1. On peut aussi dériver une deuxième fois, une troisième fois, une quatrième fois, on peut dériver autant qu'on veut. On obtient une nouvelle fonction. Si je dérive ici une fois ce polynôme, j'aurai 6x2 plus 4. Si je dérive une deuxième fois, j'aurai ce qu'on appelle la dérivée seconde. 6 fois 2, 12, 12x plus 4. Si je dérive une troisième fois, j'aurai f tierce, la troisième dérivée. J'aurai donc ici 12. Et si je dérive une quatrième fois, alors quand on dérive à un moment on ne met plus comme ça 4 petits, on met un petit 4 entre parenthèses. Et ça c'est la dérivée quatrième fois. On fait ça très très peu en première, je vous le dis, on s'arrête la plupart du temps sur la dérivée seconde. Et si je dérive 12, on obtient 0. Vous voyez qu'après toutes les dérivées sont nues. Donc on peut dériver autant de fois qu'on veut un polynôme, il n'y a pas de problème. Et d'ailleurs GeoGebra dérive très bien. Vous voyez si je mets f ici et je mets f prime en dessous, je valide, j'obtiens la dérivée. Je peux dériver une deuxième fois f prime prime, et j'obtiens ceci. Je vais m'essayer, 1, 2, 3, je peux dériver 3 fois. Ça marche très bien. Si je dérive 4 fois, ça marche encore. Vous voyez que les dérivées fonctionnent très bien. Et 5 fois, vous voyez qu'à chaque fois mon polynôme descend d'un degré pour finir à 0 au bout de la cinquième dérivation. Donc maintenant on sait dériver des sommes, des produits par une constante. Maintenant il reste deux formules à voir. On ne travaillera pas ici, mais je vais vous les donner. Il faut savoir dériver des produits et des quotients. Par exemple, ce quotient, autre exemple, ce produit. Voilà, tout ça, ce sont des choses qu'on sait dériver. Mais attention, autant la dérivée d'une somme c'est la somme des dérivés, autant le produit La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivés. Et la dérivée d'un quotient n'est pas non plus le quotient des dérivés, ce sont des formules un petit peu plus élaborées. Par exemple, le dérivé de u fois v, ce qu'on notera u fois v prime, c'est u prime v plus u v prime. On peut dériver un produit à condition que les deux soient dérivables. Donc ici, vous voyez, quand on va dériver la fonction g, ça me donnera une dérivée qui sera d'abord un produit à réaliser, le produit u prime v. Je dois dériver le premier facteur, x plus 1, donc ça me donne 1, fois le deuxième, plus le premier que je ne touche pas, x plus 1, et maintenant je dérive la racine carrée. Et ça donne ceci, vous voyez, ce sont des dérivés plus compliqués à obtenir. Donc on va s'entraîner, évidemment. Donc ici, vous voyez, il faut bien trouver qui est la fonction u, donc là j'ai u de x, la racine carrée de x ça sera v de x, et vous voyez, j'ai mis ici u prime v plus u v prime. Il faut vraiment apprendre sa formule. Si on va dériver u sur v, et bien c'est pareil, u sur v c'est une formule. On pourra dériver u sur v quand u et v sont dérivables, et quand v est non nulle. Attention, parce qu'on a une division par v. Et là, ce sera un quotient. Alors le haut ressemble un peu, ça commence pareil, u prime v, mais attention, il y a un moins. Source d'erreur. Donc u prime v moins u prime v sur v, car, encore une fois, il faut bien une heure ou deux d'entraînement pour maîtriser toutes ces formules. Mais maintenant, on sait dériver des sommes, des produits, des quotients. On peut, grâce à ça, obtenir d'autres formules, par exemple u carré, parce que moi je sais dériver u fois v, mais si je dérive u fois u, et bien c'est un produit, ça sera donc u prime u plus u prime u, je retiens, vous voyez, deux fois u prime u. Ça veut dire qu'on pourrait apprendre que la dérivée de u carré c'est deux fois u prime u. Alors en première, on reste assez raisonnable sur la dérivation, mais on peut déjà s'entraîner à savoir faire des choses un petit peu intéressantes. Par exemple, on peut aussi apprendre la dérivée de 1 sur u, parce que c'est un quotient, et si j'applique la formule précédente, j'obtiendrai moins u prime sur u carré. Donc je vous conseille déjà d'apprendre ces formules, même si on s'en servira assez peu, ça dépendra un petit peu de votre prof. Ensuite, il nous reste donc ici une petite formule. Une définition d'abord de ce qu'on appelle les fonctions rationnelles. Alors