🔯最新課綱🔯 九下數學 ~ 二次函數的應用(3)
數學很簡單
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2026年3月14日
😱 02:08 x平方和-6x合併,是 x平方-6x,誤寫為 x平方+6x,合併之後是(x-3)的平方,感謝李銘欽糾錯。
⭐講義第46~48頁
⭐應用問題與列式
⭐試題精選
⭐適用現在就讀國三下學期學生
⭐內容涵蓋康軒版、翰林版、南一版
⭐數學很簡單 肇忠老師
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今天我們要上的是九年級國三的數學
目前進度講的是二次函數的應用
這應用的題目其實比較多類型
所以每個類型我們大概都稍微瞭解一下
所以在應考的時候會發現說
這題目你有做過,會大有概念怎麼去處理它
那就是考古題的好處
就是我們大量去做一些題目之後
然後經驗夠之後
看到題目就會去應對它
就會去處理它
那如果說這個題目很陌生的話
我們都要花時間去了解
然後再去做一個解題
來我們看那個在46頁的第二題
好第二題呢
這題也是個古老題目
那這一題呢
我個人沒有很喜歡這種題目的設計
因為它是一種被設定的
限定某一種特殊的處理方式
纔能夠解題
基本上我個人很討厭那種特殊解的
我最討厭題目那種設計
它要特別的解法
只能夠這麼做纔能夠解的出來
這樣的解法我覺得不是很好的提醒
但是因為怕有些模擬考
或者是一些小考、斷考考出來
所以這題目還是把它納進來
來看那個第二題
好這題啊
題目站起來
S平方加2Y平方加Z平方
減掉S加4Y減10Z加17的最小值
那麼這個題目的話呢
如果它在會考出現
基本上可能會送分的
因為它已經不是一個一元二三
不是個二三數了
它已經有三元了
三元二次的一種函數在處理它
但是沒關係我們當作一種練習
好這題要怎麼做
其實這題很特殊
就是說我剛剛講到特殊呢
就是說它的解法只能夠這樣走
不外沒有其他解法的
你看喔
這有個X二次
我們就去找一下
這邊有一個-6X
那我覺得我可以把它湊在一起
那感覺蠻直覺的
我就把這個X平方跟6X擺在一起
那擺在一起之後呢
可是它有個常數還排在這邊
17這邊
那怎麼辦呢
沒關係先不理它
我們這邊先把它變成一個完全平方式
所以你要加多少
你要加這個6一半二次方
所以你要加一個6的一半是三
加三平方
那你說老師多加三平方後面要減掉三平方嗎
先不要
為什麼
因為我這17還沒處理它
所以我就先記得說
我這邊有多加一個9
多加了9了
再看Y的部分
那Y的部分的話呢
它寫的是2Y平方
那我就把那個二倍先提出來
所以加上
我把那個二倍先提出來
就2Y的二
2Y平方的二提出來
二提出來之後它是Y平方
這邊4Y變2Y
因為提二了
空格一樣保留
我也是希望說
這可以變成一個完全平方式
所以你認為啊
這要放多少
可以加這個值
二一半的二次方
二一半是一
所以要加上一的二次方
加一的二次方
一二次是一
又多加一了
先不要扣
你問我要不要減一
先不要
這個多加了9
這個多加了1
現在一共加多少
9加1
等一下再一起扣
反正我現在多加了9
多加了1
好繼續呢
再來我們看一下Z的部分
Z在這邊
Z平方
我把Z寫這裡
再加上括號Z平方
後面是搭配減10Z
如果這個要配成完全平方式
一樣
你就要加多少
你要加這個
5的二次方
對不對
5的二次方
然後那個加17
我先照抄下來
加17
開始扣了
這要扣什麼東西
這三平方是剛剛多加的
所以要扣9
要扣回來
因為沒有東西了
一平方要扣掉
扣回來
