Gleichungssysteme - Einführung

Moin Leute! Herzlich Willkommen auf unserem Kanal. Mathe leicht gemacht. Heute mit der Playlist der Gleichungssysteme. Und zwar gucken wir uns hier zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten an. Wie wir das umformen, wie wir das lösen können. Hierfür ist es sinnvoll oder fast nötig, dass man die Playlist der Äquivalenzumformungen sich schon angeguckt hat oder dass man es drauf hat. Genau, dass man hier wisst, wie man eine Gleichung mit einer Unbekannten irgendwie auflösen kann. Genau. Das sollte man dafür können. Hier gucken wir uns zwei Gleichungen an mit zwei Unbekannten. Und wir schauen uns verschiedene Verfahren an. Das zeigen wir jetzt in dem Video. Üben wir dann in den nächsten Videos. Und machen am Ende Textaufgaben, dass ihr es drauf habt. Ja, ganz genau. Gut, los geht's. Machen wir ein ganz einfaches Alltagsbeispiel. So ein Oldtimer plus ein Motorrad kostet 200.000 Euro. Oldtimer minus Motorrad kostet nur 40.000 Euro. Also wenn ich das davon abziehe. Das Ziel ist es jetzt. So sind alle Gleichungen irgendwie aufgebaut. Das Ziel ist es insgesamt aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das ist Gleichung 1, Gleichung 2. Und einmal will ich wissen, was kostet das Auto und was kostet das Motorrad. Das sind meine Unbekannten. Will ich irgendwie beide Unbekannten bekommen. Aber mein Ziel ist erstmal aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten will ich eine Gleichung mit einer Unbekannten bekommen. Und das werden wir jetzt in drei verschiedenen Verfahren mit euch einmal erläutern. Wir fangen einmal an mit dem Gleichsetzungsverfahren. Das macht man, indem man das, also wir gehen das einfach einmal durch. Beide Gleichungen werden nach der gleichen Variable umgeführt. Das Auto ist eine Variable oder das Motorrad ist auch eine Variable. Das ist sozusagen die Unbekannte, die Variable, die wir gerne ermitteln wollen. Das heißt, das ist unsere erste Gleichung und wir wollen jetzt wissen, wir wollen das nach dem Auto umformen. Einfach mal so, wir können es natürlich auch nach dem Motorrad umformen. Also wir rechnen Minus Motorrad hier. Äquivalenzumformung solltet ihr können. Auto ist gleich 200.000 Euro minus das Motorrad. Die zweite Gleichung. Hier steht erste Gleichung daneben und zweite Gleichung auch daneben. Das ist ganz sinnvoll bei zwei Gleichungen, dass ihr euch das auch hinschreibt. Auto minus Motorrad kostet 40.000 Euro. Also kostet Auto gleich 40.000 Euro plus das Motorrad. Hier wäre die Äquivalenzumformung gemacht plus Motorrad. Ja, minus Motorrad steht. Die Rundlange habt ihr auch nicht drauf. Jetzt haben wir zwei Gleichungen, die hier nach Auto und hier nach Auto umgeformt sind. Bei diesem Verfahren können wir diese beiden Gleichungen jetzt gleichsetzen. Es geht ja Auto ist gleich Auto. Kostet ja gleich viel. Ja. Also können wir auch das Auto von der ersten Gleichung hier einsetzen und das Auto von der zweiten Gleichung hier einsetzen. Im Endeffekt, wir wissen, das Auto kostet einmal genau so viel und einmal so viel. Also kostet beides gleich. Genau. Gut, was machen wir? Jetzt haben wir sozusagen eine Gleichung mit einer Unbekannten. Das ist super. Das ist immer das Ziel bei allen Verfahren. Das können wir auch