Der Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV

Tragen wir mal eure Ergebnisse zusammen. Was ist denn die Primfaktorzerlegung der Zahl 392? Wie habt ihr die bestimmt? Oh, das ist aber sehr nah am Rand. Bisschen weiter rechts. 392. Genau. Ist egal, ihr einigt euch zusammen abwechselnd, oder? Genau. Jeder eine. Jeder eine Zahl. Warum mit der 2 als erstes? Warum ist es fast klar? Weil es eine gerade Zahl ist. Da sieht man sofort hinten 2. Genau. 2 mal 196. 196 ist auch eine gerade Zahl. 2 mal 98. Genau. 2 mal 49. Nein. 49 ist 7 Quadrat. 7 mal 7. Genau. Also 2 hoch 3 mal 7 Quadrat. Okay. Wie sieht es mit der 112 aus? 112. Primfaktorzerlegung. Ja. 2 mal 56. 56 fällt einem sofort ein. 7 mal 8. Oder 8 mal 7. 8 ist was? 8 ist 2 hoch 3. 2er Potenzen kennt ja auch alle auswendig. Also. Machen wir es doch gleich. 2 mal 2 mal 2 mal 2. 2 mal 8. Mal 7 hast du gesagt. Also. 2 hoch 4. Mal 7 hoch 1. Okay. Alle einverstanden? Oder gibt es Widerspruch? Vielleicht habt ihr gemerkt, dass es gut ist, ein paar Zahlen zu kennen. Also. Quadratzahlen beispielsweise, sollte man schon kennen. Bis 20 Quadrat. Und hier brauchte man ja nur 7 Quadrat. Okay. Was machen wir jetzt als nächstes? Was war die nächste Aufgabe? Hassediagramme, oder? Zeichnen wir das mal hier drunter. Ich versuche es einigermaßen drunter zu zeichnen, damit wir noch ein bisschen Platz haben. Später. Wie sieht das Hassediagramm der 392 aus? Versuche das mal zu beschreiben. Ein Rechteck am Schluss. Von der 1 aus gehen wir hier nach links oben. Wir haben hier 2 hoch 0. Dann hier die. Wir gehen 3 hoch. Wir haben 4 Knubbel am Ende. 2 hoch 3. Okay. 2 nach rechts. 7 hoch 1. 7 Quadrat. Wenn die Aufgabe lautet, zeichne das Hassediagramm, dann dürft ihr das gerne so zeichnen. Ihr müsst jetzt nicht alles hier ausrechnen. Es sei denn, es geht ja nur darum, die Struktur darzustellen, wie die Zahlen dazwischen drin heißen. Das ist vielleicht auch nicht so interessant. Wenn ich allerdings die Aufgabe stelle, bestimme alle Teile einer Zahl mithilfe des Hassediagramms, dann müsst ihr natürlich alle Zeilen hinschreiben. Okay. Dann ergänzt man das. Ich zeichne das mal hier so hin. Nicht alle Zahlen interessieren hier. Erstmal. So. Okay. Das ist das Hassediagramm der 392. Jetzt zeichnen wir das Hassediagramm der 112. Und da wir dann später die GGT und so weiter bestimmen sollen, würde ich vorschlagen, wir zeichnen es gleich rein. Okay. Wir lassen es gleich überlappen. Aber an der anderen Farbe. Dann haben wir einen Überblick behalten. Okay. Wie muss ich jetzt das Hassediagramm der 112 hier hineinzeichnen? Ja? Nein? Sorry, ich meinte zwei hinter dir. Ja. Ich muss hier noch eins weiterschreiben bis 2 hoch 4. Okay. Ja. Aber nur bis 7 hoch 1. Ich versuche das hier mal anzudeuten. So. Und was haben wir dann hier für eine Zahl? Die 112. Okay. Ich denke, das kann man einigermaßen erkennen. Gucken wir mal, ob es hier online irgendetwas gibt. Nee. Okay. So. Beide Hassediagramme der beiden Zahlen gezeichnet. Wo finden wir jetzt den größten gemeinsamen Teiler? Hier hast du. Genau. Zwischen den beiden Zahlen. Genau. Also, der GGT liegt nicht zwischen den beiden Zahlen, sondern wie finde ich den GGT im Hassediagramm? Versuche es mal zu beschreiben. Ja. Du willst diese Stelle hier haben. Aber die Stelle finde ich eigentlich nicht von oben, sondern genau. Ich schaue den Überlappungsbereich an und nehme die größte Zahl in den Überlappungsbereich. Und das ist diese hier. Das ist der GGT von 112 und 392 und der ist welche Zahl? Woher weißt du, was das für eine Zahl ist? Bitte? Hier kommst du auf 56. 