五平方25要扣掉
要扣回來
所以分別要減9減1減25
變這樣子
接著我們再把它整理一下
然後就變成了前面這括號
它是X加3的平方
再加上兩倍的括號Y加1的平方
這個齁
完全平方式
還有這個Z的
再加上它是Z減5的平方
最後這常數
把它整理一下
減9減1就減掉10
17減10
剩下7
7減25是-18
它會變這樣子的喔
所以得到這個結果
來看有沒有寫9
喔來來
剛剛發現有一個問題
漏層的
來
哪邊漏層呢
這裡呢
它是加1平方對不對
不能寫一個減1
因為有X到2
有沒有
漏寫了
所以這個錯了
把它改一下
剛剛稍微瞄一下
發現不對
這邊要寫減2
為什麼要寫減2呢
因為
這裡是1平方
又X到2
所以多加2這邊要減2
那減2之後呢
這就不是啦
所以它是
呃
17減9是8
8減掉2是6
6減25是-19
所以要減19
好我們再看一次
好這個時候呢
這個平方出來都是正數
最少是0
平方出來沒有負數
最少就是0
所以如果這個
最少都是0的情況下
這個時候呢
這個函數
它會有最什麼值
它的最小值
就是-19
因為這個會比0大嘛
它最小是0啊
如果你這邊是
如果X是-4好了
你-4加3不就-1
平方變正1啊
所以這個最小值就0嘛
X用負3代它是0
Y用負1代這也是0
Z用5代這也是0
0加0加0減掉19
不就-19
所以-19呢
會是這一個
情況下的一個最小值
所以我問你說呢
最小值多少
那答案就是-19
所以我剛剛說這題
因為基本上是被教設計過
這樣解纔能夠有答案
這所謂的特殊解
必須要這樣的一個思考方式
才處理得出來
所以我覺得不是那麼的靈活
但是還是要學一下啦
這樣沒問題
這是第二題
好我們看那個第47頁
應用問題
我把題目的意思先描述一下
它說呢
小文呢
利用一個100公尺
長的一個鐵絲網
要圍出
ABF1
跟EFCD
兩個相鄰的長方形區域
分別種花跟種菜
它說那這個ABCD
它的面積最大是多少
好那這題因為沒有給圖啊
要寫ABCDEF什麼東西
我們自己畫一下
這個是一個長方形的花圃
它有提到呢
最大面積是ABCD的面積
然後有個什麼EF的
ABFE喔
FE喔
FE這樣子
ABFE
然後又EFCD
那應該這樣畫沒錯吧
我把它C寫好了
感覺很像
那個英文字母E對不對
好那我反差咧
怎麼跑那麼遠
好我把這個
E寫好了
好
所以這個是圖啊
不是E喔C喔
寫到E自己覺得很像E
ABCD跟EF這樣子
所以它說呢
用100公尺的鐵絲網
圍出
ABF1
EFCD
這兩個相鄰的長方形
分別種花跟種菜
問你說這個ABCD
它的面積最大是多少
等一下我把那個手錶的聲音
先關掉一下
好來看喔
它的鐵絲網呢
最長就是100公尺
去圍這一個長方形的區域
我們就把那個AB的長度啊
給它是X喔
這邊呢也是X
這邊呢當然也是X喔
所以鐵絲網呢
扣掉這一個
是不是100
要減掉3X
因為扣掉這三個
扣完之後呢
還有上下內
上下還要去圍啊
還要去圍這一個
還要圍這一個
那這兩個有沒有一樣長
一樣長
所以上下的長度怎麼樣
變得要除2
所以這個樣的寫法是誰啊
就是A珠長
這是A珠的長度
所以A珠長
變這樣的寫法
因為100公尺的鐵絲網
扣掉3個X
變成上下這兩個
要除2變成其中一段嘛
所以除2之後變成A珠長
那問那個長方形的面積最大多少
都類似啦
球面積就是長乘寬
所以我假設呢
面積最大值是Y的話
Y會等於長乘寬
長就是這邊的長度
叫做2分之100
減3X
然後乘以寬
那寬就是X嘛
乘以X喔
好這邊我們把它那個
先拆開整理一下
這邊沒辦法去乘2
不然都乘2去分母
