Rechnen mit Wurzeln – Was kommt raus?

hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zwei verschiedene Wege zeigen wie ihr diesen Ausdruck ohne Taschenrechner berechnen könnt der erste Weg funktioniert immer egal wie eure zahlen hier aussehen und der zweite Weg der ist um einiges schneller und bisschen einfacher aber der funktioniert nur weil die Zahlen hier speziell zusammenpassen von daher zeige ich euch einfach beide Wege und dann seid ihr flexibel je nachdem wie euer Beispiel aussieht okay was haben wir hier wir haben einen bro im Zähler und Nenner wiederholen sich diese wurzelusdrücke der einzige Unterschied ist dass wir im Zähler ein Minus dazwischen haben und im Nenner ein Plus dazwischen haben immer dann wenn ihr diese Struktur hier vorliegen habt und das Berechnen wollt oder vereinfachen wollt dann ist das erste was man eigentlich macht dass man die Wurzeln im Nenner loswerden möchte die sollen verschwinden und das schafft man immer so indem man diesen Bruch hier mit einem en Bruch multipliziert bei dem wir jetzt im Zähler genau dasselbe hinschreiben wie im Nenner also wir erweitern hier einfach nur die Frage ist nur womit erweitern wir wir wollen ja die Wurzeln hier im Nenner loswerden das war ja unser Ziel und da ist ja ein Plus dazwischen also eine Wurzel plus eine andere Wurzel und wenn wir jetzt diesen Nenner fast genauso abschreiben also wir nehmen die Wurzel und die andere Wurzel und auch im Nenner haben wir ja gesagt müssen wir genau das dasselbe machen aber jetzt schreiben wir kein Plus dazwischen sondern ein Minus dazwischen dann hilft uns das enorm warum wir wollen diese Brüche ja miteinander multiplizieren das heißt der Zähler wird mit diesem Zähler hier multipliziert und dieser Nenner wird mit diesem Nenner hier multipliziert schauen wir erstmal auf die Nenner was haben wir da √el von 3 + √ von 12 wird multipliziert mit √el von3 - W von 12 erkennt ihr die Struktur dass das die dritte binomische Formel ist lass die uns mal noch mal aufschreiben wie die aussieht die sagt ja wenn wir A + B haben und das multiplizieren mit A- B dann ist es nichts anderes als a² - b² das wird also das Ergebnis werden wir werden die einzelnen Wurzeln hier quadrieren und dadurch fliegen die Wurzeln weg und das ist ja genau das was wir wollten also lass uns mal damit starten dass wir die Nenner miteinander multiplizieren mit Hilfe der dritten binomischen Formel denn was haben wir hier unser a ist einfach die Wurzel 3 also wir müssen die Wurzel von 3 quadrieren dadurch fliegt die Wurzel weg und nur die 3 bleibt stehen dann kommt da ein Minus hin und unser B ist die Wurzel von 12 wenn wir die quadrieren laut der dritten binomischen Formel fliegt auch da die Wurzel weg und nur die 12 bleibt übrig und tada unser Nenner sind keine Wurzeln mehr drin es ist genau das passiert was wir wollten und dann müssen wir uns aber noch um den Zähler kümmern wie sieht's da aus da haben wir w√el von 3- w√ von 12 wird multipliziert mit Wurzel von 3- w√ von 12 also da ist es so dass wir jeweils dasselbe stehen haben also das ist die zweite binomische Formel mit dem Minus ne also dass A- B mit sich selbst multipliziert wird also das ganz zum Quadrat und dann sagt die zweite binomische Formel das ist a² - 2 x A* B + b² und das müssen wir hier jetzt halt anwenden das heißt unser a ist in unserem Fall unsere Wurzel 3 die wird erstmal quadriert dadurch fliegt die Wurzel weg und nur die 3 bleibt übrig dann kommt Minus und jetzt kommt dieser 2weal a mal B Teil also zweimal die Wurzel von 3 und da ist die Wurzel halt noch mit drin aber okay mal B B ist