on connaît les fonctions polynomiales, et bien les fonctions rationnelles, ce sont des quotients de deux polynomes. Et donc ça intervient quand on apprend à dériver des quotients. Petit exemple rapide, x plus 1 sur x plus 2, c'est ce qu'on appelle une fonction rationnelle, c'est un quotient de deux polynomes. C'est défini sur r plus v de moins 2, dérivable aussi sur r plus v de moins 2. On apprendra que les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définitions, et ici, ça se dérivera avec la formule u prime v moins u prime, sur v carré. Donc déjà, sur le dénominateur, x plus 2 au carré. Vous voyez, après, vous allez apprendre, bien sûr. Peut-être un peu vite, mais ici, on va dériver x plus 1, ça me donne 1, multiplié par le dénominateur, au cas où on ne touche pas, moins x plus 1, multiplié par la dérivée du dénominateur. La dérivée de x plus 2, c'est 1. On n'a aucun souci, vous voyez. Après simplification, les x disparaissent, il me reste 2 moins 1, il me reste 1 sur x plus 2 au carré. Voilà comment on dérivera des quotients. Évidemment, il y a tout un travail de plusieurs semaines qui vous attend. Il reste une dernière formule, la plus dure, on va dire, auxquelles je ne m'attarderai pas, quand on a une fonction, ici, qui est du type f de x plus b. C'est-à-dire, kx, vous associez f de x plus b. Pour dériver ça, si ça, j'appelle ça la fonction g, g prime de x, là où c'est dérivable, vous aurez on va dériver x plus b, a qui va sortir, ça sera a fois f prime de x plus b. Alors on se dit, mais qu'est-ce que c'est qu'avec ça ? Eh bien regardez, si par exemple je dois dériver g de x égale racine carrée de 2x plus 1. Eh bien ça, c'est tout simplement f de x plus b avec f de x égale la racine carrée. Donc ça, ça va être dérivable quand la racine dans ce cas-là est non nulle, on y reviendra, parce que ça c'est un petit peu rapide ici, mais la dérivée donnera tout simplement, j'applique la formule, a, c'est le nombre de fois la dérivée de la racine carrée qui est 1 sur 2 racine carrée de x, mais que j'applique en 2i plus 1. Ça c'est la formule la plus dure dont je vous le dis, on ne va pas travailler là, mais c'est un petit travail d'une heure ou deux au minimum pour bien maîtriser et manipuler cette chose. Dans la deuxième partie on va dire, l'application à dérivation, vous allez apprendre, c'est vraiment important en propriété outerraine, qui dit la chose suivante, si on prend une fonction f définitive sur un intervalle i, il faut vraiment un intervalle, si la fonction est croissante, ça veut dire que c'est à dérivée positive et surtout si c'est à dérivée positive la fonction est croissante, donc il y a équivalence entre la croissance de la fonction et la positivité de la dérivée. Donc le signe de la dérivée nous donne les variations de f. Ça veut dire que le signe de f prime, ça équivaut à la variation de f, si vous avez l'un, vous avez l'autre. Un petit exemple, si je prends f2x égale x2 plus 2x moins 1, et bien quand je calcule f prime, je obtiens donc 2x plus 2, et bien je vais aller à l'instant dans le tableau de signe de f prime, je suis sur R, donc moins infini plus infini, je regarde le signe de 2x plus 2, ça s'annule en moins 1, c'est une expression affine la coefficient ici positive, donc c'est moins plus, et on en déduira que les variations de f sont, en fonction de x, décroissantes et croissantes. Et réciproquement, si vous savez que la fonction est décroissante ou croissante, ça implique que sa dérivée sera négative positive. Il est donc question d'une propriété capitale cette année, c'est la suivante. Quand vous avez donc f prime positive sur un intervalle i, et bien ça implique que f est croissante sur ce même intervalle. Alors ça, c'est vraiment la propriété qu'on utilisera tout le temps, et on peut même le faire dans l'autre sens, si la fonction est réelle, si elle est croissante, sa dérivée est donc positive. Et on a donc ici f prime inférieur ou égal à 0 donc sur i, f est décroissante sur cet intervalle. Donc toujours, on pense à intervalles, c'est sur des intervalles, ces propriétés-là. Et on a un petit exemple qui nous force à être un tout petit peu plus précis, parfois, si on regarde x cube. Quand je dérive x cube, ça me fait 3x², si vous avez bien compris