不這樣意思
分母2還是保留
我把它乘起來之後
X乘以100
叫100X
我寫後面去
X乘以-3X
叫-3X平方
加100X
好那這個時候呢
因為我們要去做配方法的動作
那配方的時候呢
如果你覺得這樣不好看
我把它拆開寫好了
拆開什麼意思呢
我把那個分數
先拆開
分開啦
這個分開呢
它是2分之-3X平方
100除2就是50X
就分開了
我把那個分子分開
分開之後呢
配方的第一步
是要把這個係數都提出來
它寫2分之-3
就提2分之-3
所以也蠻單純的
所以第一步啊
我就把-2分之-3提出來
提是一種除法
比如說這個要去除以它
除以它變X2次
還有這個要除以它
我們旁邊寫一下
除完之後記得
正負的符合變化問題
先看這個
提負號嘛
提負號出來
這正就變減了
50要去除以它
50去除以2分之3
等於乘導數
乘上3分之2
變成3分之100
所以減掉3分之100
X
位置先保留一下
來
這裡要加什麼東西
剛剛有說過
要加這個值
一半二次方
3分之100的一半是什麼概念
一半就是乘2分之1的意思
有沒有
變多少
變3分之50
怎麼感覺好像變回
變3分之50
變成3分之50的平方
有時候加一半的二次方
所以要加3分之50
的平方
結果這個乘出來多少呢
這個平方乘出來是
9分之250
是多加的
還乘到這個負的2分之3
有沒有
乘上負的2分之3
我把它整理一下
從來沒什麼結果呢
313339
2跟它約分125
變成負的3分之125
本來是加這個喔
結果乘到這個之後
變負的3分之125
變成多減
多減後面補回來
加上3分之125
好
我把這個計算過程擦掉了
等一下
50平方是2500
少了一個0
今天計算很秀逗
所以呢除2之後
是1250
1250
所以這邊少一個0
50乘50
2500
不是250
有什麼爛乘法
好來繼續喔
我們把這個整理一下
整理一下喔
就變成了
負2分之3的x
這邊寫減一樣寫減
減這個
減3分之50
的平方
再加上3分之1250
這很明顯開口是朝下
會有最什麼值
最大值
所以當你x是3分之50的情況下的時候
這面積有最大值
3分之1250
他會問什麼東西
他會問面積啊
最大多少
答案回答分數的這個
3分之1250
平方公尺
這是第一題
這樣沒問題
沒有喔
好
那個會計算錯呢
也表示老師沒有照解答操
有時候就是沒有看解答
直接就算了
有時候通常都是
我覺得看解答算很痛苦
所以我都會自己在黑板上面
直接就算起來
算來算去有時候算錯了
但是沒有藉口
算錯就算錯了
盡量避免錯
很多東西這樣子
小地方錯
在考試的時候東錯西錯
那就不會對了
所以要注意一下
好
老師也要注意
你們也要注意
好
這樣好了嗎
我們看一下那個
第二題
他說在一棟建築物裡
從5公尺高的窗戶裡
所以這個5
他寫個5什麼意思
這窗戶的高度
這邊到這邊5公尺高的意思
然後呢
水管斜著向外噴水
他這樣噴水噴出來
然後再落下來
他說噴的水呢
在垂直於牆壁的平面上
他就噴出了一條泡霧線
如附圖
那頂點離牆1公尺
等於說
這邊到這邊的長度1公尺
頂點在這裡的話
這樣1公尺
題目說的
並在離牆3公尺處
又落到地面
所以是說
這邊到這邊
3公尺
這題目的意思
這邊寫個3
代表這邊3的意思
然後他說
他問你說
這個時候呢
水柱的最高點
比發射點高出多少
這個最高點
跟水射出的那個地方
比如說
這個最高點
跟這邊
這樣的落差是多少
對不對
看起來好像蠻棘手的
我們想想
不然我們把它想成一個大座標
來去處理它好了
什麼意思
我們可以這樣想
就說呢
這個
也就是Y軸
這個大座標
這是一個Y軸