2 hoch 3 mal 7 hoch 1. Genau. Also 8 mal 7 ist diese Zahl 56. Ok, super. GGT ist 56. Wie finde ich das kleinste gemeinsame Vielfache? Wir suchen die Zahl, die kleinste Zahl, die ein Vielfaches ist, von 112 und 392. Da gab es mal wieder so ein paar Ungewissheiten. Was sind eigentlich Vielfache? Die Vielfachen von 112 sind 112, 2 mal 112, 3 mal 112, 4 mal 112 und so weiter. Und die Vielfachen von 392 1 mal 392, 2 mal 392 und so weiter. Ok. Vielfachen sind natürlich größer als die beiden Zahlen. Und wenn ich ein Vielfaches einer Zahl habe, ein Vielfaches von 112, dann ist ja die 112 ein Teiler dieser Zahl. Teiler und Vielfacher hängen ja so zusammen. Das heißt, wir suchen jetzt eine Zahl, von der 112 und 392 beide Teiler sind, und zwar die kleinste. Wir suchen also die kleinstmögliche Zahl, in deren Hassediagramm die 112 und die 392 drinstecken. Und du hast richtig gesagt, wir müssen einfach das hier vervollständigen zu einem Rechteck. Diese Zahl hat dieses Hassediagramm. Und da sind die 112 und die 392 drin. Das sind zwei Teiler dieser Zahl. Und das ist die kleinste Zahl, bei denen das der Fall ist. Die anderen liegen irgendwo hier drüber. Ok. Und was ist das für eine Zahl? Wie finde ich die? 392 mal 2 oder 112 mal 7. Da könnt ihr jetzt aussuchen, das ist ungefähr gleich schwer. Welche Zahl ist das dann? 784. Genau. KGV von 112 und 392 ist gleich 784. Ok. Habt ihr Fragen dazu? Ok. So. Jetzt die Preisfrage. Wie kann ich GGT und KGV bereits an der Primfaktorzerlegung ablesen? Wir müssen 2 hoch 3 mal 7 hoch 1 rechnen. So. Wir schauen uns bei den beiden Primfaktoren an, hast du gerade gesagt, welche jeweils primfaktorweise den kleineren Exponenten hat. Also das ist die Primzahlpotenz 2 hoch 3. 2 hoch 4. Welche von beiden ist kleiner? 2 hoch 3. Die nehme ich. Ist gleich 2 hoch 3 mal, und jetzt nehme ich von 7 Quadraten 7 hoch 1 auch die kleinere von beiden. 7 hoch 1. Kann jemand begründen am Hasse-Diagramm, warum das geht? Warum kann ich hier die kleinere von beiden nehmen? Ja? Genau. Sehr gut. Die eine Zahl geht bis 2 hoch 3, die andere bis 2 hoch 4. Das heißt, beide gehen bis 2 hoch 3 mindestens und das ist der kleinere von beiden. Die kleinere von beiden Primzahlpotenzen. Das heißt, der Überlappungsbereich endet bei der kleineren von beiden. Auch hier in die Richtung 7 hoch 1, 7 hoch 2, der Überlappungsbereich endet bei der kleineren von beiden, bei 7 hoch 1. Demnach muss ich eben von beiden jeweils die kleinere nehmen. Wie sieht es beim KGV aus? Welche Zahlen muss ich da miteinander multiplizieren? Wie komme ich auf die Zahl da oben? Das können wir uns gleich nochmal anschauen als Sonderfall. Genau. Also, ich will diese Zahl haben und das ist ja gerade die größere von beiden Primzahlpotenzen jeweils miteinander multipliziert. Also hier muss ich bis 2 hoch 4 gehen und da bis 7 Quadrat. Also bis zur größeren von beiden jeweils im Vergleich. Das heißt, für den GGT suche ich mir die kleinsten Primzahlpotenzen und multipliziere die und für das KGV die größten Primzahlpotenzen und potenziere die. Und zwar immer Primzahlpotenzweise. Jetzt hast du gesagt, das kann ja sein, dass