八下數學 09 等差數列(9)：歷屆試題終極壓軸 (28-32 題)、會考高階邏輯推理、1-1全單元完美收官｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是趙老師 今天晚上我們教的是國二的等差數列的題目 今天應該是開學的第一週的第一天 同學應該很開心,終於經過個寒假之後看到自己的同學 看到新同學,看到自己的老同學 看到同學就很開心了,又可以開始好好的一起開心的學習 來,我們看再講一則42頁 目前我們要教的是等差數列的歷屆試題 如果說你是今天第一次收看到這個直播影片的話 那可能前面的課程你都不是很熟悉 我建議說你可以先把前面的一到八個單元先看過,再來看第九次上課 今天是我們的等差數列的第九次上課 那為什麼上那麼久?因為這題目很豐富 然後老師也盡量把它講清楚,所以就時間花得比較久 來我們看講一則第42頁的歷屆第28題 它題目說呢 其實這裡說的很好玩 我先畫圖,因為它有一個表格要畫出來 它也是有點像速讀 但是不是,它就是一個等差數列的小題目 我把這題目先畫一下 我把它畫漂亮了 等差數列的公式記得複習一下 還記得吧 AN AN等於什麼? A1加N減一乘D 這是DN項的公式,務必要熟記它 我發現畫畫格子畫錯了 1、2、3、4有四格 這邊也是有四格 那秀一下 這樣就四格了 這邊是上下都三格 那其中呢,這邊是42 題目給的已知 這個是A,這個是B 這邊的數字是26 這邊的數字是70 然後題目是A減B 當然不是這樣子 它是說,如圖呢 橫列有九個方格,直列有七個方格 如果將每個方格內都填入一個數字 使得橫列方格內的數字 由左而右是等差數列 由上而下一樣成等差 那共同方格的位置是42 要求A跟B互減 A減B的答案多少 一次的題你再看一看 這邊是26 42 這邊到這邊 長度一樣,格子一樣 什麼意思? 42是這兩個數的等差中項 那就好辦了嘛 等差中項是說 這兩個相加除二是42 換句話說,這兩個相加就是中間兩倍 這兩個相加 A加26相加除二 就會等於42 所以我剛剛說,這兩個相加 等於中間兩倍 所以A加26 A加26就等於42兩倍嘛 84,有沒有 兩邊都乘二當然變成兩倍啊 這樣懂意思嗎? 所以等差中項可以這樣想比較快 26一罐減26哦 A答案多少? 它是84減26 相減完之後答案是58 應該對了 最近這個加減法不大靈光 常常會算錯 A是58 再來為了要求B呢 方法一樣哦 你看哦 B哦,從這邊開始 東東東,42 東東東,70 欸,你看 B到42,42到70 它的距離是一樣 代表說怎麼樣 42是B跟70的等差中項 好辦了 這兩個相加就是中間兩倍 所以B加70 會等於42的兩倍 所以B加70 就會等於84 那B答案多少? 71減70啊 B答案14 那AB算出來之後呢 不要開心啊 發覺A減B啊 還沒好了 A減B啊 A多少? A就AA58 減掉B啊 B剛剛算出來新鮮的啊 14啊 減掉14 58減掉14多少? 答案就44 所以答案選44 我們就選A 這是第28題 這樣子OK嗎? OK啦 所以你只要發現 其實題目本身沒有很難 你不知道字很多就放棄啦 字都很多了啦 但是都很簡單 所以看到題目還是要耐心的把它讀完 再來看一下那個 第29 29的話呢 他說小玉拿了一堆旗子在玩排列遊戲 第一次呢 放一顆如圖一 第二次放九顆 排成一個正方形如圖二 第三次排25顆如圖三 然後呢 他的規則是 每一次都排正方形啊 就越排越大啦 那每邊的旗子數啊 每一次都比前一次多兩顆 我跟你說 第十次排的圖形 比第九次排的多了幾顆 然後最好這麼多旗子可以放 反正不管啦 那29題啊 他的圖1這樣子 圖1我寫個1 他就排一顆豆子 那圖2的時候呢 他是說 他的邊長都會多兩顆啊 所以會變成這樣子喔 多兩顆 變成三顆 這邊多兩顆變三顆 然後排了一個正方形就變這樣 那圖3的時候呢 又多兩顆 