數學很簡單^^八年級下學期 CH4 平行與四邊形綜合練習--熟練運算+題組訓練 (國二線上教學)
數學很簡單
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1 觀看·2026年3月26日
八年級(國二)下學期 康軒數學習作題目4-3特殊四邊形的性質:(PS:可以點選"高畫質"喔)
★填充題~觀念強化
1. 若∠A 的兩邊和∠B 的兩邊互相平行,∠A=57°,則∠B=? 。
2. 如右圖,L // M,則∠1 =?度。
3. 如右圖,梯形 ABCD 中,AD // BC,E、F 分別為AB、CD 的中點,已知 EF=7、AB=6、CD=9,則梯形 ABCD 的周長= 。
4. 如右圖,△ABC 中,∠ABC 與∠ACB 的角平分線相交於 F 點;過 F 點做 BC 的平行線,與 AB、AC 分別交於 D、E 兩點。若∠ABC=70°,∠ACB=50°,則︰
⑴ ∠1= 度;∠2= 度。
⑵ 若 AB=5,AC=7, 則△ADE 的周長= 。
5. 如右圖,四邊形 ABCD 的兩對角線相交於 O 點。若 AB=AD=17,BC=CD=25,BO=15,則四邊形 ABCD 的面積= ?
★非選題~題組訓練
如右圖,將長方形 ABCD 的色紙沿對角線 AC對摺,B 點落在 E 點,F 為 AD 與 CE 的交點。若∠ACB=30°,AB=5,則:
⑴ ∠EAF=?
⑵ ∠EFD=?
⑶ △ACF 的面積為何?
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好,我們把後面那些題目再把它上完
好,來
看那個熟練運算的第一題
角A的兩邊和角B的兩邊互相平行
那角A是57度
要求角B的度數
題目要重點是說
角A的兩邊跟角B的兩邊是互相平行
那你要怎麼畫呢?來
比如說這一個是角A
角A在這裡
那角B的話呢
跟這個角A的兩邊互相平行
因為互相平行呢
所以角B的一邊這樣子跟它平行
另外一邊呢
可以這樣畫
也跟它這裡是平行
那這個是角B
好,所以角B你可以這樣畫
那除了這樣畫之外呢
還有那邊的畫法
其實還有耶,對不對
角B呢
還可以這樣畫
這樣畫下來之後呢
它是跟A這裡平行
好,那我這樣畫下來之後呢
它是跟這裡是平行
對不對
好
那畫完之後你會發現
這樣子畫下來之後呢
這跟這平行
所以角B答案呢
除了是藍色的這一個
也有可能是橘色的這一個
那藍色跟橘色的這兩個角B呢
有什麼差異
有
這兩個角它是一條平線
平線就是平角
平角就是什麼
相加之一等到
所以這兩個答案是互補的
所以角B的可能答案呢
我們再看一次哦
它說角A是57度
同學哦
角A是57度的話
因為平行的關係
所以同位角相等
這裡也是57度
在利用同位角相等
所以藍色的這一個角B
它是57度
那左邊這一個呢
它是橘色的角B
跟旁邊這藍色是互補的關係
對不對
所以180減57
所以角B答案呢
有兩種
第一種就是57度
第二種是123度
所以這邊答案只有兩個
那記得這個圖一定要自己畫
不然就很難作答
好
這個是第一題
好
第二題的話呢
這邊是說L平行M
然後呢
這裡是70度
這裡90度
這裡是80度
然後呢
除了角E
角E這一個的度數是多少
同學應該要這樣做嗎
我們把這條線給它延長
延長到底
延長到底的時候
到底的時候呢
注意看哦
這個角跟這個角
它叫做內錯角
內錯角會相等
對不對
這裡70
那這裡呢
也是70度
那你的角E在這裡對不對
那隻要除這個角度就好了
它角E是它的外角嘛
那四邊形內角的是360
所以我們會用那個360度
分別去扣掉70 80跟90
我計算一下
70加80
150
150加90
240
扣了240以後呢
所以大概是120
對不對
好
所以這個角度哦
是120度
那角E跟它什麼關係
它是互補的關係啊
所以角E的度數啊
是180扣掉120
所以角E就是60度
所以這一題的話呢
要自己畫輔助線
畫完之後
再利用這個四邊形的內角的360
來去求解
很容易的哦
好
第三題呢