mal in zwei Primzahlpotenzen ein Primfaktor in der einen drin ist, in der anderen gar nicht. Also angenommen, hier hätten wir jetzt noch mal 3 hoch 1 und hier unten kommt die 3 nicht vor. Was mache ich dann? Weiß das jemand von euch? Genau. Man denkt sich in der zweiten Primfaktorzerlegung 3 hoch 0 dazu. 3 hoch 0 ist 1, das ändert gar nichts. Und dann macht man es genauso. Nimmt mir immer das kleinere oder den größeren von beiden. Okay. Ich schaue ein bisschen auf die Uhr. Also zwei Möglichkeiten GGT und KGV zu bestimmen. Erstens, ihr macht eine Primfaktorzerlegung. Dann könnt ihr direkt GGT und KGV bestimmen. Ihr müsst gar nicht die Hasediagramme malen. Die Hasediagramme sind eigentlich in dem Kontext eine visuelle Begründung dafür, warum ihr das so machen könnt mit den Primfaktoren. Ihr könnt natürlich auch die Hasediagramme zeichnen und daran dann GGT und KGV bestimmen, wenn euch das einfacher fällt. Dauert halt ein bisschen länger. Es ist aber trotzdem insgesamt ein aufwendiges Verfahren. Ihr müsst erstmal die beiden Primfaktor Zerlegungen finden und je größer die Zahlen, umso länger dauert das. Unter anderem dauert es richtig lange, wenn es richtig schwierige Zahlen sind. Deswegen gibt es ein zweites oder ein anderes Verfahren, den GGT sehr einfach zu bestimmen und das ist der Euclidische Algorithmus. Und das machen wir jetzt hier mal mit der 392 und 112. Ich schreibe mal die Tabelle hier hin. A, B, C A, B und der Rest. 392, 112. Was mache ich in der ersten Zeile beim Euclidischen Algorithmus? Wie oft passt die 112 in die 392? Wie oft? Dreimal. Das ergibt 336. Und was ist der Rest? Ja, was ist das? 56. Genau. Dreimal 112 plus 56 ist 392. Jetzt nehmen wir die beiden Zahlen dahin. Die Zeile muss man nicht malen, nur nochmal zur Visualisierung. 112, 56. Der Rest ist 0. Zweimal 56 ist 112. Perfekt. Und schon, weil hier 0 rauskommt, haben wir den GGT gefunden. Der steht hier oder da. Schneller geht es nicht. Oder? Mit ein bisschen Kopfrechnen. Bam! GGT gefunden. Das heißt, wenn ihr in einer Situation, in der ihr unter Zeitdruck steht, ab und zu mal den GGT von zwei Zahlen bestimmen sollt und es euch offen steht, welches Verfahren ihr verwenden sollt, dann nehmt doch das. Ihr könnt die Gleichung aufschreiben, das dauert zu lange. Das ist der Euclidische Algorithmus. Genau. So würde man es auch im Computer implementieren. Da hast du A, B, dann guckst du, was als Bestes rauskommt und dann Teile für Teile. Fertig. Bam. Moment. Ihr seid verständlicherweise aufgewühlt, weil das so verblüffend ist, dass es so schnell geht, aber trotzdem noch ein bisschen ruhig bleiben. Ihr dürft es auch Schritt für Schritt rechnen. Aber bitte nicht die Sätze 1 bis 5 anwenden. Das haben wir nur gemacht, um herzuleiten, warum das funktioniert. Aber es dauert ja viel zu lange. Das dürft ihr machen, nur auch das ist eigentlich zu viel Schreibarbeit. Also übt das so. Ja, genau. Trotzdem, das ist ein guter Hintergrund, das ist der Berechnungshintergrund hierfür, aber macht es so. Übt das so. Macht es einfach mal 20 mal mit irgendwelchen Zahlen und irgendwann seid ihr da fit drin. Es kann sein, dass es eine solche Aufgabe gibt. Wenn ich euch sage, berechnen wir den GGT von zwei Zahlen, macht ihr bitte nicht das, weil das zu lange dauert. Okay? Ja, klar. Okay. Ähm. Hört mal auf zu mummeln, bitte. Muss ich streng