你本來就三顆了啊 多兩顆變五顆啊 所以變成這邊五顆 這邊有五顆 那排起來一共幾顆 一共就變成了25顆 我先把它畫完了 圖1的時候呢 是1乘1 1乘1就一顆 圖2的時候呢 2乘2 不是3乘3 變成九顆 圖3是5乘5 所以是25顆 代表說圖4怎麼樣 他變成7乘7 比如說他是1357 邊長的個數 是1357這樣做排序 那問你說圖 圖9 第十次比第九次 多放了幾顆 所以用第九次 第十次的總數 減掉第九次的 他問說 第十次比第九次 多了幾顆 所以我要把第十次 扣到第九次 那按照這樣排序排法 13579 排到第十個 答案多少 有兩種方法 一種就直接暴力一排 反正排到第十個 也沒很遠 一個就用公式嘛 那因為不是很遠 所以我覺得考試 就直接排就好 12345678910 你看12345678910 而且他數字又不難 所以你直接排就比較快啊 變成一個 變三個 5791113171921 13579111315 15不見了 漏掉了重來 後面排過 13排到15 這邊是151719 對不對 好那這個時候呢 這個就是什麼 圖10 圖10的是這一個 圖10這一個 圖9是這一個 請問你說 圖10比圖9多幾個 圖10有幾個 19乘19 19的平方 扣掉這個圖10的17的平方 所以答案選這一個 所以答案選的是C 那如果說他問的是圖100 跟圖99的差異怎麼辦 你就不能這樣排 這樣排會掛掉啊 你就帶那公式嘛 這個是第一箱 第二箱 第三箱 A4 A5 A6 這是A10對不對 如果問你說 第一百箱跟第九箱的差異 你就A100 減掉 算是A100再公式 A100等於A1加 N減1乘D 這樣會比較快啦 就不能這樣排了 因為我們這邊數字比較小 就可以這樣排 好我們看那個 第30 第30題 這個也是不錯的一題 一樣是等差 數列一個排序的過程 等差數列 A1 A2 A3 一直排到A100 然後呢 後面有一個資料很重要 他說 A70減掉A57 會少於0 問你說 下面選項哪些正確 喔這裡超棒的 這裡畫五顆星 這裡很多選擇題 在進階題的考法 這邊都出了很多題目 因為看起來很簡單 那他的思維很正確之後 你思維要正確就好回答 有些同學就是 看到題目就是亂掉了 就答不出來了 但這裡是蠻簡單的 30題啊 他說他是A1 A2 A3 會一直排到A100 然後呢 已知A70 第70項 減掉A57是嗎 57還67 57 減掉A57 會少於0 他的選項有四個 每個我們都看一下 因為每個選項都很棒 A選項是說 他的A43 第43項 減掉A69 第69項 會大於0 再來是B選項 是A42 減掉A51 會少於0 再來是C選項 他是A18 再加上 A51 會大於 A21 加A48 再來是 豬選項 因為這個每個選項都很棒 A12 再加上A31 會大於 A9 加上A34 我們看這幾題哪裡棒 首先我們看一下他的描述 他的等差數列是A1到A100 那其中他給的這個資料 A70減A57小於0 同學看起來沒有感覺 你把A57移走 A70會小於 有沒有注意到 他代表說什麼意思呢 這個等差數列在排的時候 他是越前面的是越大 A1比A2大 A2比A3大 所以他是越排越大 排序怎麼樣 他是從小 顛倒獎 A57大於A70是說 他是越前面 越前面越大沒錯 所以是越排越小 所以他會從大的開始排 越排序怎麼樣 後面就越小 換句話說你的像素越多 他的反而是越小的概念 所以像素越多的就越小 所以A70比較小 A57比較大 所以像素越少就越大 所以他從前面大的排到小的 所以以A來看的話 你比較像素 這兩個A43的像素比較小 越小的就越大 像素越多反而是越小 大減小大於零對不對 當然對啊A就對了 雖然A就對了啦 不過我後面寫出來還要看一下 為什麼他們其他是錯的 你看那個B選項 A42減到A51 A42比較前面 越前面就越大 A51後面就越小 大減小應該大於零 所以當然B就寫錯 