🔯最新課綱🔯 九下數學 ~ 二次函數的歷屆試題(1)

歡迎收看數學很簡單,我是趙老師 那今晚上我們要上的是國三九年級的數學 目前進度講的是二次函數的歷屆試題 那我們會把那個歷屆題目的考過跟二次函數相關的 都做一個詳細的說明喔 那我稍微看一下題目,其實歷屆在二次函數這邊考的沒有說很難 但是考的也算靈活 那我們看一下那個在講義的第49頁來 那這是第五題喔,我先把圖畫下來 第五題 他說呢 平面四邊 魯夫圖他說呢 平行四邊形的ABCD中角B45度 他的周長40公分 周長是說呢全部加起來的邊邊啦,就40公分喔 他說這個平行四邊形的面積最大是多少平方公分 那我們要開始去假設未知數 那怎麼假設比較好假設呢 要求這個平行四邊形的面積 他的做法是底邊 乘上高 那45度角 45度角 所以我把他這樣子 連起來之後呢 什麼形 他會是一個 等腰 直角三角形 因為這裡有直角嘛,這邊45度,這邊怎麼樣,跟他一樣大 都45度 那我們要去求面積他周長是 周長是40公分的話 這個平行四邊形喔 他的周長 周長 是40 40公分 那如果說把那個AB的長度 給他是X的話 這邊是X喔 這邊當然也是X 那這邊呢,這邊不是射Y啊 這邊你要這樣想喔 他的周長 是 40 那40除2的話 是20 20表示說這裡 加這裡是20 所以BC的長度呢 他就是 20-X 這樣沒錯吧 再想一次喔 他的周長是40 把這樣子對切 對,所以周長一半不就20 這樣切過來一半是20 所以20扣掉 X 那這邊呢 20-X 就是我的BC邊 那你要求面積呢 底邊的邊長乘以高 那我現在這個 這邊是X 那高多少 還有的是那個特殊角 就是那個 等腰 指導三角形 我們這邊推一下,畫個小的 比例是1比1比 1比1比不是壓壓 1比1比剛好2嘛對不對 1比1比剛好2 結果呢 你現在這邊的斜邊的長度是X 那這一等份多少 你要怎麼做 對,你要把他除剛好2 因為剛好2除剛好就變1啦,變一等份的部分 也是我這個骨的部分 我要求他的高 我要求這邊的高度啊 把這X 去除以剛好2 所以 X去除以剛好2 可以有理化 上下都乘 剛好2 乘剛好2之後呢,他的分母就是2 那他的分值啊 是剛好2乘X 剛好2乘X 所以你要寫 剛好2X X放後面 因為他是一個位置數放後面 變成這樣子 好 那這裡呢是要求他的面積 面積最大是多少 來,把他乘起來 所以求面積怎麼求 他的面積假設是Y好了 好,所以Y 就會等於 底邊的邊長乘上高 那底邊的邊長呢就是這個 20減X 再乘上高 那高就是我剛剛寫的 這個 二分之 根號2 X 一定要寫 X我現在把他寫到這邊中間 是OK的 因為這是係數啊 拆光號 好,拆光號的時候第一個呢 我把他重新排序過 X平方我先寫 這個乘這個 被X二次,是負的 他是負的 二分之 根號2 X 二次 認同 因為我是把他 乘進去 先乘到這一個變二次 這個乘這個喔,他可以約分 2跟20約是10 10乘根號2 10根號2 所以他是 加 加10根號2 X 有時候我是把這個喔,拆光號乘進來 同學看不懂 我是把這一個 有沒有,拆光號 乘到這一個 對不對 是乘這兩個啦 如果把這個先寫到前面去啦 所以這兩個相乘喔,負正的負嘛 X乘到他 變二次啊,係數照抄 20乘上二分之根號2,約分變成10 10乘根號2,10根號2 X 就乘過來啦 好,那我們要那個 去求他的 最大最好值 叫配方法 那這個要提多少 對,你要提的是負 