flüssig. Ja, wir haben hier Minus Motorrad, also machen wir einmal Plus Motorrad. Wir wollen ja immer erstmal die Unbekannte oder die Variable auf eine Seite bekommen und die Zahlen auf die andere Seite bekommen. Das Ziel ist natürlich erstmal, wie teuer ist das Motorrad jetzt. Wir wollen also nach Motorrad auflösen. Da das Motorrad auf beiden Seiten vorkommt, machen wir hier Plus Motorrad, weil das Minus gehört zum Motorrad. Also steht hier, Zahlen bleiben stehen, zweimal das Motorrad. Und dann bringen wir die Zahlen auf die andere Seite. Minus 40.000, ich hoffe, ihr könnt es erkennen. Aus 200.000 bleibt 160.000 übrig. Zweimal das Motorrad kostet 160.000. Jetzt kann man es eigentlich schon fast nicht ausdenken. Genau. Teilen wir nochmal durch. Zwei Motorrad kostet 80.000 Flocken. Das müssen wir durchzuteilen, weil zweimal Motorrad mal kriegen weg, indem wir geteilt haben. Genau. Jetzt wissen wir, wie teuer das Motorrad ist. Am Ende macht man es immer so, das Ergebnis muss nochmal in eine Gleichung eingesetzt werden. Am besten in eine, die schon umgeformt ist nach dem Auto. Wir wollen ja wissen, wie teuer das Auto ist. Können wir entweder eins oder zwei nehmen. Ist Jacke wie Hose. Genau. Also Auto hatten wir, kostet 40.000 Euro plus das Motorrad. Das ist 40.000 Euro teurer. Also einsetzen die 80.000 und kommen drauf, dass das Auto 120.000 kostet. Jetzt denkt ihr, das ist recht kompliziert. Vielleicht denkt ihr, es geht. Wir zeigen euch jetzt noch zwei weitere Verfahren in dem Video. Die kommen alle auf das gleiche Ergebnis. Ihr könnt am Ende sagen, was ist schöner, was ist cooler. Wir zeigen euch Vor- und Nachteile, wann man welches Verfahren benutzt. Jetzt das Einsetzungsverfahren. Genau. Hier geben wir so ähnlich vor wie eben bei dem anderen Verfahren. Wir haben die erste Gleichung, schreiben uns hin. Auto plus Motorrad ist gleich 200.000. Wir formen das nur nach dem Auto um. Also wir ziehen das Motorrad wieder rüber. Das heißt, wir haben hier steht, Auto ist gleich 200.000 minus Motorrad. Genau. Genauso vorgegangen wie im ersten Fall. Wichtig ist hier, hier formen wir nur eine Gleichung nach einer Wahl. Genau. Nicht beide. Genau. Um das dann gleich einzusetzen. Wir wissen, das Auto ist gleich 200.000 minus Motorrad. Das können wir jetzt für das Auto in der zweiten Gleichung einsetzen. Das heißt, Einsetzungsverfahren. Einsetzungsverfahren. Man löst eine Gleichung nach einer Variante auf und setzt es in die andere Gleichung ein. Genau. Auto ist ja dasselbe, also kann man auch das hierfür da reinschreiben. Nichts anderes passiert hier. Die umgeformte Gleichung wird in die zweite Gleichung eingesetzt. Wir hätten natürlich auch die zweite Gleichung umformen können und das in die erste Gleichung einsetzen können. Wir haben es jetzt einfach mal so gemacht. Wichtig ist, ihr seht, das hier, so teuer ist das Auto. Und das Auto steht hier wieder. Das heißt, das können wir auch dafür schreiben, weil das ja gleich ist. Genau. Also seht ihr, haben wir hier Klammern gesetzt. Klammern setzen ist immer erstmal sinnvoll. Ganz, ganz wichtig. Falls da mal ein Minus davor steht oder so. Oder mal. Das ist ganz, ganz wichtig. In dem Fall ist es nicht so wichtig, weil das kann man einfach weglassen. Da steht kein