不要讀的T寫ABCD中A桌平行
BC上下底平行
EF分別是AB跟C桌的中扁
來
中扁記得哦
中扁的連線長度
是上加下除二來的
EF多長
上加下除二
然後呢
EF長度是7
AB長度是6
這裡是6哦
都把它寫上去哦
再來C桌是9
這裡是9哦
然後T型ABCD的周長
好
同學
它是要求全部的周長
那周長缺什麼
缺上底
也缺下底
對不對
那不要忘記我剛剛說
中扁連線長是上加下除二
所以上加下除二等於7
對不對
那我們把兩邊都除二的話呢
所以上加下等於中線的兩邊長
7乘2等於14
好
所以上加下等於14
那要求周長
再加6就加9
就變周長了
所以14再加6再加9
那20加9
29
所以答案周長是29
好
很容易的一題哦
困難很簡單
好不好
好
第四題呢
這題出的很棒
這題算是
我們在美式考
小考
大考
命中率都是很高的一題哦
來
它說呢
如若組ABC中
小ABC跟ACB的角平分線
相交於F點
過F點呢
再做BC的平行線
跟AB跟AC分別交與注意兩點
若角ABC70度
角ACB50度
則問下一個問題
同學在題目看的時候
你不要只看過而已哦
尤其是角平分線
你一定要做記號
不然就死翹翹
好
過來
它說ABC跟ACB的角平分線
相交於F點
所以ABC的BF
它是一個什麼線
角平分線
有什麼特性
把角B給平分
平分之後呢
這兩個是一樣大的度數
我們做一樣大
一樣的記號
好不好
多畫讀價記號打圈圈
對
然後還沒完哦
它要說哦
那個
ACB的角平分線
跟它交於F
所以CF呢
是ACB的角平分線
這兩個角也一樣高
一樣做上讀價的記號
打叉叉
好
還沒結束
好
它說
過F點呢
再做BC的平行線
做平行線以後
同學有沒有注意到呢
這跟這什麼關係
它叫做內錯角相等
你打圈
我也打圈
因為它是一樣大的度數
對不對
那這裡也是啊
因為平行的哦
除了一個BC有平行
所以呢
它是內錯角相等
這邊打叉
這裡也要打叉
好
那這題目是故意的哦
它把圖畫到歪歪的
有沒有注意到
ABC畫歪歪的
沒有整的
它就混淆同學了
會不會看不懂
好不好
至少都不會看不懂
你只要把它做記號很容易懂
好
再來
不過說呢
假如ABC70度
ABC這裡
這一大個是70度
假如ACB50度
這一個大
這一個大個角
這個角是50度
那第一小題呢
它要求的是
角1跟角2的度數
好
你剛剛有
前面有注意聽老師說的話
那答案多出來對不對
因為70度嘛
右腳平分線
都一樣大
所以70要除以2
35度
這35
它呢
也35度
所以角1是70
除2
然後變成35度了
那事實上應該是說
70除2變這個
這邊這又是內角角相等
所以它是35度
那角2的話呢
情況也一樣對不對
因為50除2變25度
25度
那這邊也25度
因為內角角相等
所以角2是25度
這是第一題
好
再來第二題
第二題是說
如果呢
AB長度是5
長度跟藍比起來
AB長度這裡是5
再來呢
AC長度呢
這裡是7
一個是5一個是7
然後要求三角形
A珠D的周長
三角形的
A珠E周長
好
這個周長的部分的話呢
不就是
來
講到周長很單純
它就是A珠
再加AE
A珠AE
就是這兩個
A珠AE
再加珠
珠E馬上週長
再加珠E
可是有個大問題
珠E多長我不知道
對
那A珠我也沒有
我有AB的
沒A珠的
我有AC的長度
可是我沒有AE的
那這個招怎麼求呢
來
同學不要忘記了
我們剛好說
它是因為內錯角相等對不對
所以這是個什麼形
這是一個等腰三角形
有沒有注意到
好
那你注意到的時候要來看喔
珠F跟珠B
不是一樣長嗎
是啊
這邊又有一個等腰三角形
對不對
打叉打叉不是一樣的角度嗎
等腰三角形
那EF跟EC不就一樣長
那對我們的剪接操作嗎
有我看喔
我可以把珠E喔
這個整個拆成兩段
拆成珠F跟FE
我再把珠F呢
換成珠B
我把這個移出來
我把EF喔
FE喔
換成EC
我把這個移出來
移出來之後呢
它的周長本來是
A珠加珠E
加AE
對不對
我把這個珠F移出來之後
變成A珠加珠B
我把EF移出來之後
變成AE加EC
所以等於什麼
AB加EC是周長
所以答案就是
那我要怎麼寫呢