二分之根號2 所以呢 我把那個負的 二分之根號2提出來 所謂的提,提這個動作是一種除法 有時候在X二次,這個被除掉,除掉就是1嘛 被提走就是1 所以在X二次 那這個去處理他 就是你要提這個東西是提負號 所以 正的就要變號,變成減 所以記得喔,這裡要寫減 因為他有變號 因為你是提負號 提負號之後呢 提負之後負的變正 提正的,正的就變負的啊,你提負號 好,再來 10根號2去提他,什麼要提啊,這除法嘛 所以我把這個10根號2,寫這裡喔 10根號2 去除 這一個 處理他等於乘倒數 所以乘上 根號2 分之2 然後就根號2,根號2可以約掉 約掉之後變20 所以要減20 然後空格先保留一下 好,那這要放什麼東西呢 這裡要放的是這個值 一半二次方 他的一半是10啊 所以是10的二次方 12次是100喔 但是100呢 又乘到負的2分之根號2 好,所以 你加10平方是100嘛,100又乘到他 所以 100 去乘上 負的 2分之根號2 這樣子的乘約分 是負50根號2 所以變成寫這個加100之後 會變成多加 多減50根號2 多減了50根號2 這邊要補回來 加上50根號2 所以把它整理一下喔 他就變成了這樣子 負的 2分之根號2 乘上x減10 的平方 再加上 50根號2 換句話說 這個平行式面型呢 他的面積最大的時候是x用10代 這邊是10的時候呢,這邊也是10 他是個菱形 這個時候呢 那個面積最大值 就是 這個 50根號2 他是問什麼 問面積最大多少 所以你要回答這一個 是50根號2 這是第五題,這樣沒問題 應該沒問題 再來我們看下一題吧 正方形呢,他說a的邊長為m 正方形b的邊長為n,他假設說 關係 m加2n的關係就是 他說ab兩個正方形的面積和 最小是多少 a的面積邊長是m,b的面積 邊長是n 你說面積和 面積和就是 m平方加上n平方 可是這樣沒辦法減,如果你要去換,怎麼換呢 把m換掉,你有沒有發現 2n移過來減2n比較有出力 所以m會等於 5減2n 把這個m的這個正方形的邊長 換成這個 5減2n 其他都沒有變 他變成這樣 變成是5減2n 的平方 再加n平方 這個時候就做苦工啦,就開始拆掛號,整理他,享受一下樂趣啦 a減b平方展開來,就是5的平方25 減掉2ab 2乘5乘2 2乘5是10 乘成220 減20n 再加上這平方是4n平方 記得有2,2,4喔,4n平方,再加n平方 我把n平方合併在一起,而且重新排序過帳面排列 帳面排列是說把次方高的先排 這樣合併之後呢,他是5n2次 然後減20n 再加25 好,前面呢,開始去配方法,然後因為我要求那個最大最小隻 把這5提出來 提出來之後呢,變成n平方 減掉4n 空格保留 25放後面 25放這邊來啦,所以他不用變號 但是都除5之後變成這樣,結果 然後這個位置啊,要加這個值 一半二次方 一半是2,2的二次方 224 這個4 又乘到5了 變成多加20 多加20後面扣20 所以他就變成了 5倍的 掛號 n減2 的平方 再加上5 25減20變5 有說呢 這兩個正方形呢 他的邊長分別是 分別是n是2的時候 若n是2 m的邊長是1 這兩個面積平方和最小 就是5,所以他回答哪一個 他說面積和最小是多少 所以你要回答最小就是5 那這是 這第六題喔,這樣有沒有問題 OK喔 好,50頁這邊的話呢,我們要上的是那個歷屆的詩題喔 那個歷屆詩題 在那個第50 50頁這邊喔,好,換過來囉 