Minus oder kein Mal davor. Aber ansonsten immer Klammern mit rumschreiben. Ja. Die kann man jetzt in dem Fall sogar wegnehmen. Und dann steht hier Minus Motorradfahrer, Minus Motorradfahrer. Also haben wir Minus zweimal den Motorradfahrer. Ja. Und die 200.000 bleibt stehen. Die 40.000 sowieso. Wollen wir natürlich wieder nach Motorradfahrer auflösen. Hier steht Plus 200.000. Also rechnen wir Minus 200.000. Bleibt hier stehen. Minus zwei, drei Mal Motorradfahrer ist gleich. Schweres Wort, ne? Ja. Das Wichtige ist, das Minus gehört dazu. Das Minus bleibt hier stehen. Aber am Ende werdet ihr gleich sehen, es wird positiv. Man kann die Gleichung auch anders umformen. Aber hier steht jetzt Minus 160.000. Aber wir teilen ja jetzt durch Minus zwei. Und deswegen bleibt stehen Motorrad kostet 80.000. Kommt sogar dasselbe raus wie eben, ne? Ja. Also funktioniert es auch. Sehr gut. Genau. Und wie im ersten Beispiel muss es nochmal eingesetzt werden, weil wir noch den Preis vom Auto haben wollen. Ich glaube, das brauchen wir nicht nochmal erklären. Da geht man genauso vor wie im ersten Beispiel. Also es geht immer nur darum, wie man jetzt auf den ersten Fahrer wiederkommt. Ja. Persönlich würde ich sagen, wird die zweite Variante häufiger eingesetzt als die erste. Mit dem Einsetzungsverfahren. Kommt noch die dritte Variante. Ist das Additionsverfahren. Oder man nennt es auch Subtraktionsverfahren. Das ist wieder Jacke wie Hose. Und zu halten wie ein Dachdecker. Ja. Da haben wir zwei Gleichungen und die können wir auch miteinander einfach addieren. Das geht auch. Ja. Also Gleichung wird addiert oder subtrahiert. Mit dem Ziel wieder eine Gleichung, eine unbekannte. Genau. Wir sehen hier, das ist die erste Gleichung. Das ist die zweite Gleichung. Wir können die Gleichung einfach miteinander addieren. Sagen wir, die erste Gleichung plus die zweite Gleichung. Das heißt, wir addieren das einfach darauf. Das addieren wir darauf und das addieren wir darauf. Und das geht nicht nur, weil die Sachen übereinander stehen, sondern weil es dieselben Elemente sind. Ja. Die selben Parameter. Also Auto mit Auto. Ja. Motorrad mit Motorrad. Ja. Zahl mit Zahl. Du kannst nicht Auto mit Motorrad machen, nur weil es untereinander steht oder übereinander. Ja. Deswegen muss man natürlich anordnen, dass die einzelnen Variablen untereinander stehen. Meistens ist das vielleicht schon so. Das ist dann immer super. Aber darauf haben wir noch. Und dann können wir das einfach zusammen addieren. Das heißt, die erste Gleichung haben wir und wollen die zweite dazu addieren. Wir rechnen also erste plus zweite. Auto plus Auto. Rind. Zwei Autos. Jetzt haben wir plus Motorrad plus minus Motorrad. Also plus Motorrad minus Motorrad. Kein Motorrad. Neu. Ja. Die Motorräder fallen weg. Und das ist auch das Ziel. Deswegen addieren wir diese Gleichung, damit eine Variable weg wird. Und dann haben wir hier noch 200.000 plus 40.000. Sind wir bei 240.000. Und dann haben wir schon unsere Gleichung aufgelöst nach dem Auto. Passt. Durch zwei Teilen. Die ganze Nummer nochmal durch zwei Teilen. Genau. Und dann haben wir hier die Rutsche, dass das Auto 120.000 kostet. Genau. Selbe Ergebnis wie davor. Ja. Ist gut, ne? Genau. Aber was richtig gemacht. Genau. So wie immer. Und jetzt macht man es so, das Ergebnis muss halt in irgendeine andere Gleichung wieder eingesetzt werden. Wir wollen ja noch wissen, was das Motorrad kostet. Also dieser Schritt ist immer derselbe. Bei allen drei Verfahren. Genau. Bloß der erste Schritt unterscheidet sich immer. Ja. Genau. Also hier. Da kann man sich aussuchen. Bevor euch kommt auch 80.000. Kann man sich aussuchen. 