werden. Ein bisschen auf die Pauke hauen hier, oder? Okay. Das haben wir den GGT, aber nicht das KGV. Es gibt keinen euclidischen Algorithmus für das KGV oder sowas. Müssen wir jetzt für das KGV trotzdem wieder die Primfaktorzerlegung machen und so weiter, haben wir gar nichts gewonnen. Nee, müsst ihr nicht. GGT geht sehr schnell und dann können wir eine Aussage verwenden, die uns dabei hilft, das KGV zu berechnen, wenn wir den GGT mit dem euclidischen Algorithmus berechnet haben. Und zwar, das war die letzte Aufgabe, die ich überlegen sollte, ähm, wir versuchen mal zu begründen, warum A mal B das gleiche ist wie der GGT von A und B mal dem KGV von A und B. Warum ist das so? Und wir machen das mit der 390 und der 112. 392 mal 112 ist gleich. Ja? Ja, man könnte es jetzt ausrechnen. Genau. Genau. Das führt noch nicht dahin, du hast vollkommen recht mit allem, was du gesagt hast, es führt aber nicht dahin, zu verstehen, warum das so ist. Ja? Ja. Das machen wir gleich, genau. Ich will jetzt nur noch begründen, warum gilt diese Gleichung? Du hast sie schon verwendet, sozusagen, ja? Ja? Ja? Ja? Okay. Das könnte man sich überlegen, ja? Ja? Ja? Genau. Ja. Genau. Also, ich wiederhole es nochmal andersrum, ja? Ihr habt hier 392 mal 112. 392 ist doch 2 hoch 3 mal 7 Quadrat, ne? Kann ich doch da hinschreiben. 2 hoch 3 mal 7 Quadrat und die 112 ist 2 hoch 4 mal 7 hoch 1. So. Und ich mach das mal farbig. Also, das war 2 hoch 3. So. Also, die 392 ist 2 hoch 3 mal 7 Quadrat. Und die 112 ist 2 hoch 4 mal 7 hoch 1. Und beides miteinander multipliziert ist das beides miteinander multipliziert. So, was kann ich jetzt machen? Mit den Primfaktoren? Ja. Warum darf ich die in eine andere Reihenfolge bringen? Warum darf ich hier die Zahlen vertauschen? Ja? Weil es Produkte sind, genau. Weiß jemand, wie das Gesetz heißt? Das Kommutativgesetz, ne? Kommutativgesetz. Ja, genau. Wollte ich grad sagen. Darf man vertauschen. Okay. Das heißt, ich vertausche mal alle orangenen Primfaktoren nach vorne. 2 hoch 3 mal 7 hoch 1 mal und 2 hoch 4 nehm ich mal vor, 7 Quadrat, ganz egal in welcher Reihenfolge ich die da hinschreibe, ist immer das gleiche. So. Was steht denn jetzt hier? 2 hoch 3 mal 7 hoch 1, was ist denn das? Das hier ist der GGT von 392 und 112 und das hier ist das KGV von 392 und 112. Genau. Ihr multipliziert die beiden Zahlen miteinander. Dann könnt ihr auch die Primfaktorpotenzen miteinander multiplizieren, die beiden Primfaktorzerlegungen. So. Jetzt könnt ihr die Primfaktoren vertauschen wegen dem Kommutativgesetz und da der GGT immer bei jeder Zahl der kleinere von beiden ist und das KGV bei jeder Zahl die größere von beiden, kommen ja alle hier oben entweder im GGT oder im KGV vor. Und wenn ihr das dann rumsortiert, dann könnt ihr alle Primfaktorpotenzen vom GGT an eine Stelle schreiben, vom KGV an eine Stelle und dann sieht man das. Also. a mal b ist der größte gemeinsame Teiler von a mal b multipliziert mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a und b. Wenn ihr den GGT bestimmt habt mit dem Euclidischen Algorithmus, wie kriegt ihr das KGV raus? Genau. Völlig richtig. Wir können jetzt a, b und GGT hier einsetzen, nach KGV auflösen. Ich löse vielleicht bevor wir einsetzen erstmal nach dem KGV auf, dass man sieht was passiert. Also das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b ist gleich. Diese Gleichung nach dem KGV aufgelöst, das heißt ich muss beide Seiten durch den GGT dividieren. a mal b durch den GGT von a und b. Das heißt, wenn ihr den GGT mit dem Euclidischen Algorithmus bestimmt habt, dann könnt ihr jetzt hier das KGV von 392 und 112 bestimmen, indem ihr was macht? 