Terminale Maths Expertes-Arithmétique et congruence-Exercice 78 p 154 Nathan Hyperbole -

bonjour à tous aujourd'hui petit exercice sur les congruences avec l'étude des cubes modulo 9 donc je prends un nombre x entier relatif on va donc compléter ce tableau ici on est donc sur des congruences module 9 avec les valeurs de x module 9 donc vous allez de 0 jusqu'à 8 on va regarder ici x Cu et on va évidemment essayer de réduire au maximum module 9 et on en déduira et bien que un entier x enfin si x est un entier relatif bien x cu divisible par 9 ça équivaut à X divisible par 3 donc je vais vous apprendre à remplir les tableaux on en a déjà fait il faut faire ça de façon assez astucieux vous allez voir pour pas prendre trop de temps parce qu'on va essayer d'éviter évidemment d'utiliser la calculatrice et tout l'intérêt avec une calculatrice c'est un peu d'intérêt je trouve donc comment remplir ces tableau de façon efficace le départ c'est de calculer d'abord les valeurs simples 0 au Cu ça fait 0 ça quel que soit le modu vous mettrez 1 au³ ça fait 1 2 au C donc là vous trouvez 8 donc on est encore sur nombre inférieur à 9 d'accord ensuite 3 au³ donc on est sur 27 alors modu 9 27 évidemment ça fait 0 là tranquille alors 4 au³ là déjà c'est des plus gros nombres donc 4 au³ alors comment on peut faire donc c'est 4 x 4 x 4 donc 16 x 4 donc on peut réduire au fur et à mesure voyez 16 module 9 donc ça fait 7 on est sur du 7 x 4 28 module 9 c'est 27 + 1 ça fait 1 voilà ensuite 5 alors là on va commencer à être astucieux et ça va fonctionner comme ça tout le temps dans ces exercices parce que 8 ici vous savez que c'est -1 donc 8 c'est -1 moduo 9 7 ça sera - 2 6 ça sera - 3 5 ça sera - 4 donc pensez-y dès qu'on a des polynômes ici c'est des puissances de N entière et bien on va pouvoir utiliser cette astuce c'est que pour faire 5 au Cu on va utiliser - 4 5 au³ mod 9 c'est congru à - 4 au³ d'accord et donc - 4 comme la puissance ici est Impire le moins sort ça fait - 4 au³ donc vous AZ trouvé l'opposé du résultat précédent c'est-à-dire -1 que vous pouvez transformer en mettant 8 puisqu'on est module 9 pour 6 bien vous avez compris j'espère 6 au³ et bien ça sera pareil que - 3 au³ module 9 donc le moins va sortir aussi ça sera l'opposé du résultat ici donc ça sera - 0 donc 0 pour 7 et bien on fera - 2 au³ donc vous avez ici vousz retrouver l'opposé du résultat qui est ici donc vous trouvez - 8 mais - 8 on va mettre plutôt 1 et 8 et bien ça sera -1 au Cu donc l'opposé ici ça fait -1 et vous voyez que ça he ça nous permet d'aller très vite -1 donc vous écrirez 8 vous avez comme ça quand on est sur du cube une petite symétrie hein par rapport ici alors ça dépend évidemment du mode mais dans celui-ci le 4 et 5 étant opposé vous avez une symétrie ici par rapport à cette partie-là donc vous avez 1 - 1 00 8 - 1 enfin 8 - 8 1 - 1 et cetera voyez ça va comme ça très vite on a fait en fait que en terme de gros calcul on NAA pas fait grand-chose il a juste ici les 3^ 3 le 4^ 3 hein donc pensez-y à chaque fois ça gagne vraiment beaucoup de temps alors évidemment il y en a qui ne font pas comme ça donc je vais vous montrer comment on peut faire toujours sans machine alors si on doit faire 5 au cube donc ici alors déjà 5³ c'est 25 x 5 donc on réduit modulo 9 25 modulo 9 donc on a 18 jusqu'à 25 ça fait 7 7 x 5 35 vous êtes sur du 35 modulo 9 35 on est tout près de 36 hein ça va nous donner un -1 et je retrouve évidemment ce -1 pour 6 au³ donc vous avez du 6 x 6 36 x 6 hein mes modules 9 36 vaut 0 donc on retrouve V8 le 0 7 au Cu certains donc on on fait 7 x 7 49 x 7 donc 49 module 9 on est sur du donc ici il faut chercher multiple de 9 9 donc 9 x 5 45 on est sur 4 ici 4 x 7 28 28 module 9 donc on est à 27 + 1 on retrouve bien le 1 et pour le dernier on va quand même faire tout ceux qui auront fait 8 x 8 64 x 8 moduo 9 donc c'est9 x 7 63 donc là vous avez du 1 