我就把這個珠E拆開就好了
再說一次喔
我把珠E拆開成兩個
拆開兩個
珠E拆成珠F加FE
就是珠F加FE
可是呢
珠F跟珠B又一樣長
所以珠F本身呢
會等於珠B
那FE的話呢
會等於EC
把它對準過來
這個等於這個
那前面部分都做什麼
一樣都是
A珠加AE
沒有改
這邊也是
沒有改
A珠加AE
A珠加珠B
A珠加A
珠B很土啊
A珠加珠B
不就AB長
再看這個
AE加EC
不就變成AC
所以它會變成呢
AB加AC
AB加AC怎麼樣
那不就是我們剛剛說的
5加7
有沒有
所以是5加7
然後等於4分
所以綜合是4分
所以我們要圖解
很容易懂啦
只是寫出來的時候
我們要這樣做表達
那同學這裡
有沒有問題啊
很重要的一題喔
蠻初考的
無比要學會
好不好
第五題呢
如要圖
四邊形的AB
CD的兩條對角線
相交於O點
然後呢
如果AB跟A珠都是17
BC跟C珠都是25的話
那BO長是15
要求這四邊形的面積是多少
好來
同學喔
看好的時候呢
AB A珠
都是17
對
然後呢
BC C珠
都是25
BC跟C珠
都是25
然後再給說
BO是15
好
同學你注意看一下喔
這個有什麼特別的地方呢
有
17 17 25 25
代表它什麼形
它是一個真形
那真形的話呢
對角線會互相垂直
垂直它
然後呢
而且會平分這個B珠
但是這沒有平分
那我們有背過那個
三邊長比例關係
有沒有
3 4 5
5 12 13
7 24 25
還有8 15 17
所以這邊是8
如果你忘記怎麼背的話呢
用求的喔
你就用17的平方
減掉15的平方
開更好
那答案也是8
好再來
15跟25怎麼處理
那個OC的長度
因為我們要求那個
菱形面積的話
是用對角線相乘除二
那我先來插OC的這一條
對不對
你可以把15跟25的
用5去約分
用5約分之後呢
5 35
5 25
那不就是3比4比5
3 4 5
5再寫邊光
3比4比5的
5倍放大
對不對
那放大5倍之後呢
5 35
5 25
5 4
2 10
所以OC長是20
那麼這一題喔
它要求菱形的面積
就變成了對角線相乘除二
那對角線AC有多長
8加20
20
再乘上這一條
15加15
30
對角線相乘除一個
那28去乘以30的話
28除了變14嘛
所以14去乘以30
變成了420
所以這一題喔
它的菱形面積
它的答案就是420
也是很簡單容易的一題
這題不必要會好不好
好題組的話呢
沿著對角線AC對摺
摺完之後呢
B點落在E點
F呢
為A柱跟C的交點
那第一個
它說若角ACB是30度的話
AB是我們要求兩個角度
一個是EF的度數
跟EFD的度數
來
同學要講對摺喔
講到對摺其實跟你講
題目在作答之前
你要把對摺的一些特性先畫出來
對摺
它這樣對摺
對摺之後呢
這兩塊三角形是全等的
對不對
你對摺之後呢
這一邊會等於這一邊
你摺過去了嘛
這邊是直角的話
摺過來這邊一樣是直角
不會改
還有呢
還有你對摺的時候
這兩個角是一樣大不是嗎
對啊
一樣大
畫一樣的記號
還有還有還有
你不是提醒嗎
因為它是個矩形對摺
所以長方形對摺
所以這個角等於這個角
它叫做內錯角相等
而且你又發現了
這會是個什麼形
等腰三角形
還有還有還有
你在對摺完之後呢
有沒有
對摺對不對
所以這個角
它會等於這兩個合在一起
因為它對摺
所以這個角等於這個角
因為你又發現
好多東西都讓你在裡面
你要先把它出來
最基本的
這三個要做一樣的度數的記號
因為它對摺
這兩個是角定分線
對不對
所以角度會一樣大
這邊只有內錯角相等
所以你可以做一樣的記號
那麼這題喔
它說角ACB是三十度
所以這裡是三十度
那這裡也三十度
還有呢
這裡也是三十度
對不對
然後這邊喔
它要求的是
第一個
要求角EAF的度數
來
EAF的話
同學你看喔
EAF是要求這個角
我給它打個叉好不好
要求這個角對不對
那你注意看喔
來
這邊是三十度
這邊是九十度
所以這個角呢
它是六十度
那老師剛好說過
它對摺之後呢
這邊是六十
這兩個合在一起
圈加叉也是六十度
那你要求叉的這個角
我們就用六十
扣掉三十
所以等於六十度
減掉三十度