392 mal 112 geteilt durch 56. Genau. So. Okay. Was ist jetzt das KGV? Wie kann man das hier ausrechnen? Man könnte es mit dem Primfaktor- Zerlegung hinschreiben und dann kürzen und so weiter. Vielleicht kann man auch gleich kürzen. Sieht es jemand? Ja. Also. Macht bitte nicht folgendes. Ihr rechnet nicht 392 mal 112 aus, um das Riesenergebnis anschließend durch 56 zu teilen. Denn im Nenner steht doch der größte gemeinsame Teiler von a und b. Das heißt, diese Zahl hier unten im Nenner teilt doch vollständig entweder a oder b. Das heißt, im Nenner werdet ihr los. Natürlich müsst ihr auch den Nenner loswerden, weil das kleinste gemeinsame Vielfach ist ja auch eine ganze Zahl. Das heißt, am Ende wird nichts mehr im Nenner stehen. Das heißt, ihr könnt weder die eine oder die andere Zahl vollständig kürzen mit dem GGT. Und das ist ja auch klar. 112 durch 56 ist 2. Das heißt, ihr müsst 392 mal 2 nehmen. 392 mal 2. Oder ihr könntet natürlich auch 392 durch 56 teilen. Okay, da kämen dann 7 heraus. Und ihr müsstet dann 7 mal 112 rechnen. 112 mal 7. Ganz egal wie ihr es macht, es kommt 784 raus. Also, wenn ihr eine Aufgabe bekommt, bestimme den GGT und das KGV von den folgenden beiden Zahlen. Ohne, dass ich irgendwas dazu sage, was ihr tun sollt. Ihr könntet die Primfaktorzerlegung machen und die Primfaktoren irgendwie zusammenstellen und Hassediagramm zeichnen und so weiter. Dauert alles viel zu lange. Sehr viel schneller geht's, indem ihr den GGT bestimmt mit dem Euklidischen Algorithmus. Schaut mal, wie schnell das hier gegangen ist, bis ich die 56 gefunden habe. Und anschließend schreibt ihr diesen Bruch auf, A mal B durch den GGT, kürzt eine der beiden Zahlen vollständig dagegen, multipliziert das aus und habt das kleinste gemeinsame Vielfach. Und zack, nächste Aufgabe. Es kann natürlich auch Aufgaben geben, wo dann da steht, bestimme den GGT und das KGV mithilfe der Primfaktorzerlegung. Naja, okay, da habt ihr halt keine Wahl. Dann müsst ihr das machen. Dann hab ich aber auch schon berücksichtigt, dass das entsprechend so lange dauert. Okay. Gibt's Fragen von eurer Seite zu all dem hier? Ah ja, richtig. Ich hab mich ein bisschen verquasselt. Der GGT teilt nicht entweder die eine oder die andere Zahl, sondern sowohl als auch. Also, in jedem Fall teilt der GGT A und B. Danke für den Hinweis, ähm, Marius. Okay. Ja? Also, wie bestimme ich die Primfaktorzerlegung? Ich muss ja rechnen, zweimal, äh, was war, 196, so, und, ähm, natürlich dürft ihr hinschreiben, zweimal 196 ist gleich zweimal, zweimal 98 ist gleich zweimal, zweimal, zweimal 49 und so weiter, ne? Würde ich genauso machen, wahrscheinlich, weil ich, ähm, so viel dann auch nicht im Kopf behalten kann und nämlich nicht vertue und so, ne? Ja, klar, könnt ihr hinschreiben. Ja, ist im Kopf machen halt, ne? Also, bei der schon 392 sieht man schon nicht auf den ersten Blick, dass das 8 mal 49 ist, ne? Manchmal sieht man's aber auch vielleicht. Ähm, ja, aber auch hier nicht, ne, ne. Also, da würde ich's wirklich auch sequenziell machen. Ja. Weitere Fragen? Ja.