Eine Folge mit Punktmuster

okay die Aufgabe ist jetzt hier bei diesen Figuren ne das sind ja jeweils immer so eine bestimmte Anzahl an Punkten eine Formel zu finden mit der man z.B die Anzahl der Punkte der hundertsten Figur angeben kann und eure Aufgabe war zunächst mal eine rekursive Formel aufzustellen und dann die explizite Formel und die explizite hilft einem ja dann dabei jedes beliebige Folgenglied auszurechnen okay es wird wieder so sein dass man euch nicht versteht sondern nur aus dem Off und ich wiederhole was ihr sagt wie fängt man an wie habt ihr angefangen was ist der erste Schritt grot grot eine Tabelle wie sieht die aus genau also die Nummer des folgenglieds und das Folgenglied so sag mal wo warst du ja genau das erste Folgenglied 1 2 3 4 5 6 7 8 okay beim zweiten folglied kommt 12 raus das dritte Folgenglied 16 du hast noch eine Figur gemalt ne genau ja genau das ist eine gute Idee ne also malt ruhig noch eine weitere Figur daneben ich mache das jetzt hier nicht weil sonst der tafelplatz wahrscheinlich nicht reicht aber können noch eine weitere Figur mal ne eine mit der Kantenlänge 6 und dann kommst du auf 20 so okay das schon mal guter Anfang wir haben eine Tabelle gemacht wir haben diese bildhafte Darstellung überführt in eine symbolische Darstellung wir haben jetzt die Zahlen hier stehen und jetzt ja müssen wir anfangen Strukturen zu erkennen um die rekursive Formel zu finden wie geht's los rekursive Formel PI ja genau du du weißt ganz genau an welchen Stellen man sich melden muss A1 ist 8 ja richtig volle Punktzahl A1 ist 8 okay wie geht's weiter was habt ihr dann gemacht ja man ern immer + Stopp man erkennt immer dass es immer + 4 ist + 4 + 4 + 4 okay ja die Form an + 1= an + 4 richtig an + 1 = an + 4 das vorherige Folgenglied ++ 4 super es gibt oftmals in der Klausur eine Aufgabe definiere explizite und rekursiv explizite Formel für die folgende Folge und so ne da gibt's meistens sechs Punkte drauf zwei Punkte schenke ich euch für den rekursionsanfang okay das heißt den dürft ihr nicht vergessen zwei Punkte hierfür und zwei Punkte für die explizite Formel habt schon vier von sechs okay gut wie geht's weiter jetzt wollen wir die rekursive Formel finden ne du hast vollkommen Recht wir wollen die explizite Formel finden explizit oder geschlossen sagt man ne das sind zwei verschiedene Begriffe für dieselbe Sache okay wie kann man jetzt hier vorgehen online dürft ihr auch gerne weiter mitmachen ne wie kann man hier vorgehen wer hat hier eine Strategie wie man gut auf die explizite Form kommen kann du willst die Lösung sagen Strategie du weißt nicht welche Strategie du ja genau okay Olaf n mal 4 also nicht direkt n bestimmte an muss ich jetzt überlegen plus sehr gut ich wiederhol es noch mal laut man sieht doch jetzt mal D immer + 4 + 4 + 4 also irgendwas mal 4 müssen wir aderen wir haben den Anfang 8 an = 8 + irgendwas mal 4 wir haben + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 und so weiter aber was ist dieses was wie oft muss ich vier addieren zur A um auf A3 zu kommen Lilli zweimal um auf A3 zu kommen muss ich die vi zweimal addieren um auf A4 zu kommen muss ich wie oft die 4 addieren Lilli dreimal genau um auf A1 zu kommen wie oft muss ich die 4 addieren Lilli neun mal genau gerade eins weniger ne warum ich habe hier das erste Element für das zweite Element addiere ich einmal 4 für das dritte Element addiere ich zweimal 4 und so weiter das heißt n- 1* 4 lass wir das so stehen Olaf das das könntest du auch machen alternative ob das jetzt in der Situation einfacher ist weiß ich nicht weil man sieht ja hier man beginnt bei 8 oder so eine