好,50頁這邊的話呢,歷屆題目呢,在二次函數這邊出的非常靈活 靈活不代表難喔,靈活代表說呢 你稍微思考一下 雖然你可能都沒有經過這種題型 但你稍微想一下,其實都還算好解,比較靈活 來,我們看一下那個在50頁的第一題喔 那麼第一題呢,這個題目出的就比較屬於老式的出法喔 考古題的感覺 他是這樣說的 y等於負3x平方 加12x減7 這個圖形的頂點座標是多少,那同學大概會笑了 如果是會考這樣子考,大概都送分的喔,那還是比較早期的題目的出法 他會出比較基本 可是我們這邊題目是包含的那個歷屆 歷屆題目包含的像是基本學歷測驗 跟會考 都會有,因為有些機車題目可以同學當作一個練習喔 好,我們怎麼做呢,當然就先提負3 所以呢,就把這個負3給提出來 好,那提負3之後 提負3以後 後面的那邊x2次,記得喔 你是提負3,提負3的想法這樣子喔 就是要除以負3 好,所以 你這真的會變化變減啊,12除以3不就是 減4x,x不要漏掉喔,不然老師寫也漏掉喔 好,再來呢,這個減7呢 減7喔 減7直接就掛在車尾啊 就不用變號知道嗎 為什麼不用變號,因為他也沒有跨越等號 我們的變號這樣子喔,你是把東西拉走 經過等號 纔要變號 那個做法很像等量加減法 你的移向法則喔,是等量的加減法 這個把位置拉後面去,他不是移向,他就沒有移啊 你說移位置也對啦,只是他只是把他拉到後面去啦,沒有跨越等號不叫移,好不好 好,再來這邊怎麼辦呢 要加這個值 一半的2次方法,4的一半不就是2 2的2次喔 你這樣聯想比較好寫啦 2的2次多加4 多加4卻乘到負3 反而變成多減12 多減了12後面給他補回來 因為本來就沒有減12嘛,那你本來是加4啊,加4也多寫的,又乘到負3變多減12 多減12後面當然要補啊 變成這樣子囉,是負3乘上 x-2的平方 負7加12就加5,所以變成說呢 這函數的開口是朝下 朝下最大值是5,他不是問這個,他問頂點座標,那更容易啊 你就想到怎麼寫呢 把這裡面變成x用2代,那y就是5 所以頂點座標是25 選的就是a 這是第一題喔 這樣子有沒有問題 再看那個第二題 第二題的話呢 好,這題不錯 蠻有趣的一題喔 看起來很嚇人喔,你稍微想一想就發現,其實好像沒有那麼一回事 我們看那個第二題 我把題目先抄下來,同學可以好好想一想 可是我們那個 歷屆的題目 他其實就是那個下一次會考,在考試的方向,其實八九都不離十 所以你不要以為說歷屆題目都不重要,考過不會再考,對啦 考過是不會再考,可是那個大方向是不會變的 我把題目先抄下來 這是第二題喔,在那個50頁的第二題 判斷下列哪一組的abc case的這個參數 他在座標平面上 的圖形會有最低點 只要題目長這樣子喔 他說 那個abc要怎麼搭配 會有最低點對不對 你要怎麼做呢,第一個你要先整理他 怎麼整理他呢 整理就稱之為同類項合併 你就把那個 有x2次的 大家都放在一起 然後呢,把那x1次的大家都放在一起 把常數項全部集中在一起 這樣的方法就稱之為同類項合併 同類的併在一起 所以呢,x2次的會有這個a 跟-5 就把他抄下來 x1次的有這個b跟-3,你就寫個b-3 常數項有一個c跟加7 寫c加7,好那你看喔 這個圖形 如果他要有所謂的最低點 開口是朝上 還朝下 要有最低點開口一定是朝上 朝上的時候有什麼限制 有 這個係數要大於0 所以發現說呢 這a-5一定要大於0 換句話說,第一個限制是a大於5,看選擇,選答案 