那麼這個呢
橫的呢
那就是A軸
這是A軸
然後呢
這個牆角的位置
就是原點
對不對
這個牆角是原點
所以這個點座標
它就是什麼
05
05沒錯吧
這個點座標呢
就叫做30
因為這原點嘛
這邊三個
這邊要30
那頂點的話呢
這我知道一個啦
它這個就是1
另外一個就是不知道
不知道射
不知道射K好了
1K
K
就射K
然後可以套公式啊
公式怎麼套
有頂點的公式
就那一個
就是Y等於A倍的
A指的是開口方向跟大小
因為方向朝下是負的
可是大小你還是不知道
沒有訊息
沒有A的訊息
寫個A
A倍的括號
X減
H
H是1
減1的平方
再加K
好那寫到這邊的時候
同學要知道喔
哪些是你要求的未知數
哪些不是
S跟Y不是未知數
而是AK是未知數
AK要把它求出來
AK怎麼求
好在有這兩點
05跟30可以用
所以把它代入
你理解
那怎麼代呢
第一個05的話呢
是說
X用0代
Y用5代嘛
對不對
叫05
好X用0代
Y用5代代入之後呢
Y是5吧
5先寫喔
等於X用0代
0減1
1平方1
1乘以A
A加K
這是第一式喔
再來用30代
X用3代
Y用0代
所以Y
Y就0嘛
0等於X用3代
3減1
2
2平方4
4乘以A
4A加K
好解這個倫理解
好那解的時候呢
它一定可以使用
相減消去法
相減喔
怎麼減
我個人喜歡挑大減小
如果這是第一式
這是第二式的話
我會比較喜歡4A減掉A
因為我不喜歡
A減4A變-3A
我覺得不喜歡
看個人好不好
我有2減1喔
第二式減掉第一式
好減的時候呢
0減5負5
然後呢
4A減A3A
可以減K就沒K啦
所以故意使用相減消去法
A多少呢
A答案是負的三分之五
那就帶回去求K
當然帶第一式
看起來比較乾淨喔
代入1
代入第一式
好代入第一式的時候
我們把它算一下
你的第一式的A是負三分之五
一過來加三分之五
所以K就等於
負三分之五一過來加
所以是5加三分之五
大概三分之幾啊
這5加1分之5喔
你擴分到三分之15
15加5 20喔
三分之20
所以這個散數我可以寫了
它是Y等於A
負三分之五
括號X減1的平方
再加K
K是三分之二十
三分之二十
所以有頂點嗎
有
1跟三分之二十
所以也不用寫那麼多
我知道求K而已
幹嘛寫那麼多
沒關係啦
我們就燒包
等一下寫多一點
所以二式函數呢
答案是這個
雖然他沒有問
如果他有問的話
這個就是個答案之一
他不是問這個啦
他問你是說
這個最高點這個K
到5的垂直距離
所以其實用K去減5就好了
算了一大堆喔
沒關係算都算到了
所以呢
右邊回去
所以我們把這個呢
K的值是三分之二十
去扣掉那個窗戶的5
5一樣啊
5就是一分之五
變三分之十五
所以三分之二十
去扣掉三分之十五的話
它那個垂直高度
就是那個最高點
跟噴水那時候的垂直高度
答案是三分之五公尺高
所以答案寫這個
感覺好像做白工一樣
其實沒有啦
我們就把它寫完整了
這樣有沒有問題
感覺好像給自己找臺階下
這樣OK喔
再來我們看那個四十八頁
四十八頁這個也是
也是跟那裡的話都很像
講那個泡霧線啊
丟東西丟石頭的
好了嗎
四十八頁第三題
他說呢
他在高處海平面十六公尺的岩石上
那海面上的上空
他拋出一個石頭
踢秒之後呢
距離海平面的高度是Y公尺
它的關係是變角形
它是Y
這題目給的
Y等於負二T平方
T是時間
加十四T
然後再加十六
他也就是說那個在
他一開始丟的時候
在海平面的十六公尺岩石上
也是符合的
怎麼說
一開始丟就是還沒丟是零秒
零秒踢用零代的時候不就剩十六
十六公尺的高度丟
那我第一個問你說
他的石頭呢
丟出幾秒後