Alternative wäre man beginnt bei vier und addiert n mal 4 darauf ne ja das ist nicht das Gleiche ist gleiche ja genau ja ja klar ist ist das gleiche es ist das gleiche ist sind aber unterschiedliche Terme die da stehen die aber äquivalent sind die kann man ininander umrechnen wollen wir das so stehen lassen ja gleich anderen Weg gleich was können wir denn jetzt hier noch machen wir können so stehen lassen aber können wir vielleicht noch ein bisschen was schöner machen ja in okay 4n + 4 jetzt haben wir das Kommutativgesetz zweimal angewendet genau ein VI n vertauscht und vier plus also bei addition kommutativ Gesetz angewendet kann man noch was machen ja das jetzt Geschmackssache ja ein und Dach immer ein mehr N+ 1 ja okay aber ist das hier nicht 4 x n + 1 ich kann aber guck mal ich kann 4 ausklammern hier steht doch 4 x n + 4 x 1 das ist 4* n + 1 hier ausgeklammert du bist genau an der richtigen Stelle mit eurer alternativen Lösung gekommen jetzt können wir mal prüf ob das stimmt oder wenn ich jetzt A3 berechnen will 3 + 1 4* 4 16 super funktioniert ne man kann natürlich wenn wir jetzt so eine Formel aufgeschrieben hat die noch umformen solange bis eine möglichst einfache Darstellung dar steht ja aber muss man das dann in der Kur machen oder reicht wenn man hier kommt wieder eine Prüfungsfrage in der Klausur ist es okay wenn ihr das so stehen lasst aber euch selbst ist es viel schöner wenn ihr ein richtig schöne Lösung entwickelt habt die möglichst kurz ist hier gibt es im Raum noch eine andere coole Lösung mit einem vollkommen anderen vorgehen willst du kurz erklären was du dir überlegt hast wie du auf die explizite Formel kommen kannst genau das hier ich wiederhol es mal laut genau das hier ist doch ein 5 x 5 quadr ne 5 x 5 aber was ist das warum können wir nicht einfach 5 Quadrat rechnen es ist ausgehüllt mit einem 3 3 K 3 Quadrat also ist hier eigentlich 5 qur - 3 qu n + 2² - n² krass oder ja genau machen wir gleich n + 2 qu also die dritte Figur haben wir 5² - 3 qu oder hier haben wir bei der zweiten Figur 4 qu 2 + 2 qu - 2 qur ist das jetzt eine vollkommen andere Lösung oder es müss doch eigentlich die gleiche Formel rauskommen oder ja n + 2 qu ist die erste binomische Formel was wäde n² + 4n + 4 - n² das kürzt sich raus 4n + 4 4 n + 4 genau letztenendes natürlich natürlich die gleiche Formel von der Semantik her es kommt immer das Gleiche raus wenn ich n einsetze logischerweise aber ein vollkommen anderer Zugangsweg ihr könnt also auch das Bild scharf anschauen und versuchen daraus eine explizite Formel zu generieren sehr schön ich finde das ist ein kleiner Applaus WT okay gibt's noch Fragen zu dieser Aufgabe ja keine fr ich kan auchagen g und hatte das Gefühl dass ich noch schneller geh und habe ich geschaut wie ich die Quadrate zusammenen und wie die Anzahl von der Folge inat V also z.B bei der ersten Form kann ich mir die beiden oberen und unteren kommt ja auch vor ist ja die erste du hast dir das hier angeschaut genau du hast dir das hier angeschaut und das da und siehst ja okay du machst du machst einen ganz anderen Zugangsweg jetzt genau du hast jetzt hier was gerechnet wo die Anzahl der und dann z und 2 2 x 3 + 2 x 1 hast du gerechnet und hier 2 x 2 und 2 x 4 und so weiter genau 2 x n also 2 x 1 2 x 2 2 x 3 okay und und 2 x n + 2 okay du hast also rausgekriegt schreib runter an = 2* n + 2* n + 2 richtig genau 2n + 2n + 2 ist 2n + 2n + 4 und das ist 4n + 4 okay sehr gut eine dritte Zugangsweise und ich bin mir sicher man kann das hier auch visuell jeweils anders strukturieren und sich daraus eine Formel herleiten alles natürlich richtig ja am Ende des Tages okay