1ère Technologique STMG -Devoir 1 heure - Les places de spectacle - Etude de bénéfice affine

bonjour à tous alors aujourd'hui je vous propose un sujet de devoir donc environ 50 minutes à 1h sur le bénéfice avec donc coût recette on est sur une salle de spectacle voilà donc c'est un grand classique on a 35 € par place j'ai choisi un coup voyez de production qui est affine on verra ça en détail hein ici les élèves donc répondre en dessous donc si vous vlez vous entraîner que vous êtes un élève et bien vous imprimez vous essayez de faire voilà il vous faut à peu près si vous êtes très bon ça peut aller plus vite hein mais voil une quarantaine cinquantaine de minutes jusqu'à 1 heure si vous faites vraiment tranquillement les choses il y a de tout hein donc c'est vraiment l'étude ici des recettes et du bénéfice dans une situation assez classique assez simple avec lecture graphique vous voyez il y a des courbe ici ensuite j'ai fini par un petit travail sur les pourcentages et des petites questions un petit peu sur le même sujet voilà donc c'est complet ça permet de bien s'entraîner he je mets sujet donc en pièce jointe comme ça vous pouvez l'imprimer si vous avez vraiment envie de vous mettre dans des situations dans une situation vraiment de devoir donc je vais corriger ça comme d'habitude entièrement tranquillement en essayant d'expliquer au maximum les choses donc je vous d'abord vous montrer le sujet dans son intégralité et après ben je vous laisserai travailler si vous avez envie mais moi je serai le corriger donc le voici donc c'est un jugetyz du 2 décemb 2024 ici nom prénom petite photo que j'ai pris sur Chat GPT pour pour faire Jol donc là on a ici donc salle de spectacle donc un coup ici annoncé à 3000 + 15x la place vaut 35 € la salle contient jusqu'à 500 spectateurs et X ici c'est le nombre de spectateurs acheter une place donc la recette en euros et de donc R de X et le coût donc c'est de X le bénéfice sera donc les recettes moins les coûts ce qui fait r dex- CX donc en première question calcule le coût recette pour 100 donc on teste ici pour des valeurs pour 500 coût recette Bénéfic quels sont les coûts fixes d'accord les coûts que l'on a même sans spectateur c'est une question très rapide ensuite recette en fonction de x dans quelle famille de fonctionnner est-ce que c'est une fonction affine linéaire du second degré et cetera donc montrer que l'expression du bonus du bénéfice c'est de 20x - 3000 calculer donc on utilise cette formule pour calculer bénéfice pour une salle remplie à 60 % on va maintenant résoudre donc une équation x= 0 qu'est-ce que ça signifie pour notre situation pareil avec une inéquation et on déduire à partir de combien de spectateurs la salle commence à être rentable voilà ça c'est donc la première partie ensuite une partie graphique je donne deux courbes celle de la recette celle du coup à vous de savoir déjà euh quelle est celle de la recette et donc quelle sera celle du coup ensuite on va retrouver ici il manque un petit tirer faudra je rajoute comment retrouve-t-on les résultats de la question 6 7 et 8 voilà maintenant les coups fixes doubl passe à 6000 hein quelle est la nouvelle expression des coûpts et la séance peut-elle être encore rentable voyez un petit peu d'analyse du sujet et maintenant je vous l'avais annoncé des petits pourcentages des petites proportions un prix du billet augmente quel est le nouveau tarif si le prix dimin de 15 quel sera le tarif voilà des petites questions ici calcule d'un taux d'augmentation une pourcentage d'augmentation voilà et ensuite on pareil on séance à rapporter 14000 vérifier que ça fait bien 35 € et une petite question voilà vous voyez c'est très complet hein comme ça vous AZ toutes les questions clairement et maintenant on est parti donc je commence tout de suite le corriger voici le corriger que je propose donc ici on Demand le coût la recette le bénéfice pour 100 place vendu faut bien comprendre que dans ce cas-là et bien la valeur de x c'est donc 100 on va donc calculer C 100 je remplace voyez dans donc ici la formule qu'on donne 3000 + 15x le X par 100 ce qui fait 3000 + 15600 qui fait 3000 + 1500 donc 4500 je fais une conclusion