答案是三十度
所以角EAF三十度
因為EAF三十度
跟它是一樣的大
所以七號我們也不打叉了
改一下
改圈
因為它也是三十度
我們剛剛算出來的
好
再來第二題呢
它是要求角EFD的度數來
EFD的話呢
EFD
它在這裡
在這個地方對不對
這什麼角
這個你想想喔
它是這個
EAF三角形的外角
外角等於
對面兩個內對角的和
對不對
所以也九十加三十
九十度加三十度
等於一百二十度
用的方法是外角定理
好
再來第三題
它要求三角形的
ACF的面積
這個老師有跟它想了一下
它的全面形方法就有三種以上了
至少有三種的話
那我就挑一個我覺得比較
同學比較有計算的
那ACF的話呢
我們可以這樣想喔
我就把這個呢
AF當作底
ACF再看一次
老師再看一塊
ACF的話呢
在圖上面的話
它是把這邊都塗橘色的
事實上ACF的話呢
同學看我可以把這邊換的話
ACF它是隻有這一塊
對 它只有這一塊
那你要求面積
基本上它用底層高處
我就把這AF當作底
那我的高呢
它是對角三角形啊
所以它的高
你說這邊畫曲線的話
這不就高嗎
高就是這邊的長度
那前面我說呢
AB長45
沒有寫到
AB長45
這邊也是
所以你看喔
這裡是對角
因為這裡是對角
你要求這個面積的話呢
等於AF的長度當作底
AF當底的時候呢
它的高就是
所以它用底層高處
可是我現在缺什麼資料
缺AF
AF怎麼資料
AF多長我不知道
對不對
好
AF多長不知道啊
那我們就利用
上面那個三角形來梳理一下
因為我們剛剛說對摺完之後
這邊45嘛
那麼A呢
它也是45對不對
然後給它寫5
寫5之後呢
AF是我要求的
我不知道多長
我給它設X
好 接著呢
我們就看了喔
這邊有一個特殊角度的三角形
就是30、60、90度
當你遇到30、60、90度的時候呢
它的三邊比例關係是
1比2比√3
哪邊是1
小角度對過來是1
斜邊是2
這個對過去是√3
所以這兩個比例關係呢
是2比√3的關係
我就寫了喔
我列AF
是A24
所以A24比上5
就是斜邊的2
對上√3
會等於2比√3
如果同學你都忘記的話呢
我用橘色筆再寫一次比例關係
就是當你遇到30、60、90度
有卡到嗎
等一下就比不出來
不聽話
來換一支
好 我來
換一支
換綠色的
所以呢
遇到30、60、90度的時候呢
三邊比例關係是
1
這邊寫1喔
斜邊呢
2
這邊呢
√3
所以它的三邊比例關係是
1比2比√3
那A24比5就變成2比√3
所以S比5對2比√3
然後再利用呢
內層類
外層外
所以外層外的話呢
是√3
A24
內層類的話
5√4
所以√3的關係
√3
A24會等於√3
分之10
要有理化喔
有理化就是
上下都乘√3
同學你們還記得嗎
這是國二上學期的課程
好 都乘√3之後呢
√2的√3變成什麼
就變成了3
10乘√3
10√3
終於啊
我把AF給求出來了
AF求出來了
那你AF求出來之後呢
面積好求了啊
AF是
3分之10√3
用底層告訴的
底是3分乘10√3
高
高就是我們剛剛說的5
因為它是一個
鈍角三角形
5跑出來了
高跑出來了
所以乘5
底乘高除2
乘2乘1
好 來整理一下喔
這邊的2跟10
等於是5分
這兩個根本一樣
不用那麼難
好 這個喔
那乘起來的時候
變什麼結果呢
分5就是
分5就是3
那分子的部分呢
5√3乘5啊
5√5
25
25√3
所以它的答案面積是
3分之25√3
這也是很棒的一題喔
同學
再看清楚
不難 真的不難
很簡單 好不好
把它學好來
數學就是要多練習喔
我建議同學喔
把老師講完之後呢
你可以把答案摺起來
題目留著
你所有題目都一樣
算過一遍還不行
要熟練它
你可以把答案摺起來之後
一張白紙把答案改出來
重新再重算一次
再去對答案看對不對
這樣子你才會熟練
熟練才會進步
因為有時候同學是想太久
反而就
就拖了時間
想太久
寫不完
表示你不夠熟練
那務必要去熟練它
所以要
多練習
要多圓算
看到題目馬上就反射出來
下一步應該怎麼做
當你在思考的時候
你就慢了一步了
所以務必要打拖
題目要熟練
好不好
那我們今天就
上到這裡