C位的時候特別要講解 你看他像素 A18加A51 會大於A21加A48 那到底是大於還是小於呢 同學我告訴你 答案叫等於 你看他像素喔 18加51多少69耶 這邊呢2A加48一樣是69啊 這兩個像素相加是相同的啊 所以會相同的 因為他們是一樣的等差中相 但是他沒有等他 因為他們像素相加不能除了 只要是像素相加相同的 他的總和就會相同 所以這兩個相加等於這兩個相加 要改等號 不是大於 再來下一個也是 12加3143 9加34一樣43 一樣是等於耶 所以後面都錯了 所以這裡我每個都寫出來 同學把它訂正一下 那這是那個 第30題 好我們來看那個 第31 好31題呢這是用那個 等長程吸管啊依序 向右去排 像這個題目也是啊一開始都很簡單啊 他是民國90年出來了 民國90年各位還沒出生吧 那個時候是那個基本學歷測驗 這是比較簡單的一開始 是先有基測 纔有會考 所以基測那前幾年出的題目都比較 平易近人都很簡單好笑 他就出了這一題 那後來這一題也變成一個範本 很多一些習作題目有跑出來 那我們看一下那個 第31題 31題他是說呢 他用一個等長的吸管去排 所以排第一個要這樣排 吸管排出來的圖1 接著呢他要排兩個三角形 變成這樣排 這是第二個圖 接著呢又再排 排出第三個圖 本來是這樣對不對 變成有三個三角形 所以圖1一個三角形 圖2兩三角形 他說圖10的時候呢 排到第10個 你看他都很親切啊 排到第10個就好了 他也怕你解不出來還可以幫你解 這點我們就用公式好了 你看喔你圖1用了幾根吸管 簡單數一下 3根吸管 圖2幾根吸管 1 2 3 4 5 多2根嘛5根吸管 圖3幾根吸管 多2根變7根 你會發現每次多2根嘛所以他公差就是2 首相還是3 然後求第幾個第10個 A1 A2 A3到A10 我求A10啊A10就代公式啦 把他公式化好了 AN等於什麼 A1加N-1乘D 那A1 A1首相3 再加上N-1 DD是公差 公差多差2啊所以乘以2 92先乘除喔921818加3 對答案就21 所以圖10會有21根吸管 所以他這也不難齁 這邊OK嗎 為什麼一開始點進來沒有 應該都有吧齁 題名也好剛那家宏不好意思啊 沒有跟你打招呼齁你把話收回了 好來 這邊有沒有題啊 31齁 再看那個32題 32題這裡也是蠻經典的 就是會排那種就是 他會排一些圖案啊排一些圖形 然後叫你同學找規律 其實都很簡單這不難 我們看那個32 我先畫圖好了 因為他這跟圖有關係 好32 32 32題他說 某一條公路上 從里程8公尺到 4000公尺為止 每隔8公尺他就將樹跟燈 按照圖中所示的規則去設立 從里程數8開始 種了一棵樹 16公尺設一盞燈 20公尺又種一棵樹 然後兩盞燈的間隔距離相等 依此規則 他說哪一個選項會是里程數 800到824公尺之間 樹跟燈的一個排序 正確的排序 然後我們看那個32題 所以他怎麼排呢 我把它畫一下 因為簡單我就簡單畫 這是樹 他這邊寫8 再來是燈 燈我喜歡耶 這樣子完全都符合老師的 教學需求 簡單畫就好 這是樹24 每隔8公尺就設一個 然後這又是樹 32 他沒有寫32後面就點點點 我故意寫32 這邊就是點點點我寫40 你把它寫40好了 這樣比較容易懂什麼意思 然後再用這邊的路燈 再來就是樹 我把它題目先畫完了 再加856 這又是樹 再加864 好同學看一下 他是按照這樣的規則 什麼規則你有沒有注意到 他有沒有規則可循 有啊有規則 樹燈樹樹樹 燈樹樹樹 你這樣就怪怪的 你來這樣看啊 他是兩盞燈中間有三棵樹 那我們前面一開始是一棵樹 叫樹燈樹樹 樹燈樹樹 他這種規律啊 他是樹燈樹樹的規律方法 樹燈樹樹 後面也是樹燈樹樹 那變成是說 他是每32公尺 就重複循環一次的 有沒有注意到 樹燈樹樹 這也是樹燈樹樹 而且你看喔 把40去除以32的時候 除以8 第一個 把48去除以32 因為每32公尺循環一次 除以32餘16 