Définition par récurrence et définition explicite (S)

bonjour les suites permettent de décrire des phénomènes économiques biologiques physiques elles sont aussi très présentes dans les tests de logique de nombreux concours on vous demandera alors de trouver comment elles sont construites dans cette vidéo nous verrons ensemble les deux types de construction les plus classiques que nous appliquerons notamment au suite arithmétique et géométrique dans un test de logique on peut vous demander de compléter cette suite si on l'observe attentivement on peut voir qu'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 3 ainsi le premier terme manquant sera 162 54 x 3 et le suivant 162 x 3 donc 486 si l'on veut définir proprement cette suite je vous conseille d'utiliser un tableau en indiquant les indices associés aux différents termes et de le compléter avec un et un + 1 ainsi en écrivant la relation entre deux termes successifs c'est-à-dire entre un et un + 1 vous obtenez un + 1 = 3 un si vous rappelez que U0 = 2 vous obtenez la définition par récurrence de cette suite dans ce deuxè exemple il est très difficile de passer de 1 à 1/2i et de 1/2i à 1/3 et de 1/ à 1/4 avec une même opération par contre on peut constater que ce sont les inverses de 1 2 3 et 4 on va donc trouver très facilement les deux termes suivants un 5e et 1/6e pour trouver la définition mathématique de cette suite on va utiliser la même méthode que précédemment on complète le tableau et on cherche la loi qui explique la construction de cette suite suite nous l'avons vu il s'agit d'inverser l'indice pour trouver le terme donc un va être égal à 1/ n on a ainsi obtenu la définition explicite notez bien ici que le premier terme a pour indice 1 il faut le préciser notez bien que la définition par récurrence relie deux termes successifs et qu'avec ce type de tableau elle se lit horizontalement tandis que la définition explicite relie indice et termes et se lit verticalement enfin repérez bien que définition par récurrence explicite auront dans cette vidéo chacune leur couleur parmi ces deux suites l'une se définit facilement de façon explicite et l'autre par récurrence regardons la première on reconnaît des carrés les carrés de 2 3 4 et 5 on en déduit donc les deux termes manquants pour la deuxème suite on peut constater qu'on passe d'un terme au suivant en mettant au carré on obtient donc 16 au Carr puis 256 au Carr donc je construis et je complète mes deux tableaux ici on a constaté qu'on obtient un en prenant le carré de l'indice on a donc une définition explicite un = n² avec on note n supérieur ou égal à 2 dans le deuxème cas même chose on construit et on complète notre tableau ici on passe d'un terme au suivant en mettant au carré on a donc une relation de récurrence un + 1 = un² on n'oublie pas de rappeler le premier terme 0 = √2 notez que de façon générale la définition par récurrence est plus facile à trouver par contre elle a un très gros inconvénient elle ne permet pas de trouver un terme donné pour trouver u 100 il faut le terme précédent U99 et si vous ne l'avez pas il vous faut u98 et cetera alors que la définition explicite vous permet directement de trouver un terme par le B son indice pour trouver u 100 il suffit d'appliquer la formule pour le nombre 100 pour les suites arithmétiques qui font partie des suites les plus simples il est très facile de passer d'un terme au suivant ici il est clair qu'on passe de 5 à 8 ou de 8 à 11 en ajoutant 3 et de même pour passer de tout terme au suivant on a donc obtenu la définition par récurrence on n'oublie pas de préciser U0 = 5 maintenant comment faire pour obtenir la définition explicite la technique consiste à déterminer U1 U2 U3 et cetera à partir de U0 jusqu'à voir apparaître la formule j'exprime U1 en fonction de U0 j'ajoute 3 surtout je n'effectue pas le calcul car je ne cherche pas U1 mais une formule j'obtiens U2 de la même façon en rajoutant 3 et encore 3 j'obtiens U3 en rajoutant 3 x 3 à U0 de même pour U4 que j'obtiens 5 + 4 x 3 j'ai ici l'idée de la formule je peux donc exprimer n'importe quel terme U10 va être égal à 5 + 10 x 3 la formule générale est donc un = 5 + N x 3 ainsi les suites arithmétiques ont une définition par récurrence très simple à trouver un + 1 est ég à un + quelque chose qui s'appelle la raison n'oubliez pas de préciser le premier terme et leur définition explicite consiste à exprimer que l'on obtient un en partant de U0 et en rajoutant n fois la raison ces formules sont à connaître par cœur ou à retrouver rapidement je vous rappelle que pour les suites géométriques on passe d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre ici 2 on obtient ainsi facilement la relation de récurrence un + 1 = Un X 2 on n'oublie pas de préciser le premier terme pour obtenir la définition explicite on utilise exactement la même méthode que pour les suites arithmétiques U1 est obtenu en partant de U0 que l'on multiplie par 2 U2 3 x 2 x 2 de même pour U3 pour U4 on généralise une série de multiplication génère une puissance ici 2^iss 4 on a à présent l'idée qui permet de retrouver n'importe quel terme donc pour u 10 3 x 2^ 10 et de façon générale un = 3 x 2 puissance n pour les suites géométriques on passe d'un terme au suivant en multipliant par Q et si on précise le premier terme on a la définition par récurrence et pour la définition explicite on part de U0 et on multiplie n fois par la raison Q on obtient donc U0 x q^iss N ces formules sont bien entendu à connaître par cœur ou à retrouver rapidement que retenir tout d'abord il faut bien distinguer pour une suite terme et indice il faut également savoir qu'il existe deux types de définition l'une qui décrit le passage d'un terme au suivant la définition par récurrence et l'autre qui décrit le passage d'un indice au terme la définition explicite dans une définition explicite un est directement exprimé en fonction de n son étude sera relativement simple c'est beaucoup plus compliqué dans une définition par récurrence car un + 1 est défini en fonction du terme précédent nous avons vu que pour les suites arithmétiques et géométrique on passe très facilement de la définition par rcurrence à la définition explicite en revanche pour d'autres types de suite ce passage de définition par récurrence à définition explicite est beaucoup plus compliqué c'est d'ailleurs très souvent l'objectif principal des exercices de suite