coût total pour sonemplacement du 4500 €. la recette on n pas encore la formule hein mais on sait que on a donc ici 100 places vendu chacune vaut 35 je fais donc le produit 35 x 103500 j'ai donc une recette de 3500 € pour le bénéfice et bien fais je fais la recette pour 100 place moins le coût pour 100 place qui me fait 3500-in 4500 je trouve ici très important un nombreux ici négatif don quand on a un bénéfice négatif et bien on est en fait devant un déficit on perd de l'argent donc pour 100 place vendu le bénéfice est négatif il y a donc un déficit de 1000 €. pour la deuxème question c'est exactement la même chose par contre pour x = 500 on vend 500 places donc le cinéma enfin la salle de spectacle est pleine donc je fais la même chose 3000 + 15 x 500 ça ça sera le coûp j'ai remplacé X par 500 ce qui me fait 3000 + 7500 10500 donc coût 10500 la recette vous avez cette fois-ci 500 personnes qui ont payé 35 € chacune ça fait 35 FO 500 ça fait 17500 donc de recette pour le bénéfice les 17500 de recettes moins les 10500 de cout la soustraction me donne 7000 donc cette fois-ci c'est un nombre positif il y a donc un gain de 7000 € question quels sont les coûts fixes les coûts fixes c'est les coûts qui sont indépendants du nombre de spectateurs c'est les coûts quand vous ne fabriquez rien donc ici vous remplacez X par 0 dans la formule voyez ça fera C0 on a alors 3000 + 15 x 0 ce qui fait 3 alors on peut aussi rappeler que la fonction C c'est une fonction affine d'accord et quand on a une fonction affine on a une expression s la formma x + B d'accord et bien le nombre B ça s'appelle l'ordonnée à l'origine d'accord et c'est en fait l'image he c'est Al quand la fonction s'appelle F bien sûr ici j'avais pas V mais si la fonction s'appelle F c'est donc l'image de zéro donc vous voyez que ici on avait même pas besoin de remplacpo le l'ordre origine c'est 3000 parce que votre expression c'est en fait dans l'ordre 15x + 3000 et donc l'ordonnée à l'origine c'était directement 3000 donc on aurait pu répondre mais voilà ça coûte rien finalement de remplacer X par 0 vous trouvez donc 3000 ce qui fait des coups fixes à 3000 €. maintenant donc déterminer de X en fonction de x de quelle famille de fonction fait-elle partie alors la recette on sait que là on a donc 35 € par place donc on peut peut-être j'ai peut-être essayer de exppliquer si vous achetez donc al regardez un nombre de places et la recette si vous achetez qu'une place vous avez gagné que 35 € si vous vendez deux places vous allez gagner 35 x 2 3 places 35 x 3 et donc ici on a bien compris si on vend 10 places 35 x 10 donc si vous vendez x place vous aurez 35 x x qu'on écrira 35x donc on a ceci ça veut dire que votre recette ici c'est 35 fois le nombre de places vendu on obtient ici une expression qui est celle d'une fonction R est une fonction linéaire c'est-à-dire une fonction affine donc on a une expression sur forme x + B mais ici le B vaut 0 donc il y a pas de plus B si vous voulez il vous reste que le AX pour votre culture estce qu'on va s'en ser aussi dans la question graphique le nombre 1 c'est ce qu'on appelle le coefficient directeur autrement dit autrement appelé la pente d'accord ici 35 ça veut dire que dès que X gagne 1 les images gagnent 35 maintenant trouver l'expression du bénéfice alors le bénéfice donc en fonction de x b2x on a dit c'est les recettes moins les coûts donc r2x- CX c'est ici d'accord donc r2x- CX on va remplacer r2x par 35x CX par 300 plus mais on fait très attention vous avez ici un moins donc quand vous faites 35 x si vous ne mettez pas les parenthèses ça va donner ça et vous aurez une faute puisque le moins concerne aussi pu il faut vraiment mettre les parenthèses c'est très important et quand vous enlevez ces parenthèses 35x le moins va être distribué donc les deux termes vont le recevoir moin 3000 - 15x ensuite on réduit hein le 35x 15x va donner 20x et il y AA - 3000 donc c'est bien 20x - 300 la relation donc démontrer donc on fait bien attention j'insiste parce que dans les copies je le vois souvent ce moins on le distribue bien et laissez-v guider par texte on a on connaît r on connaît C et on écrit r- c calculeer le bénéfice réalisé