a大於5的好不好找 a大於5的太好找了,a、b、c、d裡面只有一個諸選項 他是a等於6大於5,其他都比5小,不行啦 所以答案選出後面都不能看的 就結束啦 這是第二題 叫什麼題 要看那個函數的最低點 開口會朝上 朝上這個x2次係數b大於0 因為大於0所以a會大於5 我們找答案發現 只有諸選項的答案是符合的 他的a是6有比5大 其他的a都比5小,都不行 好看那個第三題 在51頁 第三他說呢 有一個二次函數呢 他叫做,我邊講邊寫,這二次函數呢 他是y等於ax²加bx加c 然後呢 他的ab為整數 我亂寫一通 這第三題他題目不這樣說的 他是說他的那個 y呢 他的係數 這二次函數y呢 他的係數是 x² 再加ax加b 剛剛瞄一下也會是我想的那樣子就不是了 他說呢,ab為整數 然後呢,此函數呢 在座標平面的圖形呢 在a軸加入兩點 而且呢,兩軸的交點距離是4 這兩個交點距離是4 然後呢,這對稱軸是sa-5 sa-5呢,是這個二次函數的對稱軸 那我們再簡單畫一下,雖然不是考圖啦 不過有時候我們畫圖可以幫助理解這題目在 在算什麼東西喔 其實sa-5怎麼樣 負在這裡喔 這邊是0,一單位乘 1,2,3,4,5 負5是這個,這樣子下來囉 好,那這邊是正的啊,開口是朝上 朝上之後他又說 他的那個a軸呢,交於這兩點 這兩點呢,距離又是4 這兩點距離4不就等於這邊這樣子過來 這樣過來,兩個兩個 加起來不就是4 他距離是4啊 跟a軸的交點 這兩點距離是4,對不對 所以我們想開口應該就這樣子 應該就這樣跑啦 他正的,對不對 好,那我們再看喔 他的對稱軸呢,是sa-5 那負5往右移兩個 這個座標叫做負30 負5往這邊移兩個 那這邊就是 負70 因為這個座標是負5 因為這一條虛線呢,是對稱軸 所以sa-5嘛 他又說這兩點距離是4,4除2 不就一半是2 這樣過來往右加兩個 負5加2變負30 過去兩個,負5減2 變負70,對不對 好,那這個時候呢 他問說這二次函數會通過哪一點 首先呢,我就要把那個二次函數給找出來 所以我們這裡可以這樣想 如果呢,他跟x軸 的交點 是負70跟負30 是負70跟負30的話 也代表說呢 這個二次函數喔 他在y用0代,是a軸的時候 那個答案 就是 負7跟負3 解釋負7跟負3 如果你x的解 是負7 跟負3的話 那逆推回去 這個 一元二次方程式,怎麼逆推 就變成了x加7 乘上x 加3 等於 0 對不對 對吼,為什麼對,你看 因為呢 把負7帶進來 有沒有,把負3帶進來 他都是0 這是跟a軸的交點,沒有錯 再看喔 這個x二次的係數剛好是1 我這個乘出來他也是1 所以這二次函數找到了 他就是 y 等於 x加7 乘上x加3 那展開來之後 就是這個拋物線二次函數 那我先不要展開 他叫我們去套答案 他說呢 a選項說 會不會通過負6負1這一點 有沒有通過你當然不會知道,你就要帶進來去算了 負6負1 比如說你x使用負6帶 y會是負1嗎 x使用負6帶 負6加7 負6加7是 1 負6加3 他是負3 1乘負3會是負1嗎 不會啊 所以a不對嘛 再看b 那b給的座標呢,他說負6跟負2 不會啦,因為我們剛剛說負6帶進來之後算出來答案是負3 所以不是負6負2 那答案就選c啦 答案是負6負3 因為我x使用負6帶的時候 乘出來結果就是負3 所以c座標 他說負6負3,有經過嗎,有,有經過,為什麼 因為帶進來之後是符合的 這樣知道嗎,所以答案選的是c 