Partielle Integration - Einführung, mit Beispielaufgabe+Lösung

Moin Leute! Herzlich Willkommen auf unserem Kanal MatheLeichtGemacht. In der Playlist der Integralrechnung geht es jetzt weiter mit der partiellen Integration. Wir sondern das aber nochmal ab und machen eine eigene Playlist zur partiellen Integration, damit das leichter zu finden ist. Weil das so ein großes Thema ist. Genau, das ist auch wichtig für die Leute in der Uni speziell oder Mathe, erhöhtes Niveau. Das halt, ne? Ja, auf jeden Fall. So, wir haben ein Produkt und das wollen wir integrieren. Das macht man in der Regel fast immer mit der partiellen Integration, wenn wir ein Produkt haben. Eine einzige Ausnahme ist, wenn wir LL integrieren. Da haben wir kein Produkt, müssen es aber über die Produktregel machen. Das zeigen wir dann in den Videos danach. Wir werden hier in dieser Playlist, in diesen Videos, alle Fälle abdecken, die es gibt. Es gibt natürlich noch andere Aufgaben, aber wir werden alle Fälle abdecken. Also, bleibt dran, guckt es euch gleich an. Das sind die Beispiele. xe auf x wollen wir integrieren. Oder 1-x mal Sinus x wollen wir integrieren. Oder, wie gesagt, irgendwas mit LL. Dann müssen wir immer die Produktregel anwenden. Diese partielle Integration ist nichts anderes als die Produktregel beim Ableiten. Dafür müssen wir uns den Oschi hier merken. Ich hoffe, ihr habt eine Formelsammlung, oder ein Formelblatt dürft ihr benutzen. Oder ihr merkt es euch, wenn man das ein paar Mal anwendet, dann kriegt man es auch. Man kann sich das auch herleiten, haben wir gesagt, ist egal. Verzichten wir drauf über die Produktregel beim Ableiten, kann man sich das auch herleiten, aber ist nicht so relevant. Genau, ihr seht ja hier, wir haben immer zwei Faktoren. Diese Faktoren benennt man einfach einmal als U und einmal als V. U- und V-Strich, das ist die Ableitung. Hier sieht man, das wird aufgesplittet. Jetzt denkt ihr euch, was bringt mir das, hier habe ich wieder ein Integral. Aber man macht es, weil man dieses Integral ganz leicht lösen kann. Das heißt, man muss sich dieses U und V gleich wählen. Das werden wir zeigen, wie man das wählt. Da gehen wir alle Fälle durch. Dann könnt ihr alle Aufgaben finden. Hier, ganz wichtig, die richtige Wahl von U und V ist die Hauptaufgabe. Das ist das Wichtigste. Ich schreibe mir das immer so auf, ich schreibe mir auf U, U-Strich, V, V-Strich. Weil ich brauche alles vier. Und U habe ich gegeben, U muss ich wählen und V-Strich muss ich wählen. Und die lasse ich erstmal frei. Das heißt, ich kann entweder den einen Faktor da geschrieben oder da. 50-50 oder wir überlegen ein bisschen. Und wir zeigen euch gleich, wie man darauf kommt, wie es eindeutig ist. Wir gehen jetzt von dem Beispiel aus, X mal E-hoch-X. Ja, X mal E-hoch-X. Hier ist U unser X und V-Strich unser E-hoch-X. Also muss ich jetzt, V-Strich muss ich einmal integrieren. Aber ihr seht, das V-Strich muss ich integrieren, aber E-hoch-X ist ganz einfach zu integrieren. Das heißt, diesen V-Strich wähle ich, diesen Faktor, den man leicht integrieren kann. Und das ist E-hoch-X oder der Sinus. Meistens, viel mehr haben wir nicht. Und den anderen Faktor, das ist meistens irgendwas mit X oder X² oder so. Und den nehme ich immer zum Ableiten. Und das merkt ihr euch. Wenn du weiter gehst, werden wir sehen, hier habe ich jetzt mein X, ich leite es ab, zu X wird zu 1. E-hoch-X, super, wird E-hoch-X bleiben. Genau, dann schreiben wir hier unsere Formel hin. Ihr müsst es nicht so oft schreiben, vielleicht habt ihr es auch im Kopf, aber es ist vielleicht eine ganz gute Hilfe. U ist das, V-Strich ist das. Und jetzt muss ich angucken, U mal V, aber ich habe ja hier meine schöne Tabelle, U und V. X mal E-hoch-X minus Integral U-Strich mal V, einmal hier diagonal rüber. Und hier ist der Vorteil, ihr seht es hoffentlich, 1 mal E-hoch-X ist E-hoch-X. Das kann man wieder leicht integrieren. Das Ziel ist es, mit der partiellen Integration das so aufzuspalten, dass ich das bei dem zweiten Integral ganz einfach integrieren kann. Und deswegen war es so wichtig, dass ich hier dieses X bei U stehen habe, weil das wird zu 1. Das fällt jetzt dann weg, weil das ein Faktor 1 ist. Und jetzt kann ich es ganz einfach integrieren, indem ich einfach nur Integral E-hoch-X mache. E-hoch-X integriert bleibt E-hoch-X. Ihr seht, das war ein sehr schlauer Schritt, dass wir als V-Strich E-hoch-X genommen haben. Denn E-hoch-X integriert ist wieder E-hoch-X. Und hier müssen wir es nochmal integrieren, bleibt wieder E-hoch-X. Gut, ihr seht es. Und dann bleibt hier einfach nur minus E-hoch-X stehen. Ich kann es noch ausklammern oder auch nicht. Aber das ist auf jeden Fall die Stammfunktion. Wenn ihr Bock habt, könnt ihr das ja nochmal ableiten, um zu gucken, ob es hinhaut. Dann müssten wir jetzt wieder die Produktregel anwenden. Gut, hier ist nochmal eine ganz wichtige Übersicht. Mit dieser Übersicht könnt ihr eigentlich alle Aufgaben lösen. Die erste Regel. Wenn Ln als Faktor vorkommt, das kann ab und zu sein, so wird dieser immer als U genommen. Also U ist LnX, weil U' ist 1 durch X. LnX abgeleitet ist 1 durch X. Wir können Ln nur ableiten, wir können es nicht integrieren. Das zeigen wir nochmal, aber man kann es nur integrieren partiell. Diese Regel gilt immer. Wenn wir kein Ln in unserem Produkt haben, haben wir ein X oder ein X² in dem Produkt. Dann wird dieses immer als U genommen. Weil X kann man super ableiten. Ich will einen Faktor haben, den ich ableiten kann und dass der wegfällt. Wenn ich ein X² habe, muss ich sogar zweimal die partielle Integration anwenden. Das zeigen wir aber im zweiten Video. Oder drittes Video ist es, glaube ich. Im nächsten Video schauen wir uns nochmal eine Übung dazu an. Das sind die einfacheren Aufgaben. Dann gibt es noch mehrere Übungsaufgaben. Es wird immer anspruchsvoller, aber es wird alles abgedeckt. Also gut, dranbleiben! Bis zum nächsten Mal!