可以到達最高
幾秒到最高
也就是說他為什麼
問他的一個最大值對不對
那麼變成說我們就要做苦工了
要把它配方再寫過一次
所以Y就會等於
開始把這個T前面的係數
T平方係數把它提出來
負二提出來
提的時候是除法
所以除以負二變T平方
十四除以負二之後變成七
加七T
那個加十六先不理他
好再來
我們為了要配成完全平方式
這個位置要加這一半二次方
一半叫二分之七
所以加的是二分之七的二次方
你說老師你怎麼會寫小括號
又小括號
其實我是故意的
我就不想改了
我就是故意這樣寫
所以照理說這邊小括號
這邊中括號
那就不拘泥他
我們就這樣寫
管他的
不是不管他的
就是我們就先這樣寫
所以它變成
在那邊玩
這平方乘出來呢
是四分之四十九
有沒有乘到負二
有有乘到負二
乘到負二變這樣子
乘負二
乘負二是要約分
約分之後變什麼
二分之四十九
對不對
結果變成多減這個東西
多減要加回來
所以加上二分之四十九
為什麼變這樣子
因為我們剛剛本來是要加
又乘到了負二
變多減
那多減就補回來
所以前面這邊的話呢
它是負二
括號
T
加
不對
我沒有變化對不對
可能是畫多之後就
做事都不小心的
我們剛剛提負號的時候
提負二對不對
這裡面有寫到
難怪時間怎麼變負數去了
來
提負號之後呢
提負號喔
除以負二
變T
除以負二是負七
可是剛剛沒有提到負號
所以要先減
減什麼東西呢
減到這個
二分之七
得二次方
這邊把它整理一下
變二分之幾
這個是一分之三十六
二分之三十二
三十二加四十九
八十一
二分之八十一喔
所以呢
當你的T
是二分之七秒的時候
它的高度最高
就是二分之八十一公尺
它是問哪一個
它問幾秒後
答案就二分之七秒的時候
這樣知道嗎
第一個問你說
幾秒的時候到達最高點
答案是二分之七秒的時候
它問幾個問題
那麼第一個我們回答的是
二分之七秒
會達到最高點
好第二個
那它從拋出到落海面前
一共在空中停留了幾秒
落海
落海什麼意思
那個高度就是零
所以為了要處理它落海
我們就是把那個
Y用零代
Y用零代減哪個
不減這個
減那一開始方程式
所以我們把這個
Y代零
因為落海的時候呢
高度是零
Y代零之後呢
我們把它寫過
我把它抄下來
就這個
負二T平方
加十四T
然後加十六
等於Y
Y是零
等於零
然後就解它
全部都去除以負二
除負二的時候呢
要變化
除負二變T平方
除負二是負七T
減掉
除負二是減八
等於零
以八要怎麼分解
可以相減湊到七
到八一八
所以它是
T減八
乘上T加一
等於零
因為嘛
八一八嘛
然後這個
它是負七
所以八前面是配負號
這邊講的是那個
十日交通法
你就要熟悉一下
如果忘記的話
你去看一下
那T答案多少呢
兩個答案
一個是八
一個是負一
好那這邊的話呢
答案怎麼選
怎麼寫
第一個
第二個
什麼是負一
負一是往後面去的
但沒有啦
所以時間沒有負數
所以答案是八
所以它從落海以前
在空中就待了八秒
第八秒落海
第八秒的時候
它的高度是零
所以它那個
答案就要寫的是八
所以在空中一共停留了八秒
所以第二個答案就要寫八秒
好這個有沒有問題
這是第三題
好再來我們看那個第四題
題目是說呢
這邊給了一個連比例
a加1比上y加1比上z加2
會等於3比2比1
它要求這個
s平方減y平方加2z平方的最小值
可是答案是要求
這個東西的最小值
是多少
好那這個時候我們怎麼做
當然是要把syz
先找東西來去取代
那它有說
它們的連比例
分別就是3比2比1
你把這個
這樣想
a加1就是3r
y加1就是2r
z加2就是1r
因為x加1
會等於這邊的3r
所以x的
