TS-spécialité- PGCD Bézout Gauss - Diviseurs communs et PGCD - le cours (1/2)

Alors bonjour à tous et bienvenue dans cette vidéo où je vais vous parler de la première vidéo sur le chapitre pgcd, bezou et gauss. Donc je vais vous parler des diviseurs communs aujourd'hui et du pgcd. Alors par convention je ne vais parler que des diviseurs positifs. On peut toujours ajouter les mêmes nombres avec un moins devant, c'est à dire l'ensemble des diviseurs sont positifs et négatifs. Mais on va se contenter de mettre que les positifs, ça évitera la répétition. Par exemple les diviseurs de 6, on va noter ça, des 6, avec une parenthèse ici. Et on fait la liste, en général on fait dans notre croissant. Donc ici vous avez 1, évidemment, 2, 3 et 6. Ça ne se justifie pas, on le fait comme ça pour des tout petits nombres. Bon, si on devait faire la liste vraiment des diviseurs de 6 entiers, naturels, relatifs, il faudrait rajouter moins 1, moins 2, moins 3, moins 6, mais ça fausse un petit peu les idées, donc voilà, ça complique pour rien. Donc nous on ne parlera que des diviseurs de 12. Vous avez de même 1, 2, 3, 6 et 12. Pour 15, notre exemple, 1, 3, 5 et 15. C'est la première notion à bien comprendre. Savoir faire cette liste rapidement. Ensuite, vous avez ce qu'on appelle le diviseur commun. On note un D, pareil, avec par exemple ici 12 et 15. Un diviseur commun, c'est donc des nombres qui sont communs aux deux listes. Alors ici, qu'est-ce que vous avez de commun ? Vous avez le 1, le 3 et c'est tout. Donc les diviseurs communs de 12 et 15 sont 1 et 3. Alors on a quelques propriétés sur ces diviseurs communs que l'on va voir tout de suite. Alors, tout d'abord, les diviseurs communs de 12 et 15, c'est les mêmes que les diviseurs communs de 15 et 12. On peut comme ça inverser le 12 et le 15, ça ne pose absolument aucun problème. Alors, première propriété, ici, vous voyez, c'est avec une soustraction. C'est-à-dire que les diviseurs de AB, les diviseurs communs A et B, sont aussi les diviseurs communs de A-B et de B. On va tout d'abord démontrer ceci. Alors, on prend C appartenant au diviseur de AB. Ici, je n'ai pas passé là. Vous prenez C appartenant au diviseur commun de AB. Ça veut dire que c'est divise A et c'est divise B. On a une propriété la plus importante, je pense, quasiment de tout ça, et vraiment qu'on utilise tout le temps, c'est cette propriété des combinaisons. C'est-à-dire que si C divise A et C divise B, C divise toutes les combinaisons linéaires de A et B, c'est-à-dire tous les AU plus B relatifs. Donc, dans AU plus B, vous avez A plus U, A plus B, A moins B, A plus 2B, etc. Donc ici, si C appartenant au diviseur commun de A et B, alors on divise A moins B. Comme il est, par combinaison, D de A va être inclus dans le diviseur de A moins B et B. Ici, vous voyez, c'est divise A, c'est divise B, donc c'est divise A moins B et c'est divise B. Donc là, ça veut dire que C appartenant au diviseur commun de A moins B et B. Tous les diviseurs communs AB sont communs de A moins B et B. Eh bien, on fait C qui appartient au diviseur commun de A moins B et B. On va faire la chose, on va additionner A moins B et B, et donc C divisera aussi A moins B plus B qui vaut A. Donc C divise A, C divise B par hypothèse, donc C appartient au diviseur commun de A et B. Et vous avez l'inclusion dans l'autre sens, vous réunissez les deux inclusions, c'est-à-dire ça réunit aussi, vous ne déduisez que les diviseurs communs de A et B, Maintenant, on va essayer de faire la même chose pour A moins KB. C'est exactement le même raisonnement, vous allez voir, je vais rajouter en vert les petites différences, c'est très faible comme différence. Alors, on veut donc faire la même chose avec A moins KB. Donc ici, on va faire une combinaison, on ne va pas faire la combinaison A moins B, mais la combinaison A moins KB. Et donc ici, vous aurez que si C appartient au diviseur de A et B, alors il est diviseur de A moins KB, B. Pour le réciproque, eh bien on fait de même, soit C appartient au diviseur de A moins KB, B, et on va faire la combinaison de A moins B et de B, d'accord ? Voilà, c'est une propriété très importante quand même pour la division Euclidienne qui vient juste. et les diviseurs communs de 3 et 12, c'est une propriété qu'on va voir juste après. C'est comme 3 divise 12, mais les diviseurs de 12, c'est tout simplement les diviseurs de 3, il n'y en a pas 50, c'est 1 et 3, je garde que les positifs. 7 moins 10, 3, donc c'est 7, 7 et 3, c'est pareil, et on continue, diviseurs communs 7 moins 3, 4, entre 4, 3, et on arrive à 4 moins 3, donc c'est les diviseurs communs à 1 et 3. On arrive à la fin sur les diviseurs communs de 1 et 3, et ça, vous savez, comme 1 n'a qu'un diviseur, les diviseurs communs c'est les diviseurs de 1, c'est donc 1. Voilà, donc on a une utilisation possible, qui utilise les divisions euclidiennes, alors pour la démonstration, elle est très simple, elle utilise exactement la propriété d'avant, en deux lignes, ça donne ceci. et donc on a ici égal à diviseurs de RB qui sont les diviseurs de BR, voilà. Donc on va utiliser la division euclidienne pour, à chaque fois, diminuer la taille des nombres, c'est-à-dire qu'on remplace le plus grand des nombres par une combinaison des deux autres, des deux qui est plus petite, forcément. Le but étant de diminuer, et vous voyez ici, à chaque fois, on remplace la 631 par la division euclidienne de 631 par 27, et en très peu de temps, on arrive à un résultat. En ce moment, on fait la division de 172 par 160, qui nous donne un reste de 12, et on remplace ici par les diviseurs de plus petit 160 par le reste 12, et ainsi de suite. Ici, 160 c'est 12 fois 13 plus 4, donc les diviseurs de 160 et 12 sont ceux de 12 et de 4. On continue, 12 c'est 4 fois 3, donc on obtient les diviseurs de 4 et de 0, puisqu'ici le reste c'est 0. Et les diviseurs de 0, et bien tout le monde les diviseurs de 0 sont de 0, donc les diviseurs de 4 sont tous forcément inclus dans les diviseurs de 0. Donc cette envie, c'est les diviseurs de 4, conséquence, et bien les diviseurs de 172 et 332, vous avez la liste, les diviseurs de 4, c'est donc 1, 2 et 4, quand on prend que les positifs. Une méthode très très rapide, très efficace pour trouver des diviseurs communs. Alors c'est assez étrange qu'on parle d'un objet de multiplication et de division, et on utilise pour ça que des soustractions. C'est très pratique, au niveau informatique ça se programme très bien, c'est des algorithmes très importants. Voilà, donc maintenant, une fois qu'on a, on faisait que ça à savoir, sur les diviseurs communs, rien de plus pour l'instant dans ce chapitre. On en rajoute en fait dans le chapitre suivant sur les nombres premiers, et on utilisera les décompositions en multiplication, cette fois-ci au lieu d'utiliser les divisions euclidiennes. Là vraiment dans ce chapitre, on va être branché sur des combinaisons, c'est-à-dire des divisions euclidiennes ici. Maintenant, je passe à la deuxième partie de cette vidéo, c'est-à-dire qu'on va parler du PGCD.