hier die Wurzel von 12 und dann plus diesen B quadratteil noch also die Wurzel von 12 wird quadriert dadurch fliegt die Wurzel wieder weg und nur die 12 bleibt stehen okay ein paar Wurzeln sind noch drin aber vielleicht sind die ja gar nicht so schlimm vielleicht rechnen wir erstmal 3 + 12 zusammen das sind 15 - zweimal und Wurzel von 3 x Wurzel von 12 das können wir unter eine Wurzel schreiben 3* 12 sind 36 3 - 12 im Nenner können wir zusammen rechnen sind -9 das habe ich jetzt mal noch mal auf die nächste Seite geschrieben und jetzt können wir die Wurzel von 36 ja einfach ziehen also Wurzel von 36 ist nicht anderes als 6 2 x 6 können wir ausrechnen sind 12 es wird immer schöner 15 - 12 auch das wir müssen gar nichts mehr abschreiben sind einfach nur 3 und jetzt kürzen wir diesen Bruch noch und zwar mit 3 also 3 dur 3 ist 1 9 dur 3 sind 3 und das Minus können wir dann vor den Bruch ziehen und haben dann - 1 dritt als Ergebnis raus im ersten Weg könnt ihr gerne mal schreiben wie Ihr diesen Weg fandet ich glaube er ist nicht ganz so beliebt vor allem wenn ihr den zweiten Weg gesehen habt noch mal dasselbe berechne ohne Taschenrechner okay was können wir hier denn jetzt einfacher machen schauen wir uns die Zahlen einfach mal an Wurzel von 3 okay die 3 ist eine Primzahl da stecken keine weiteren Faktoren drin die lassen wir einfach mal so stehen aber Wurzel von 12 die können wir doch anders aufteilen 12 ist ja z.B 2 x 6 okay die Zahlen sind jetzt nicht so toll zum Wurzelziehen aber 12 ist auch 3 x 4 und da taucht dann plötzlich eine Quadratzahl auf also wir wollen jetzt teilweise die Wurzel ziehen und suchen einfach ob in diesen Zahlen hier Quadratzahlen drin stecken also wir schreiben die 12 als 3 x 4 um und das machen wir nicht nur im Zähler sondern eben auch im Nenner auch da machen wir da dreal 4 draus und jetzt können wir die vier nämlich aus der Wurzel rausziehen also den Rest schreiben wir so ab die Wurzel von 3 damit machen wir gar nichts aber sobald wir hier an unsere Wurzel kommen ziehen wir die vier aus der Wurzel raus also die Wurzel von 4 ist ja 2 dann wird es mit einem Mal verbunden weil es war ja auch ein mal dazwischen und dann kommt die restliche Wurzel was übrig geblieben ist nämlich mit der dre haben wir gar nichts gemacht die muss unter der Wurzel stehen bleiben und genau dasselbe auch im Nenner nur mit einem Plus verbunden hier die vier rausziehen also teilweise die Wurzel ziehen Wurzel von vier ist auch wieder 2 und der Rest ist dann die Wurzel von 3 das habe ich jetzt noch mal auf der nächsten Seite stehen und jetzt müssen wir gucken wie wir das hier weiter berechnen können √ von 3 - 2 x w√zel von 3 also einmal die Wurzel von 3 - zweal das grüne können wir ja zusammenrechnen 1 - 2 ergibt -1 und - ein mal von diesem grünen Teil also -√ von 3 und dasselbe auch im Nenner wir haben hier einmal das grüne + zweimal das Grüne sind einfach dreimal das grüne also 3al w√el 3 jetzt können wir schön kürzen weil hier schön mal dazwischen ist und wir können Wurzel von 3 mit Wurzel von 3 wegstreichen -1 bleibt dann nur im Zähler stehen das Minus können wir wieder vor den Bruch schreiben also haben wir eine ein im Zähler eine drei im Nenner und kommen natürlich auf dasselbe Ergebnis wie mit der ersten urde aber ich glaube die zweite Methode hat euch bestimmt besser gefallen denke ich zumindest mal aber schreibt gerne mal in die Kommentare vielleicht gibt's ein paar Verrückte die sagen nee ne nee Methode 1 ist natürlich einiges angenehmer ich bin gespannt ansonsten hab noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut