Primfaktorzerlegung, Hassediagramme, ggT und kgV

okay ja jetzt fangen wir mal an die Primfaktor Zerlegung der Zahl 405 wie seid ihr daran gegangen was habt ihr jetzt allererstes gemacht ja sehr gut also das versucht durch zwe zu teilen durch z geht nicht dass du die dre probiertist Primzahl für Primzahl abgeklappert ne 3 ist durch 3 teilbar mit dem quersummentest 4 + 5 die Quersumme ist 9 die Zahl ist durch 3 teilbar okay also 3* 100 35 sind andere anders vorgegangen habt ihr hier eine andere Primzahl genommen Prinzessin lffe warum hast du mit der F angefangen ja okay man sieht bei der Zahl sofort dass sie durch F teilbar ist und D kann man auch erstmal durch F Teilen es ist ja egal in welcher Reihenfolge ihr es macht hauptsache am Ende stehen lauter Primzahl da die miteinander multipliziert werden ne hätte man also auch erst durch 5 Teilen können okay egal wir machen weiter 135 wie geht's weiter ja 3 also wieder durch 3 teilbar ne Quersumme bilden kommt wieder 9 raus 1 + 3 + 5 ist 9 also 3* 3 mal 45 ich ma mir unten drunter weiter Olaf du hast vollkommen Recht so 45 9 x 5 3 x 3 x 5 so wenn wir die Primfaktor Zerlegung jetzt in der S ich sagen kanonischen Form hinschreiben wollen wie würden wir das jetzt noch mal umformen amazingness 3 h 5 3 h was 3 h 4 genau 3 4* 5 hoch 1 okay also die Primfaktorzerlegung von 4 105 ist 3 h 4* 5 ho 1 jetzt machen wir das ganze noch für die 225 los geht's müssten sich eigentlich mehr melden weil ihr alle das richtige Ergebnis habt los geht's was habt ihr gemacht ja okay Moment durch zwe geht nicht klar also D hast du wieder getest quersummenregel 9 ist durch 3 teilbar 225 dur 3 teilbar 3 mal 3 x 75 wie geht's weiter jemand anders jemand ganz anders ja 3 x 3 x 25 genau bei 75 sieht man ja sofort dass es 3 x 25 ist man kann natürlich auch noch mal die quersummenregel machen 7 + 5 ist 12 12 3 also auf 75 3 x 3 x 25 und was kommt da raus hoala jemand anders ja 3 x 3 x 5 x 5 und das ist 3 qu mal 5 quadr so oh was für einen Zufall die beiden Zahlen haben exakt die gleichen Primfaktoren 3 und 5 nur unterschiedlicher Anzahl okay so jetzt gibt's dazu erstmal fragen okay jetzt zeichnen wir die hassediagramme und zwar zeichnen wir die gleich so dass wir GGT und KGV ablesen können wer weiß wie man das macht was müssen wir machen ja man muss sozusagen gleich strukturieren also die drei auf dieselbe Seite die fün auf dieselbe Seite s dass man die dass dass sie sich überschneiden können wir zeichnen die praktisch überlappend das machen wir mal wir zeichnen erstmal das hassediagramm für die 405 wie habt ihr das hassediagramm die 405 gezeichnet ja also erstmal die ein damit ist man auf jeden Fall auf der sicheren [Musik] Seite 3 hoch 1 3 Quadrat 3 hoch 3 und 3 hoch 4 okay und dann das hier ist 5 hoch 1 okay so das schon mal der Anfang vom Hass Diagramm wie geht's weiter ja den Punkt hier bestimmt man wie 3 x 5 oder 5 x 3 ne in die Richtung gehen heißt immer mal 5 in die Richtung gehen heißt mal 3 also ist das hier die 15 wie geht's weiter ja also mal 3 oder mal 5 je nachdem wie es einem lieber ist ne das hier ist die 45 wir haben das ja schon mal hier rückwärts vollzogen also vorwärts vollzogen jetzt gehen wir hier wieder rückwärts das heißt welche Zahl steht hier ja 135 genau 3 x 45 und dann haben wir hier oben die 405 okay was sieht man hier welche Zahlen sind das diese Zahlen die hier stehen haben alle eine Gemeinsamkeit nämlich welche ja man sieht die Primfaktorzerlegung von der 405 genau also das sieht man einfach durch die Endpunkte hier ne 3 hooch 4 x 5 hoch 1 ist die Primfaktorzerlegung aber woran sieht man es noch ja oder was sieh man noch ja genau das sind alle Teiler der Zahl 405 alle gibt nicht mehr ne jeder Teile der 405 ist irgendeine Kombination aus 3 hoch irgendwas mit kleiner gleich 4 und 5 hoch irgendwas mit kleiner gleich 1 das haben wir letztes Mal im im Stream haben wir das auseinanderklamüsert wer das nicht weiß das nicht gesehen hat das Youtube Video wird demnächst noch online gestellt so man sieht sozusagen alle Teiler der 405 sind in diesem Hass Diagramm das ist wichtig behalte das im Hinterkopf okay jetzt machen wir das Hass Diagramm der 225 und weil wir ein bisschen faul sind Zeichen wir das hier mit rein was müssen wir machen wenn wir das Hass Diagramm der 225 zeichnen wollen ja da muss man genau wir brauchen ja 3 hoch 2 x 5 hooch 2 das heißt 3 hooch 2 x 5 ho 2 hier so ne welche Zahl steht hier Prinzessin l die 225 genau jetzt fehlt noch eine Zahl die hier 75 genau okay so ich ma das hier mal so gelb noch fertig dass man sieht dass ich das hier überlappt so also wir haben das weiße hassediagramm das hassagramm der 405 und das gelbe Hass Diagramm das Diagramm der 225 kleine Seiten Bemerkung denkt dran Farben zu verwenden ne man sieht einfach mehr wenn unterschiedliche Farben verwendet okay welche Zahlen sind in dem gelben Diagramm welche Zahlen welche Eigenschaft haben alle Zahlen im gelben Diagramm ja sind alle Teiler von 225 genau alle Teiler von 225 das heißt die weißen Zahlen im weißen Diagramm alle Teiler von 405 die Zahlen im gelben Diagramm alle Teiler von 225 welcher dieser Teiler ist der größte gemeinsame Teiler von beiden Zahlen ja die 45 war um die 45 ja 4 4 ist beides mal ein Teiler von den beiden Zahlen also es ist ein gemeinsamer Teiler warum ist es der größte gemeinsame Teiler Liliana Susewind das ist die größte Zahl die bei beiden vorkommt genau wo finden wir denn die gemeinsamen Teiler wo finden wir denn die gemeinsamteiler ja alle die mit weißer und gelber Linie verbunden sind ich mache das jetzt hier mal orange diese hier dieser Bereich sind die gemeinsamen Teiler ne das sind Teiler sowohl von der 405 als auch von der 225 gemeinsame Teiler und der größte gemeinsam Teiler ist die größte Zahl in dem Überlappungsbereich ja und da geht man halt so weit wie möglich in die eine Richtung und so weit wie möglich in die andere Richtung ohne den überlappenden Bereich zu verlassen und an der Spitze findet sich der größte gemeinsame Teiler okay gibt's dazu Fragen online wird gefragt dürfen wir in der Klausur dann auch ein H Diagramm für beide Zahlen machen wenn es geht ja natürlich ne ihr dürft auch in der Klausur wenn ihr den GGT bestimmen wollt auch das perass Diagramm machen es gibt allerdings eine schnellere Variante die gucken wir uns gleich am Ende noch mal an ja ihr dürft es auch kippen und auf Kästchen malen ja man zeig das Ü üblicherweise so aber wir müssen uns ja nicht an das halten was andere Leute sagen was man machen soll okay wie finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache Olaf bei den kassagrammen bleibt könnte man sagen qu so ergzen d Rechteck wir ergänzen das zu einem Rechteck okay so wollen wir erstmal die Zahlen ranschreiben welche Zahl steht hier kleine Erinnerung Kopfrechnen üben Liliane Susewind bitte passt ja 675 genau hast du wahrscheinlich verlesen ne 225 x 3 ist 600 also 200 x 3 625 x 3 75 675 genau welche Zahl steht hier rechnen wir jetzt 405 x 5 oder 675 x 3 was einfacher immer schauen nach Situation wie man geschickt rechnen kann amazingness du findest 65 x 3 logischer okay na gut was kommt dann raus sehr gut Olaf 405 x 5 ein bisschen einfacher weil okay was kommt raus 2025 so ja das KGV genau das das kg das ist das KGV von 45 na 405 und 225 okay warum ja wen man jetzt be ja genau ja genau klar ja wenn du diese Zahl mit dieser multiplizierst kommst du dahin ne ja genau du kannst auch 81 x 25 nehmen nur häufiger ist es einfacher die Zahlen die hier stehen mit kleineren Zahlen zu multiplizieren ja aber ja man kann man könnte auch die 45 x 9 x 5 nehmen oder so unterschiedliche Varianten wie man d hinkommt okay warum ist das das kleinste gemeinsame Vielfache ich führe euch mal ja das ist die letzte Zahl die man mit beiden zusammen ausrechnen kann okay ja ich du denkst richtig genau ähm welche Zahlen sieht man denn jetzt hier überall welche Zahlen sieht man hier überall welche stehen hier olafid ne ne alle Zahlen die hier stehen sind alle vi der einel ja ja genau in dem gesamten Hass Diagramm sieht man alle Teiler der 2025 wir können also schon mal sagen die 405 und die 675 die 405 und die 225 sind beides Teiler der 2025 gibt es eine kleinere Zahl in dem Diagramm von denen 405 und 225 Teiler sind Olaf schütel schon Kopf nee die kleinste Zahl die Vielfaches ist von 405 und 225 ist diejenige die sich ergibt wenn man dieses Diagramm vervollständigt das heißt 2025 das kleinste gemeinsame Vielfache von 405 und 225 okay also wenn ihr GGT und kg V bestimmen sollt wäre eine Variante ihr macht die Primfaktorzerlegung ihr zeichnet die hassediagramme und schaut den größten gemeinsamen Teiler lest die ab im am größt Element des überschneidungsbereichs und das kleinste gemeinsame Vielfache dem mir ergänzt das wäre eine Möglichkeit das ist die aufwendige umständliche Möglichkeit es geht einfacher das ist aber eben die anschauliche hieran versteht man wie die ganzen Zahlen Zusammenhängen okay jetzt erarbeiten wir uns noch einen Zusammenhang der es uns ermöglicht das ganze schneller und einfacher zu berechnen so ähm ich schreib die Primfaktorzerlegung noch mal an der beiden Zahlen eigentlich brauche ich das hassediagramm noch wartet mal nee nee muss gerade mal schauen wie das hier vom Platz her klappt ansonsten verschiebe ich einfach die Kamera okay super oha ich habe kein VLAN mehr jetzt habe ich's wieder okay hoffen mal mal das wieder klappt okay ich schreib noch mal die Primfaktorzerlegung hier hin 405 = 3 hoch 4 mal 5 hoch 1 und 225 = 3 qu mal 5 qu war orange haben wir da genommen Moment so der GGT von beiden Zahlen ist ja 45 ne so GGT 45 wenn ich den GGT der beiden Zahlen bestimmen will den haben wir schon bestimmt das ist 45 richtig was ist die Primfaktorzerlegung der 55 ja 3 hoch 2 mal 5 hoch 1 woran sieht man das am Hass Diagramm Primfaktor zlegung der 45 amazingness von der 45 bis hierhin das ist 3 qur bis hier ist 5 ho 1 oder anders gesagt anders gesagt wir gehen von der ein Los solange solange wir noch im Überlappungsbereich sind und hier enden wir bei der 3 Quadrat und dann gehen wir in die andere Richtung solange wir noch im Überlappungsbereich sind und hier enden wir bei der 5 hoch 1 könnt ihr an den original primimfaktor Zerlegung der beiden ausgangszahlen able die Primfaktorzerlegung des größten gemeinsamen Teilers wer sieht das hier oben an der Primfaktorzerlegung von den beiden Zahlen welche Primfaktorzerlegung der GGT hat ja noch mal genau man geht primemzahl für primemzahl durch und nimmt sich diejenige mit dem kleineren Exponenten 3 qur und 3 hoch 4 das 3 Quadrat die kleinere von beiden im hassediagramm habe ich einmal 3 hoch 4 und einmal 3 qur die kleinere von beiden markiert den Endpunkt des überlappungsbereichs okay ich kann bis 3 Quadrat gehen und 3 quadr ist kleiner als 3 hoch 4 deswegen endet hier der Überlappungsbereich ich muss also hier die kleinere von beiden nehmen und die andere Richtung genauso ich gehe bei der ein Los solange solange ich noch im Überlappungsbereich bin und der endet bei der kleineren von beiden also beim kleineren von beiden äh Exponenten primzahlpotenzen und das in diesem Fall die 5 hoch 1 ja ich schau mal die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen an und nehmen für jede Primzahl den jeweil den Prim die primzahlpotenz mit jeweils kleineren Exponenten okay wie sieht's mit dem KGV aus sieht jemand was wir da nehmen müssen ja den größeren von beiden warum die gleiche Logik man geht sozusagen die einzelnen Primzahl Potenzen ab und endet jeweils beim größeren von beiden also hier bei 3 hoch 4 und dabei 5 quadr um den Endpunkt hier oben rauszukriegen das heißt man nimmt jetzt hier von jeweils den größeren von beiden und auch hier von das KGV von 405 und 225 ist gleich was haben wir da 2025 ist= 3 hoch 4* 5 qu okay das heißt wenn ihr GGT und KGV bestimmen wollt über die Primfaktorzerlegung könnt ihr euch das Zeichnen das hasse Diagramms sparen weil ihr einfach nur jeweils für den GGT die kleineren von beiden und für den KGV die größeren primzahlpotenzen miteinander multiplizieren müsst ja ja das typische Frage genau was wäre denn wenn jetzt hier oben noch modifizen wir mal die Zahl ang W eine andere Zahl und hier würde stehen mal 7 h 1 und daen W keine 7 dabei dann denkt man sich hier eine 7 H0 und verfährt genauso dann nimmt man beim GGT die 7 hoch 0 mit dazu was ja nichts macht weil es einfach