le principe de dérivation. Donc quand je vais étudier le signe de f prime, bien sûr, R 3x² s'annule en 0. Il y a un endroit où la dérivée s'annule, par contre c'est un carré, 3x² c'est positif. Donc on a bien ici f prime qui est positif, ça veut dire que la fonction est croissante. Il faut bien comprendre que les flèches ici, c'est mieux que de la croissance, c'est de la stricte croissance. Ça veut dire que, ici, quand vous mettez une flèche qui descend, il n'y a pas de zone où il y a des petites parties horizontales. Jamais deux éléments ont la même image sur une flèche. Donc ici, la question qu'on peut se poser c'est, qu'est-ce qu'on fait de ce 0 ? Eh bien, une propriété importante, et donc une propriété terminale qu'on peut aussi utiliser, et en première, c'est que si f prime est positive sur l'intervalle et s'annule un nombre fini 2 fois, eh bien la fonction est strictement croissante. C'est un petit peu plus fort, et donc on en a besoin, ça veut dire qu'ici, la fonction cube, elle est strictement croissante même si sa dérivée s'annule une fois. D'ailleurs, cet endroit où la dérivée s'annule sur la courbe, ça va s'appeler un point d'inflexion. Et le programme, en fait, de première, eh bien s'arrête ici. Alors on peut rajouter une petite partie qu'on peut faire même en première en termes de difficultés, mais qui est hors programme, qui est hors programme de terminale, c'est ce qu'on appelle l'étude de la convexité. Et pour ça, il faut aller chercher les variations de f prime. Ici, pour la fonction cube, on a dit que f prime, c'était 3x2, eh bien on peut aller chercher les variations de f prime. Alors pour avoir les variations de f prime, on calcule f seconde. Je vous en ai déjà parlé tout à l'heure. f seconde de x ici, ça me fera 3 fois 2x, donc 6x. Eh bien, si je représente les variations de f prime, il faut que je fasse le tabotier de f seconde. Donc vous voyez, f seconde ici, ça s'annule, 6x s'annule en 0. C'est négatif positif, puisque c'est une fonction affine croissante, et donc ça veut dire que f prime va être décroissante croissante. Donc les pentes, parce que f prime c'est les pentes de la courbe de f, les pentes dédiminuent et ensuite préaugmentent. Eh bien, quand les pentes d'une fonction diminuent, on dit qu'on est sur une zone où la fonction est concave. Et si on est sur une zone où ça monte, on dira que la fonction est convexe. Regardons la courbe. Elle est ici. Vous voyez que avant ce point là, on a à gauche une forme assez différente du côté droit. Ici, si je trace une tangente, les tangentes sont toujours au dessus de la courbe. Quel que soit l'endroit où vous placez avant la vis verticale, vous avez une partie qui est plutôt la partie d'une parabole inversée. Alors qu'à droite, vous regardez, on a plutôt une forme d'une parabole qui est tout à fait normale. Et les tangentes, vous voyez, sont en dessous de la courbe. Donc la zone de gauche, c'est une zone où la fonction est concave, ça veut dire que la courbe est en dessous de ces tangentes. Et à droite, on a une zone où on dit que la fonction f est convexe. C'est une zone où les tangentes sont sous la courbe. Et pour repérer les zones de concavité, il faut aller chercher soit les variations de f', les zones concaves, c'est quand les pentes diminuent, autrement dit, quand la dérivée seconde est négative. Et les parties convexes, c'est-à-dire qui ressemblent plus à des paraboles orientées normalement vers le haut, on a des pentes qui augmentent. Donc f' augmente et f'' est positif. Vous voyez que les études de signes, en fonction du signe qu'on étudie, si c'est celui de f', le signe de f' donne les variations de f, tandis que le signe de f'' vous verrez que le signe de f'' ça renseigne sur les variations de f', puisque f'' c'est la dérivée de f'. Et donc ça va renseigner sur la convexité ou la concavité convexité ou la concavité de f. Donc c'est pour ça qu'on attend un petit peu pour faire ça, on fait ça en terminale, mais on pourrait en termes de difficulté mathématique faire ça en première, puisque ce n'est qu'une étude de signes. Le signe, par contre, de la dérivée seconde, voilà. Donc, le panorama un petit peu complet, je pense, de la dérivation au lycée. Je vous souhaite une bonne journée, à très bientôt.