pour une séance remplie à 60 % de sa capacité donc la première étape bien c'est de trouver le nombre de places qui vont être vendu donc on a 500 spectateurs 60 % donc c'est qu'il faut calculer 60 % de 500 donc on multiplie 500 par 0 6 c'estàdire 60/ 100 06 x 500 ça donne 300 donc vous devez calculer le bénéfice pour x = 300 donc on vient de trouver l'expression on va l'utiliser le bénéfice c'est donc 20 x 300 3000 ce qui fait 6000- 3000 je trouve 3000 donc bénéfice ici de 3000 € il y en a peut-être qui auront fait autrement qui auront qui n'auront pas utilisé la question précédente vous pouvez faire donc la recette 300 moin le coût pour 300 recette c'est donc 35 € x les 300 places vendu moins le coût pour 300 donc je le calcule peut-être à côté comme ça voilà le coût pour 300 c'est donc 3000 + 15 x 3 300 oui donc ça me fait 3000 + 3 x 15 ça fait 45 donc + 4500 ce qui me fait 7 500 donc ça fait 3 x 35 ça fait 105 donc ça ça fait 10500 - 7500 ce qui donne voyez ici 3000 donc on retrouve évidemment le même résultat que si on avait utilisé directement cette formule ici en remplaçant X par 300 300 c'est répète 60 % de 500 maintenant résoudre bx= 0 quand déduiton donc il s'agit de résoudre une équation alors b2x on nous l'a déjà donné voyez c'est 20 x - 3000 donc il s'agit de résoudre 20x - 3000 = 0 pour résoudre ça j'ajoute 3000 des deux côtés ça fait 20x = + 3000 donc ça fait 3000 ensuite on doit diviser ici par 20 donc là voyez on fait + 3000 des deux côtés ici on divise par 20 des deux côtés ça me fait x = 3000 sur 20 al so vous prenez votre calculatrice sinon ici vous simpliiez par 10 ensuite 300/ par 2 ça fait 150 qu'est-ce qui se passe quand déduiton et bien pour x = 150 BX vaut 0 et quand BX auss qu'on a pas de bénéfice ni de perte ni de déficit donc on est ce qu'on appelle un équilibre donc la salle est en équilibre c'est un bénéfice nul pour 150 spectateurs exactement on vous demande ensuite de résoudre BX strictement positif donc c'est quasiment la même chose qu'on vient de faire sauf qu'ici on met strictement on ajoute des deux côtés 3000 ça fait 20x strictement plus grand que 3000 on divise par 20 ça ne change pas le sens parce que 20 est strictement positif d'accord ça c'est très important et donc là ça fait 3000 div par 20 et quand on a calculur ça fait 150 donc qu'est-ce qu'on en déduit que le bénéfice est strictement positif quand X est plus grand que 150 strictement ça veut dire qu'il faut pas répondre 150 à partir de 150 parce qu'à 150 on a vu on est on est en équilibre donc là on doit dire on doit rajouter un donc c'est à partir de 151 spectateurs qu'on fait vraiment du bénéfice qu'on a un bénéfice strictement positif soit de vous dire donc au moins 151 ou vous dites précisément strictement plus de 150 je crois par contre que c'est plus clair quand on dit à partir de 151 ou au moins 151 spectateur on a tracé donc ici les courbes du coût et de la recette quelle est celle de la recette alors je rappelle qu'on a déjà dit que R éta est une fonctionnaire donc sa courbe est une droite qui passe par l'origine du repère parce qu'on a une expression je rappelle 35x on dans les fonctions affine expression a x + B si vous avez un B qui est égal à é0 on est dans les fonctions linéaire elles sont très particulières parce que la courbe est une droite qui passe par l'origine donc ici regardez laquelle des deux droites passe parorigine c'est celle-ci d'accord donc ça c'est la courbe de la recette on a bien une droite elle passe par l'origine l'autre est une droite qui ne passe pas parigine on est en présence ici la courbe d'une fonction affine non linéaire ici la recette c'est une fonction affine linéaire donc voilà ici on peut indiquer elle passe la courbe passe par l'origine et donc ça veut dire que l'autre ici sera donc le coût d'ord qui est une fonction affine donc rappelle que le coût c'était donc CX l'expression c'est 3000 + 15x j'aurais pu écrire 15x + 3000 on met d'abord 3000 souvent parce que ça on l'a dit ce sont les coups fix X et ça ici he ce qu'on appelle comme ça varie en fonction X c'est les coûts qui sont variables d'accord donc on met en général au pluriel donc ici sur le dessin petite remarque