剛好是路燈 56除以32餘24 剛好是樹 所以我問你說 他從800公尺到824公尺 要怎麼排 你就把800去除以32 因為是每隔32公尺就重複循環 除以32看餘數 重點在餘數 放2好了64 相減之後是 6 放5 放5之後整除 整除是哪一顆呢 整除就是從 32開始 因為32除32是沒有餘數 所以從餘8 餘16 餘24 整除32 他的800公尺排法 這邊是800 再加8 824 800到824的排法 怎麼排呢 我們剛剛說800這個是餘0 餘0是哪一個32開始 所以是樹樹燈樹 所以他排法是 樹樹燈樹 的答案 選這個圖案 樹樹燈樹 這樣有沒有問題 所以這裡也是很容易的 你只要可以找出他的規則 其實就不難 再來我看 歷屆試題的最後一題 這個講完我們就要講 等差級數 我剛剛看一下康軒版 這次把等差數列級數 後面又出一個等比數列 那往年等比都沒有出現過 108顆鋼之後 好像有一些變化 就是他出了一個等比 但是我對照一下其他的版本 因為我沒看到等比的 所以蠻奇怪的 康軒版跑出來 其他版本又沒有 應該都會有 可能就是他們把章節排到後面去 所以我們教完等差級數之後 我們會再教個等比 等比的部分 同學有些是康軒版的 可能等比就沒有上到 我們看44頁 題主的這一題 他是說閱讀下列的敘述 回答他的問題 他的下圖是有一個 座標平面 正方形是ABCD 我先把座標畫出來 他的座標呢 有一個正方形 座標還記得喔 A軸跟Y軸 正方形 這個是A A座標 座標的 座標位置是1 這個是 B座標 C座標跟D座標 C座標是-1-1 看得出來就是 邊長都是一單位長 這個正方形的邊長是兩單位 就兩格長 1加1不就2 這邊1這邊1 -1-1 1跟1 後面的座標呢 這個是 1-1 然後這個座標呢 -1-1 那題目是說呢 他有甲乙兩個人 甲乙兩人呢 他的在A點 第一次相遇後 甲乙兩人在A點 第一次相遇 第一次遇到 所以第一次遇到這邊就遇到了 這邊是第一次遇到 然後呢 甲就以每秒 A的速率 沿著正方形的邊長逆時針方向 等速行走 甲是逆時針 甲這樣走 乙就順了 乙是順時針 而且每秒B公尺的速率往下走 甲的是A 乙的是B 他們的速率 那麼第一題要問說 如果 A等於7B的話 那麼他們第二次相遇 在何處 所謂A等於7B呢 你可以把它寫成比例式 A比B等於幾比幾 同學會不會寫 A比B幾比幾 到底是1比7還是7比1 如果你怕寫錯也沒關係 寫完之後來想一想 你的內乘內要等於外乘外要符合它 假設你寫1比7好了 內乘內1B要7B 那就寫錯了馬上改 所以不要怕寫錯 它一定要符合內乘內外乘外 內向乘內向 外向乘外向還要變回去 這邊是7B所以這邊是7比1 真的不會錯 所以A等於7B 代表說A跟B的比例 叫7比1 那什麼叫7比1呢 就是A走7步 A的7步換B的1步 所以A比較快 那我們假設走A 所以A走7步 B會走1步 這邊是1步好了 A的1步 2步3步4步5步6步7步 這邊 剛好符合 所以我們如果按照這樣看的話 第二次的遇到在這邊 這邊第二次遇到 所以它的座標是10 所以遇到的位置在10 所以A選項 你要寫的是10 選的是A 好第二個 它說如果A不是7B 那第二次的相遇在珠點 第一次的相遇在A 第二次的相遇在珠 那我們根據它的規律來看的話 這邊是第一次遇到 這2我拆掉不要了 這是第一題的不要用它了 第二次遇到在珠 它的規律不就1 2 3四張牌 1 2 3 這邊 1 2 3 4的順序牌 第一次遇到這邊第二次遇到這邊 第三次預測這邊第四次預測這邊 它說那第91次呢 在哪邊遇到 因為它是4個4個循環 所以就用91去除以4 我們的重點只看餘數 如果餘1這裡餘2這裡餘3這裡 餘4那裡 所以除以4變什麼22餘幾 餘3那一個C選項 就是C座標遇到 所以答案選的是C 這樣OK嗎 這邊講的是那個 等差數列的歷階試題 這個講完之後呢 我們還有一點時間我們來上那個 等差