這是第三題,加寶題 20還說呢 y等於2x平方 減8x加6 的圖形 是哪一個 看有沒有可以投機的 有啦,投機就這樣子啦,第一個他開口是朝上 因為二次方 好再來呢 跟y軸的交點 跟y軸的交點就是x用0帶 用0帶答案是6嘛 所以 他跟y軸交於0,6 如果這個圖裡面你去看一下 跟y軸交點是0,6一個就選他了,就結束了,就很快了 所以我們看一下 跟y軸交點是0,6的 有兩個 a跟b 所以c柱可以先劃掉 如果考試不夠,至少二選一可以選一個 但我現在不能這樣做啦 我現在把他處理出來 好那到這邊之後呢,照答a跟b a、b要怎麼選呢 那就只好再進一步啦 把題目做配方法整理過 早點點啦 好就把那個2提出來啦,所以y就等於2倍的x2次 減4x 6放後面 放後面不要變號喔 好再來呢怎麼做 加這個值 一半二次方 二的二次,一半是二嘛,二二四 二二四四二八,多加8後面要減8 所以呢他這個配出來的二次函數 是2倍的括號,x-2的平方 6-8是負2 如果你x用2帶的時候函數值 y是負2,2負2是頂點 頂點2負2找一下哪一個符合的 就a啦,所以答案選擇是a 這是第四題喔,加碼題 好再看那個52頁 的第五題喔 其實你把那個數學第六冊學好 你剛剛誰講的也沒錯 你就不用再複習第六冊啦,因為剛學完印象最深刻 因為反而是那種國一國二的 尤其是國二 國一的啦,越久遠的就忘得越多,但是國一數學算很基礎 所以基本上你學得過來都沒問題,國一就沒什麼大問題 那國二的東西很多啊,像什麼平方根啊 那個解方程式啊 比式定理啊等等 還有那個數列級 等差數列級數等比數列等等,那都很重要,如果你忘記要複習一下 因為國三你剛學過,所以印象他還算深刻 在複習的時候會比較省力 省力但沒有省功 看那個 第五題 我們看一下那個第五題 如果說我們剛剛寫的那個歷階題目 的第三題,你剛有聽懂的話,這裡就算簡單 他怎麼說,他這裡說呢 如附圖呢,這冊來說呢,他是 y 等於 31x 平方減 929x 加 89 的平方 那問題說呢 這個圖形在這裡 他說判斷方程式呢,31x 平方減 929x 加 89 等於零 89 等於零,跟這個是一樣的東西 他兩根的情況 何謂兩根 兩根就是解,什麼的解,這個的解 這個的解很明顯,y 就變這邊啊,y 是零耶,y 是零是什麼東西 a 軸 a 軸是 y 等於零,所以你看到圖啊 這兩個 x 的答案怎麼樣 都是正數 所以他的解是兩個正根 相異兩正根 所以答案選擇是 a 結束了,這是第五題 所以他題目有時候不是你想那麼難的喔,稍微看圖有找到答案的 這種題目需要多出一些 好,再看那個第六題 好,第六題他是說呢 這個圖形呢,跟哪一個方程式的圖形會沒有交點 首先你要這樣想喔 這圖形開口怎麼樣 開口會朝上 開口朝上 朝上之後,上面這個上是無限搭的上 也就是說呢,這種題目呢 他說跟哪一條線沒有交點 跟 x 等於什麼的一定都會有交點 為什麼 因為 x 等於什麼呢,是一條牽直線 他是無限搭 所以呢,你說畫這邊沒有交點嗎,有耶 他延伸過去就有啦,對不對 所以這邊怎麼畫都會有交點 x 等於什麼是一條牽直線 所以 x 等於什麼的都會有交點 那只有這個水平線是 y 等於什麼的纔不會有交點 那 y 等於什麼怎麼看呢 y 等於什麼的,他是水平線嘛 如果你今天這樣畫,欸,兩個交點 你今天這樣畫,欸,一個交點 你畫下來怎麼樣,欸,就沒有交點 換句話說呢 他的頂點位置我就很關心啦 頂點位置我要知道 怎麼樣知道呢 配方法,把它配過 所以要把這個整理一下 x 2 次減掉 x 那個加 3 拉到後面去 前面這邊的話呢 加這個值 一半二次方 就是 3 乘 2 次方 3 3 9 多加 9 後面要減 9 所以變成這樣子 他是 x 減 3 的平方 3 減 9 是負 6 這什麼點 這最低點 代表說呢 這個最低點的答案呢 就是 3 負 6 他的 y 的值啊 函數值最小是負 6 也不能比負 6 小 所以看他答案裡面選哪一個 答案選的是豬 他這個豬選項呢 y 等於負 50 負 50 是很下面 很下面一條水平線 就沒交點了嘛對不對 所以答案選他 因為不能小於負 6 就這樣子而已 這是第六題 這樣有沒有覺得很輕鬆 有齁 看那個第七題 第七題喔 好 復圖的座標平面上 這三人數的圖形呢 是 y 的 s 平方加 b 的加 c 圖形的通過了負 1 1 跟 2 負 1 可是你看他圖喔 負 1 1 不是頂點 他只經過了這一點 負 2 負 1 也不是最低點 他剛好經過這點 A 他說 y 的最大值小於 0 最大值看什麼 看這頂點 頂點在這裡啊 他是不是正數 正數啊 所以是 y 的最大值會大於 0 所以 A 不對 那 B 他說 s 為 0 的時候 y 的值是大於 1 s 為 0 的時候什麼意思 是 y 軸 這個交點的函數值有大於 1 嗎 沒有 這比他高他是負 1 所以這個點就比 1 還要再更小 對不對 所以 B 也沒有啦 C 要說 s 為 1 的時候 y 的值大於 1 s 為 1 的時候這邊是 2 喔 1 在這個中間位置喔 你對下來會大於 1 嗎 就比這個點還要再更低 y 是 1 是這一條 是這個位置 y 是 1 這個位置 你比他更低了 怎麼會是大於 1 不會喔 所以答案是豬啦 s 為 3 的時候 y 的值小於 0 s 為 2 的時候就負 1 啦 s 為 3 的時候往下再找啊 一定會小於 0 嘛 沒有錯喔 所以答案選的是豬 所以這裡很明顯也是看圖在回答 都很簡單喔 所以一定要會好不好 好看那個第八題喔 我們三頁第八題他說如附圖 圖畫平面上的這三個數字是 y 的 s 平方加 1 的圖形 通過 a b 兩點 而且他的座標分別是 a 座標是 a 四分之二十九 b 座標是 b 四分之二十九 然後除了 a b 的水平距離喔 這邊的距離 這時候你當然是要找 a b 的 a 座標 怎麼做呢 他的 y 都是四分之二十九 剛好是對稱點 所以把這個 y y 就用四分之二十九 代入 然後直接求 x 的解 所以變成四分之二十九 等於 x 平方加 1 把 1 過來減 1 啊 所以變成 x 平方 s 平方就等於啊 這個位置 交換起來 s 平方就寫這裡喔 而 1 過來減 1 喔 所以減掉四分之四 變成四分之二十五 好開始了 解 x 的答案 兩邊同時開根號 右邊加正負 所以 x 的解呢 等於正負的二分之五 那正負的二分之五代表說呢 右邊這個是正的 二分之五 左邊這個 b 是負的二分之五 那你要求這個 a b 的水平距離 就是看 x 座標的距離 就是這兩個的距離 距離怎麼求 直接就相減啦 等於說 這邊是二分之五這邊也是二分之五 所以二分之五加二分之五多少呢 答案就是五 所以 他的水平距離呢 答案是五 選這一個 選的就是 a 那我們就今天先上到這裡 下次我們再來把這個二十四函數的歷階題目 把它給再做練習 好今天講到這裡囉 掰掰