tit pas demandé mais là la droite verte ici et bien vous avez un 3000 au niveau de l'axe vertical on passe ici au niveau la valeur qui est donnée c'est la fameuse ordonnée à l'origine voilà donc on a ces deux courbes il faut bien comprendre exercice que quand la courbe recette est en dessous on perd de l'argent quand elle se coupe c'està dire ici on est sur une ici ça c'est en fait le point d'équilibre budgétaire et après les recettes sont super vous voyez on gagne de l'argent après ceci et avant et on va justement retrouver tout ce qu'on a dit précédemment pour la question 6 on avait trouvé que le bénéfice réalisé pour une séance remplie à 60 était de 3000 ça veut dire qu'on avait estimé alors je pas écrire comme ça on avait estimé que on cherchait la valeur pour X é= donc 300 donc 300 regardez on est ici donc je vais aller chercher donc tout d'abord les recettes le coût donc le coût est ici les recettes sont ici et si vous voyz le bénéfice en fait il est c'est l'écart entre les deux courbes va gagner de l'argent donc il faut aller lire les deux valeurs donc ici graphiquement on arrive à peu près donc on va dire 10000 500 de recette ensuite le coût c'est à peu près là donc je suis à 8000 donc 8000 moins on va dire 7500 d'accord 7000 c'est ici on est à peu près au milieu et donc on retrouve bien voyez on retrouve bien alors là c'est sur le graphique on indique bien ici qu'on a une un écart de à peu près 3000 donc c'est bien un bénéfice hein voyez c'est cet écart là ici 3000 vous voyez c'est 1 car et demi et là on a effectivement à peu près donc ici un écart de 1,5 donc à peu près 3 1000 € d'écart avec une recette positive donc on retrouve bien qu'il faut pour la question 7 BX = 0 donc c'est dire que les recettes et coups sont les mêmes donc on regarde l'intersection donc vraiment le point important c'est l'intersection il y en a qu'une ici voilà donc à cet endroit on a déjà dit c'est r2x est égal à C Dex les coûts valent les recette donc le bonus le bénéfice pardon est est égal à zé donc là on regarde et bien on se les deux se coup ici pour x 150 donc vraiment on a retrouvé notre résultat qui était la salle équ pour 150 pour la question 8 donc bénéf POS donc ici il faut que les reces so audessus des cûord ça veut dire qu'on va regarder toute la zone qui est aprèsinsection donc on a ici donc 150 donc effectivement la courbe de R est strictement au-dessus de celle de C pour X strictement plus grand que 150 ça veut dire c'est à partir de 151 qu' on a une recette plus grande que les coup donc on a un bénéfice positif voyez ici hein les recettes sont au-dessus donc là on est sur une zone de bénéfice du vrai bénéfice au sens propre positif ici vous êtes sur une zone donc de déficit les recettes sont en dessous et là vous avez ce fameux point dont on a déjà parlé le point d'équilibre là on a pas de perte déficit zéro hein pas de bénéfice pas de perte voilà et donc on a bien retrouvé t les résultat sur ces trois schémas question 10 les coups fixes double et passe à 6000 on avait dit les coups fixes é'était 3000 les coup fixes se décomposent en coût fixes plus coûts variables les coûpts fixes on a ditsim les cooups variables n'ont pas changé donc ça reste 15x tout à l'heure on avait 3000 + 15x ça double 6000 + 15x donc ça c'est la nouvelle expression donc pour l'instant pour la question suivante on va utiliser cette formule là la séance peut-elle être encore rentable déta les calculs donc ici la rentabilité on a vu c'est atteint quand B strictement positif donc il faut que les recettes soi plus grandes que les coûts le bénéfice on a dit c'est rx- CX r n'a pas changé les places sont toujours à 35 € ça fait 35x par contre là dans le coût on a le coût fixe qui a augmenté on a maintenant 6 000 + 15 donc si je calcule le bénéfice en fonction X je vais trouver cette fois-ci 20x - 6000 et quand je résous BX strictement positif ça me fait 20x - 6000 strictement positif donc 20x plus grand que 6000 je divise par 20 x est plus grand que 300 je peux le faire au ralenti si vous voulez ici on a une étape intermédiaire je vais la mettre carrément entre les deux si j'ajoute 6000 des deux côtés ça fait 2x plus grand que 6000 l'étape d'après X est plus grand que 6000/ 2 et donc X grand strictement que 300 comme tout à l'heure à 300 ça va être un équilibre et donc il faut un spectateur de plus au moins pour gagner de l'argent c'est donc 3001 maintenant quelques questions sur les pourcentages augmentation du prix du billet donc le tarif est de 35 le prix augmente de 10 % quel est le nouveau tarif et bien je rappelle une augmentation de 10 % alors vous pouvez le faire soit avec l'addition vous calculez 10 % 35 qui fait 3,50 ça fera 38 ou alors directement vous rappelez que quand on augmente de 10 % quand on fait + 10 % ça équivaut à une multiplication par 1 + 10/ 100 c'est-à-dire FO 1,10 on pouz aussi écrire FO 1,1 d'accord d'ailleurs 1,1 c'est 110 % c'est en fait 110 % ça veut dire que le nouveau tarif c'est 110 % de l'ancien et donc vous voyez que la réponse c'est 38,5 €50 €. pour le tarif réduit donc si le prix dimin de 15 % quel est le tarif réduit donc donc il faut calculer enlever 15 % donc une première méthode vous calculez 15 % de 35 vous faites 35 x 15/ 100 c'est-à-dire 35 x 0,15 voilà et vous enlevez ça à 35 c'est ce qu'on vous propose ici ce que je vous propose sinon on sait que quand on a une réduction de 15 % don 15 % ça correspond à une multiplication par un moin 15/ 100 et 1- 15/ 100 mais ça fait 0,85 5 c'estut dire que le nouveau prix c'est 85 % de l'ancien et on obtient voyz 29,75 € donc le tarif réduit sera975 €. le tarif actuel d'une place don est de 35 maintenant le prix passe à 50 quel est le pourcentage d'augmentation ce qu'on appelle le taux d'évolution donc qui va de qui permet de passer de 35 à 50 donc la formule la connaissez valeur finalement valeur initiale sur valeur initiale avec ici valeur finale 50 valeur initiale 35 donc pour résumer on a cette chose là on passe 35 à 50 donc ici on cherche le taux donc pour ça voyez on fait 50 donc valeur finale moins la valeur initiale 35 sur 35 qui fait 15/ 35 si vousz en pourent vous multipliez par 100 vous rajentez pour et ça vous dira 42,96 % à peu près d certains font une autre formule pour on fait la valeur finale sur la valeur initiale he il trouve ici donc 50/ 35 qui s'appelle ça c'est le coefficient en multiplicateur et donc là en arrondissant ça fait 1,4286 et donc pour aller au taux il faut enlever he donc le taux ça sera donc 04286 quand vous le mettez en pour alors c'est évidemment des valeurs c'est donc à peu près 42,86 %. une autre méthode qui marche très bien il reste deux questions donc une séance avec 400 spectateurs apportter 14000 € sils ont tous payer et bien 400 personnes devrai payer 35 x 400 c'est-à-dire 14000 donc effectivement on a bien un tarif du billet qui est de 35 vous pouvez aussi faire 14000/ par 400 qui va vous donner 35 €. maintenant dernière question si une réduction de 20 % est appliqué au prix du billet quelle sera la recette totale donc il faut qualculer 20 % de 35 € le prix c'est 35 je fais 20 % on a dit il reste 80 % à payant multiplié par 0,8 sinon vous appliquez cette formule quand on fait 20 % ça revient multiplié par 1 - 20/ 100 c'est-à-dire 1 - 02 c'est-à-dire x 0 80 ou 0,8 si vous préférez donc ça donne un billet à 28 €. 28 € il y a 400 personnes donc ici la nouvelle recette c'est donc R400 qui fait 28 x 400 ça fait 11200 € donc pour une sance a 400 spectateurs on aura donc 11200 €. on aurait pu aussi calculer la recette avec le prix normal en faisant 35 x 400 ça aurait donné ici alors 3,5 x 4 ça fait 14 donc ça aurait donné 14000 € et là on aurait fait les 20 % après voz ça revient au même et donc vous faites 14000 x 0,8 8 x 14 ça fait 112 donc ici ça aurait donné effectivement 11200 € donc c'est une autre façon de procéder qui est acceptable voilà c donc cet exercice est terminé j'insiste pour ceux que ça intéresse pour s'entraîner bien j'ai mis en pierge join donc tout ce qu'on a fait là donc avec le texte entier vous êtes professeur vous pouvez le prendre pas d'erreur je pense en plus voyez tout préparé pour que les avz la place pour répondre il y a un petit peu de tout et après que le corriger voilà je suis qu'on VI de regarder voilà j'espère que ça pourra vous être utile je vous souhaite une bonne fin de journée à tous et à bientôt