mal 1 genau bei dem KGV die 7 h 1 okay jetzt machen wir mal was spaßiges we ob spaßig ist was interessantes wir multiplizieren mal A* B also sagen mal das hier ist a und das hier ist B okay A* B ist 405 mal 225 wenn wir jetzt 405 und 225 durch die primzahlpotenzen ersetzen was muss ich dann dahinchreiben 405 statt 405 kann ich was schreiben ja 3 hoch 4* 5 hoch 1 genau ich nehme gleich mal die ganzen Farben noch mit was war's orange und pink 3 hoch 4 mal 5 hoch 1 und für die 225 schreibe ich was ja 3 hoch 2 mal 5 hoch 2 okay ich multipliziere die beiden Zahlen miteinander was bedeutet ich multipliziere alle Primfaktoren miteinander alle primfaktorpotenzen miteinander und jetzt habe ich hier ein Produkt von zahlen da darf ich tauschen oder ich darf die wild durcheinander tauschen in verschiedenen Reihenfolgen miteinander multiplizieren ja dann schreibe ich doch zuerst mal die 3 Quadrat hin weil ich da Lust drauf habe nehme ich die zuerst und dann die 5 hoch 1 und dann mus dann die 3 hoch 4 und dann die 5 Quadrat okay habt ihr einfach miteinander vertauscht sieht jemand was was multipliziere ich hier miteinander in der letzten Zeile wer sieht's wer sieht's was multipliziere ich hier miteinander ja GGT und KGV 3 qu x 5 h 1 ist das ist der GGT von den beiden Zahlen und diese beiden Zahlen multipliziert Miteinander ist das KGV das heißt hier steht GGT von A und B mal KGV von A und B klar für das GGT für den GGT nehme ich jeweils die kleineren primzahlptenzen für das KGV nehme ich jeweils größeren primzahlpotenzen das heißt wenn ich GGT und KGV miteinander multipliziere habe ich alle primzahlpotenzen von hier oben miteinander multipliziert und das ist letztenendes nichts anderes als die beiden Zahlen miteinander zu multiplizieren A* B ist immer das haben wir jetzt nicht allgemein bewiesen und hier ein Beispiel aber das kann man allgemein beweisen A* B ist immer das Produkt vom GGT und vom KGV der beiden Zahlen erinnert ihr euch an die Anfangsfrage heute schreibt das noch mal ein bisschen prominent D hin wartet mal A* B = GGT von A und B mal KGV von A und B erinnert euch an die Ausgangsfrage vorhin heute morgen eine der Fragen war warum ist das KGV nicht immer kleiner als das Produkt von a mal a und b wir haben gesagt ne es gibt auch Fälle in denen A* B g=ich dem KGV von A und B ist wann ist das der Fall wann ist A* B = dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a und b ja ja gut Versuch genau lieber versuchen nicht versuchen ja wenn der größte gemeinsame Teile ein ist wenn die beiden Zahlen Teiler fremd sind wenn der größte gemeinsame Teiler 1 ist dann ist A* B = dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von A und B wir hatten vorhin das Beispiel 3 und 7 erinnert euch 3 und 7 größte gemeinsame Teiler von 3 und 7 ist 1 also ist 3 x 7 gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3 und 7 okay m so wir haben jetzt ein Verfahren besprochen wie man GGT und KGV bestimmen kann Primfaktorzerlegung von mir Hass Diagramm machen braucht man aber eigentlich nicht Primfaktorzerlegung analysieren GGT und KGV hinschreiben und ausrechnen das wäre eine Variante das aber die umständliche was ist die viel schnellere Variante um den GGT zu bestimmen auch Gegenstand des Kapitels you amazingness der uklidische Algorithmus subzessive nacheinander Division mit Rest solange bis der größte gemeinsame Teiler rauskommt es wurde vorhin gefragt gibt es auch ein Algorithmus für das KGV sowie den euklidischen Algorithmus Jain es gibt keinen parallelen Algorithmus in dieser Art aber wenn man den euklidischen Algorithmus anwendet um das den GGT zu bestimmen dann habe ich schon den GGT was mache ich dann um das KGV zu bestimmen ja KGV von A und B wir stellen die Formel um ist gleich was a mal B geteilt durch den GGT von A und B genau ja kltischche Algorithmus ratwat hat man den GGT und dann nimmt man a mal B durch den GGT und aufgepasst der größte gemeinsame Teiler von A und B teilt ja sowohl A als auch B ihr könnt also erstmal A oder B durch den GGT teilen und anschließend multiplizieren ihr müsst nicht erst a mal B rechnen um dann durch den GGT zu teilen