Terminale Maths Expertes-Arithmétique et congruence-Exercice 74 p 154 Nathan Hyperbole -

Bonjour à tous, aujourd'hui, comme vous le voyez, on va travailler les congruences avec la démonstration d'une égalité pour toute antinature à n en congruence. Ici, c'est modulo 5, n puissance 5 moins n, et toujours congruent à 0, modulo 5. Autrement dit, si on prend les choses un tout petit peu différemment, n puissance 5 est toujours congruent à n modulo 5. Alors comment on va démontrer une telle égalité ? Eh bien, on va tout simplement résonner par disjonction sur les valeurs de n modulo 5. Vous savez que modulo 5, n peut prendre 5 valeurs, de 0 à 4, modulo 5, donc on a 0, 1, 2, 3 et 4. Donc en faisant ça, vous faites une disjonction des 5 cas possibles. Autrement dit, on pourrait considérer qu'on résonne par disjonction sur les restes de la division euclidienne de n par 5, puisque les restes sont entre 0 et 4, et donc on va calculer pour chaque cas la valeur de n puissance 5, donc modulo 5. A chaque fois, il va falloir qu'on trouve la même valeur que n. Donc 0 puissance 5, ça fait 0, il n'y a pas de problème. Donc effectivement, vous voyez que là, on a bien n puissance 5 qui est congruent à n modulo 5. Donc ici, pour 1, 1 puissance 5 aussi, donc ça marche. Pour 2, alors 2 puissance 5, 2 puissance 5 c'est 32. Encore, modulo 5, 32 ça fait 2, donc 2 puissance 5 est bien congruent à 2 modulo 5. Donc ici, on a 2, donc c'est bon aussi. Pour 3, on va donc procéder pour 3. Alors il y a plusieurs façons. On pourrait prendre 3 puissance 5, et dans ce cas 3 puissance 5, comme 5 c'est 2 plus 2 plus 1, j'écrirai 3 au carré fois 3 au carré fois 3. Donc quand je passe modulo 5, ça me donnerait, donc ici, 3 au carré ça fait 9. Donc 9 modulo 5, ça me ferait 4, fois donc 3 au carré, je viens de le dire, ça fait 4, multiplié par 3, tout ça modulo 5, donc vous voyez qu'on peut réduire ça assez vite. Alors on peut faire 4 fois 4, 16. Donc 16 modulo 5, ça ferait 1, fois 3, ça ferait 3. Donc vous voyez, ça c'est quand on essaie sans forcément chercher d'astuces. Donc là j'aurais un 16 qui vaut 1 fois 3, donc je retrouve bien, ici, 3 puissance 5 égale 3 modulo 5. Alors il y a d'autres façons de faire beaucoup plus rapide. L'idée ça serait d'utiliser des nombres négatifs, par exemple ici 4. Plutôt que de mettre 4, on pourrait mettre modulo 5, si j'enlève 5, ça ferait moins 1. Et donc au lieu d'avoir 4 fois 4 à faire, j'aurais moins 1 fois moins 1. C'est beaucoup plus facile à faire, parce que moins 1 fois moins 1, ça fait 1. Il me resterait 3 modulo 5. Et cette idée de prendre des nombres négatifs, on va l'utiliser encore plus efficacement. C'est à dire qu'ici, dans notre table, avec des valeurs de n modulo 5, 3, on peut aussi considérer que c'est moins 2. Moins 2 et 3 sont congruents modulo 5, donc les valeurs de n modulo 5, j'aurais pu choisir plutôt 0, 1, 2, moins 2 et moins 4. Et dans ce cas, les calculs sont beaucoup plus rapides parce que vous voyez que, si je vous demande 3 puissance 5, et bien modulo 5, 3 puissance 5 est congruent à moins 2 puissance 5. Alors pourquoi c'est intéressant ? Parce que le moins, c'est une puissance impaire, c'est congruent à moins 2 puissance 5, d'accord ? Le moins est sorti, mais moins 2, enfin 2 puissance 5, on vient de le trouver. Parce que 2 puissance 5, on vient de dire que ça faisait 2. Donc 3 puissance 5 est donc congruent à moins 2 modulo 5, et moins 2 modulo 5, c'est encore, en fait, 3. Donc on retrouve le même résultat, vous voyez, sans faire de nouveaux calculs, en utilisant juste celui d'avant. Donc c'est là que dans les tables comme ça avec des valeurs modulo 5, on peut très bien essayer d'utiliser ça pour diminuer la taille des nombres. Ça fait apparaître des mots, mais ce n'est pas gênant. Et regardez, là, l'intérêt que ça a pour 4, si je dois calculer 4 puissance 5, alors il y a plein de façons de le faire. Si on ne réfléchit pas, qu'on essaie d'utiliser au maximum les puissances, ça ferait 4 fois 4, 4 fois 4, ça ferait 5 fois ce nombre-là. Alors évidemment, l'idée, ce n'est plus de faire des gros calculs, c'est de réduire au maximum chacun des facteurs. Et là, on pourrait, si on n'utilise pas les nombres négatifs, 4 fois 4, 16, on a dit que 4 fois 4, 16, donc modulo 5, ça ferait 1. Donc je retrouverais ceci, et vous voyez qu'on retrouve encore 1 fois 4. Il y a beaucoup plus d'astuces. Si j'utilise, il n'y a bien que des nombres négatifs. 4 modulo 5, c'est moins 1. Modulo 5, donc ça fait moins 1 puissance 5, en compatibilité avec les puissances, c'est moins 1 puissance 5, ça fait moins 1, mais moins 1, c'est encore 4. Donc vous voyez que modulo 5, n puissance 5 est toujours égal à n, même pour 4. Et vous voyez, l'intérêt ici, c'est d'amener ces nombres négatifs pour pouvoir faire des calculs beaucoup plus rapides. Alors l'intérêt, c'est que la première qu'on est à bout, c'est 0, la deuxième, c'est 1, et la dernière, ici, ce sera moins 1. Et l'avant et l'avant-derrière, ce sera moins 2. Donc des fois, on peut comme ça, retrouver des calculs déjà faits par l'utilisation de ces modulos négatifs. Pour le 4 puissance 5, si on n'avait pas eu ce moins 1, on aurait pu utiliser le fait que 4, c'est 2 au carré. C'est un travail sur les puissances. Parce qu'ici, 2 au carré puissance 5, si j'inverse, parce que moi je connais 2 puissance 5, je viens de le calculer, ça fait 2 modulo 5. Donc 2 puissance 2 à puissance 5, ça fait 2 puissance 5 au carré. Il y a inversion, jolie formule ça. Quand vous avez A puissance N à A puissance M, ça fait, on l'a vu, A puissance N fois M, vous connaissez, mais ça fait donc A puissance M fois N, et donc ça fait A puissance M à A puissance N. Donc on peut comme ça inverser, on peut switcher. Et ça c'est intéressant parce que je fais apparemment 2 puissance 5, et 2 puissance 5, on l'a dit, ça faisait 2. Donc je retrouve 2 au carré, modulo 5, je retrouve 2 au carré. Une autre façon intéressante, tout est intéressant de toute façon. Vous voyez que le plus rapide ici, c'était d'utiliser le moins 1 et le moins 2 modulo 5. Je vous souhaite une bonne fin de journée à tous, et à très bientôt pour d'autres équations et d'autres problèmes avec les congruences.