1 x 8 ça fait 8 on retrouve donc le 8 ça marche très bien c'est pas si long que ça vous voyez qu'il y a eu un petit peu de calcul donc sur les modes qui sont un peu gros parfois ou sur des polynômes ici avec des puissances si on met des grosses puissances ça peut vraiment être très très efficace donc pensez-y deuxième question on va utiliser maintenant ce tableau donc faut montrer une équivalence d'accord donc on va essayer de vraiment de faire les deux alors une équivalence c'est donc de sens gauche droite droite gauche donc on va quand on est en terminal au départ ici on va donc supposons que X on va parer de droite à hauche X est divisible divisible par 3 donc ça veut dire que X est congru à donc 0 modu 3 d'accord alors ça c'est pas forcément facile parce que je veux arriver module 9 d'accord donc là on va peut-être rester sur les choses plus simples ici donc si x est divisible par 3 hein ça veut dire que X s'écrit 3 x k donc là on va plutôt rester sur les écritures simples x div par 3 donc il existe un nombre k appartenant à Z tel que X s'écrit 3 x k donc si je mets au cube x Cu est donc égal à 3 x k au Cu c'est-à-dire propriété des exposants 3 au³ 27 x K au³ et ça 27 voyez que c'est factorisable par 9 ça fait 9 x 3 au C donc ça veut dire que bien X c est divisible par 9ectivementant FO un entier relatif on VI mon de droite à gauche maintenant de gauche à droite supposons que X c est divisible par 3 donc ça veut dire que X Cu est con 0 module 3 et donc d'après le tableau regardez le tableau d'après le tableau il y a combien de cases qui mèent à zéro vous avez 3 cas celui-ci celui-ci celui-ci donc comme c'est une disjonction tous les cas sont devant vous x³ é= 0 donc d'après le tableau ça ve que X est congru à 0 modulo 9 ou X est congru à 3 modulo 9 où x est congru à 6 modu 9 là il faut bien comprendre que ça je vais écrire donc X est congru à 0 module 3 pourquoi parce que si x est congru à 0 module 3 ça équivaut à quoi c'estàd que X hein s'écrit donc il existe k appartenant à Z tel que X sécrit 3 fois k d'accord si je regarde les nombres modules 9 hein les multiples de 3 modules 9 et bien vous avez il faut forcément donc un un nombre mod ne9uf c'est donc vous faites une division é 9q + R et si vous voulez quelqu'un qui est divisible par 3 comme 9 est divis par 3 il faut que R soit un multiple de 3 donc les ici quand on est module 9 et bien X est congru à 0 modu 3 ça veut dire que modu 9 x est congru à soit c'est un multiple de 9 ou c'est un multiple de 9 + 3 ou c'est un multiple de 9 + 6 donc ça veut dire que les trois choses qu'on va trouver ici sont équivalentes au fait que X est con à 0 modu 3 comme c'est une application on aurait pu aussi faire peut-être un petit peu plus simple en disant que X est con à 0 module 9 ça veut dire que il existe k appartenant à Z tel que X s'écrit 9k et donc que X est bien Congr à 0 module 3 si je prends x Congr à 3 module 9 il existe cas appartenant à Z tel que X écrit 9k + 3 donc encore une fois tout est multiple de 3 donc X est aussi congru 0 module 3 et si je prends 6 module 9 comme il existe cas appartenant à Z que X écrit 9 K + 6 bien module 3 le 9 et 6 0 donc X est bien conr aussi à 0 module 3 donc l'exercice ici est terminé seul casù n³ va 0 modu 3 c'est donc module 9 c'est donc les TR qui nous mè à 0 module 3 pensez que dans ce chapitre ici eTTH bien quand on change de mode c'est que si on passe d'un mode neuf à mode 3 il vaut mieuxin repasser par les écritures avec des 9k plus quelque chose ça permet vraiment de poser les choses de façon plus rigose parce qu'on a pas de propriété dans le programme de terminale qui permet comme ça de changer le mode donc pour le changer on essaie vraiment d'avoir recours aux écritures classiques donc je répète avec des il existe cas appartenant à Z tel que voilà pensez à ça je vous souhaite une bonne fin de journée après ce petit exercice et à bientôt