可以用什麼代替
用3r減1代替
把1移走1移過來減1
所以s可以用3r減1代替
一樣的道理
因為y加1等於這邊的2r
所以我的y可以用2r減1代替
1移過來減1
好下一個
就是z加2
那z加2的話
z加2等於r
我把2移過來減2
所以z可以用r減2來代替
所以這邊要算的這個
s平方減y平方加2z平方
通通患者跟r有關係的
你就可以處理了
我們把它換過去
所以這個s平方
就是3r減1的平方
再加上
不是加減
再減掉y平方
再減掉y的二次方
所以再減掉
2r減1的平方
再加上兩倍的z平方
z是r減2的平方
有沒有
你看喔
x3r減1的
y2r減1的
z
r減2的
它是2z平方
2乘上r減2的平方
好那這邊呢
就分別去整理它
先不要馬上拆刮
很容易會變好變錯
所以就很耐心的
把它整理一下
第一個我們用乘法公式把它展開
這a平方減2ab加b平方
3r平方是9r平方
減2ab到減6r
再加負1平方
就是加1平方
答案是1
這是前面這括號的
這括號本來是不要刮
可是我故意颳起來
是跟你區別說
這個我已經整理好了
再減掉下一個
這也是用乘法公式把它乘出來
這個平方是4r平方
減掉
減掉兩倍乘它乘它
減掉4r
再加這個1平方是1
再加上兩倍的括號
r減2一樣把它展開
它就是r平方減掉4r加4
好 開始的
拆括號的拆括號
該變號的變號
我們這樣寫比較不會運算錯
所以前面這個照抄
它是9r平方減6r
再加1
減6r加1
你的步驟寧可多一些
但是要寫清楚
比較不會計算錯
不要太多心算
有時候你心算太多反而容易錯
拆括號之後
減掉4r平方
負負得正
再加4r
負正得負減1
再加上
乘兩倍
乘2之後
2r平方
乘兩倍之後8r
乘兩倍之後加8
好 全部整理過
9r平方的整理
那就是9減掉4
5 5加2 7
7r平方
好 看到1r的
這邊有負6r
加4r是負2r
負2r減8r是負4r
常數
1減1沒了
剩個加8
所以變成這樣子
它是7r平方
減掉10r
加8
然後就開始用
配方法
去配這個
函數的幾大小值
我們把前兩個都給它
提7提出來
把7提出來是因為
這個係數7把它提出來
提7等於除7等於是
除以7變r平方
除以7之後變成
7分之10r
空格保留
加8放後面
好 這個時候呢
這個位置要放什麼
這樣都很熟悉的
就放這個值
一半二次方
什麼叫一半
7分之10的一半乘2分之1
叫一半嘛
因為分別7分之5
所以你要加上
7分之5的平方
這平方乘出來多少呢
7分之5
分母跟分母乘49
分子分子乘5525
結果又乘到這個7
對不對 乘到7
那乘到7的時候約分
然後變7分之25
多加的要扣回來
減掉7分之25
所以我寫的這東西
平方之後又乘到7
變成多加7分之25
後面要扣回來
因為這個本來是沒有的
把它扣回來
好 再來把它整理一下
再寫到這邊來
你看它的版面
很多東西要寫
等於7倍的括號
R照抄
R減 這邊減
減掉7分之5的平方
然後這兩個要計算一下
這個8
你就把它想成它是1分之8
所以乘7倍是要7分之8756
所以是偷算一下
7分之56去減掉7分之25
答案多少
答案就是正的
7分之56減25
31
開口向上
會有最什麼值
最小值
答案就是7分之31
所以這裡問你說
它的S平方減Y平方
加21平方的最小值多少
答案這個
叫做7分之31
這是第四題
這樣有沒有問題
這過程很多我知道
所以在寫的時候一定要很小心
因為每一筆
每個計算
正負號 變號
題負號都要小心
不然這裡出一個全錯
這是第四題
這樣OK嗎
好 那我們就今天上到這裡
那我們就下禮拜再見
好 拜拜