120.000 plus Motorrad sind 200.000. Ne? Bisschen nachdenken. Ja. Kann man Äquivalenzumformung machen. Kann man auch sogar fast lassen und sieht, dass das Motorrad 80.000 Flocken kostet. Genau. Gut. Wir haben nochmal eine Übersicht für euch zusammengestellt. Wann benutze ich welches Verfahren? Das ist jetzt nochmal ganz wichtig. Ich glaube, man muss ganz hoch scrollen. Machen wir mal so. Damit wir das ganz auf dem Bild haben. Ja. Läuft. Also Gleichsetzungsverfahren. Das hatten wir als erstes benutzt. Ja. Bietet sich an, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variable umgeformt sind. Hier steht Y ist gleich. Block und Y ist gleich. Das heißt, man kann es gleich dann gleichsetzen. Das ist auch bei Funktionen macht man das auch manchmal, dass man einfach Funktionen gleichsetzt. Ganz genau. So. Das sind ja im Endeffekt nichts anderes wie lineare Funktionen. Ne? So. Hier steht es allgemein. Ja. Du hast es ja gerade schon gesagt. Wir wollen es dir nochmal vorlesen. Einsetzungsverfahren. Ja. Einsetzungsverfahren machen wir, steht erstmal allgemein, am besten, wenn eine Gleichung schon nach einer Variable umgeformt ist. Genau. Hier sehen wir es. Y ist schon nach Y umgeformt und das können wir hier einfach einsetzen. Dafür haben wir eine Gleichung und eine Unbekannte. Ihr könnt natürlich auch hier wieder minus X rechnen und dann habt ihr den Pfeil. Aber das ist einfach unnötig. Ein Schritt zu viel. Genau. Aber wenn ihr wollt, ihr könnt alle Gleichungen von mir aus immer mit den gleichen Verfahren lösen. Theoretisch. Ja. Wo zwei Gleichungen und zwei Unbekannten sind. Gehen alle drei immer. Außer, steht in der Arbeit, löse es mit einem speziellen Verfahren. Genau. Das ist natürlich dann blöd. Genau. Aber selten steht es da. Du darfst da nicht reinklicken. Da gibt es noch das Additionsverfahren. Ja, das kann man anwenden, wenn beide Gleichungen auf jeden Fall vor einer Unbekannten am besten den gleichen Faktor haben und schon sortiert sind. Genau. Das heißt, hier sieht man, vor dem Y, die sind super sortiert und vor dem Y ist sozusagen der gleiche Faktor, in dem Fall 1. Genau. Also ich kann die eine Gleichung minus die andere rechnen. Ja. Ich könnte sie auch, wenn das ein anderes Vorzeichen hat, könnte ich sie addieren, mit dem Ziel, daraus eine Gleichung zu machen. Genau. Dann fällt das Y weg. Das ist meistens, dieses Verfahren fällt meistens am schwierigsten. Werden wir aber noch üben. Das ist, glaube ich, am beliebtesten. Aber... Funktionieren alle drei. Genau. Wir hauen euch diese Folie gleich nochmal auf ein Großbild und dann könnt ihr euch die abschreiben. Dann habt ihr eine super Übersicht. Genau. Und in den nächsten Videos üben wir einfach die ganzen Verfahren und am Ende machen wir nochmal Textaufgaben, glaube ich. Ja. Und die ganze Nummer, ne? Genau, Leute. Also... Bleibt dran, ne? Bis dann. Ciao.