BAC MAROC 2024 -11 juin-Examen national Sciences Exp et physique - Corrigé Ex2 Géométrie espace

bonjour à tous Aujourd'hui on s'intéresse à de la géométrie dans l'espace avec l'exercice 2 du sujet du Maroc 2024 on est sur science physique science expérimentales on a pas énormément de questions donc ça devrait aller plutôt vite on regardera sur GeoGebra parce que j'aime beaucoup regarder en 3D 16es exercices ça permet d'avoir une idée évidemment c'est pour les révisions hein lors de l'épreuve vous n'aurez pas geogébra mais ça permet quand même vraiment de comprendre un petit peu les enjeux les tenants les aboutissants de ce genre d'exercices alors on a ici comme vous voyez il y aura forcément une sphère hein donc on considère deux points on a les coordonnées dans un repère orthonorméin ce qui permet d'utiliser les vecteurs normaux calculer des longueurs parler de rayons de cercle et cetera on prend un plan P passant par le point A qui est donné de vecteurs normal 2 - 2 1 enfin de coordonnées 2 - 21 et une sphère voà une jolie sphère de centre omωéga vous avez le rayon et le centre voilà première question très simple montrer que cette équation est une équation cartésienne du plan P comment doit-on procéder pour la première question al il y a deux options soit vous retrouvez l'équation cartésienne à partir des données ça passe par a vecteur normal donc là bien déjà le vecteur normal nous indique que P possède une équation sous la forme donc 2x he je prends les coordonnées de N - 2Y + Z évidemment vous n'avez pas la valeur de d donc + D = 0 avec donc d un réel qu'on va déterminer grâce à une autre information le point A a de coordonnées mon - 1 0 - 1 appartient à P donc en remplaçant ici ça fera bien 0 j'auraai donc 2 x -1 - 2 - 2 x y ça fait 0 + Z donc ça fait -1 + D = 0 je trouve donc D = 3 donc le plan P possède bien une équation cartésienne sous la forme 2x - 2Y + Z + 3 = 0 on dit bien une équation j'espère vous avez bien vu que c'était marqué une parce que si vous multipliez tout par 2 ça donne une autre qui n'est pas la même voilà mais qui hein va être exactement une équation du même plan méthode 2 donc on on va dire donc soit P prime je crois qu'il y a pas de P prime dans le sujet donc soit P Prim donc un plan dont une équation et - 2x enfin 2x - 2Y + Z + 3 = 0 on regarde en remplaçant par a donc 2 fois les C de a c'est -1 - 2 x 0 + - 1 + 3 on calcule ça fait - 2 - 1 + 3 ça fait 0 donc déjà le point appartient bien à ce plan P prime maintenant si on regarde les coordonnées avec l'équation et bien le vecteur n effectivement de coordonnées donc alors 2 - 2 1 et bien il est bien et normal à P Prim vous avez donc a qui appartient à P prime n est normal à P prime c'est exactement les deux caractéristiques du plan P donc P est égal à P Prim voilà c'est donc des plans en fait comme les plans sont parallèles puisquils ont donc ici ça si vous voulez ça implique que P est parallèle à P prime parallèle contenant un point commun et bien ça veut dire qu'ils sont confondus donc c'est bien p = p Prim maintenant déterm équation carttisen de la sphère s alors la sphère s donc elle a pour centre on va rappeler quand même donc centre 2-0 c'est Oméga rayon 5 donc là c'est du cour il rien à dire c'est x - 2 l'abscisse du centre au carré + y-- 1 l'ordonnée du centre et la 3 coordonnée z- 0 car = 5 au Carr on n'oublie pas de mettre au carré ce qui me donne x - 2 au car + y + 1 car + z² = 5 au carré voilà donc donc une équation de notre sphère c'est la même chose que l'équation des cercles dans le plan mais là on rajoute donc la composante en Z alors pour calculer à distance d'un point un plan il y a une formule c'est donc distance de ωé au plan P est égal à quoi alors c'est un quotient qui va ici contenir un priscalaire d'accord le pris scalaire alors il faut ωé et un point D plan P un point du plan P on va prendre le point A d'accord scalaire le vecteur normal du plan on va prendre la valeur absolue et on divise par la norme de N et ça nous donne directement la distance donc on va calculer les coordonné de ω a donc coordonné de a al je vais peut-être les écrire ça sera plus simples je vous le conseille en général parce qu'on peut vite faire des erreurs donc on les écrit l'une sous l'autre donc coordonné de a moin c'est - 1 - 2 3 0 - -1 1 - 1 - 0 - 1 on fait le produit scalaire avec N dont les coordonnées sont 2 - 2 1 donc - 2 x - 3 x 2 - 6 - 2 + - 2 + - 1 ça fait - 9 donc com on prend la valeur absolue ça fait 9 la norme de N donc on est dans un report autonormé donc je utiliser les formules classique hein donc √ 3² donc 4 + 4 + 1 ça fait 9 ça fait donc 3 donc 9/ 3 ça fait 3 la distance entre Oméga et le plan P c'est 3 alors regarde un petit peu sur geogbra donc là mon repère j'ai placé a et Oméga donc la sphère la voici de cent omga donc voilà VO bien évidemment c'est pas évident parce que une sphère quand on tourne on voit pas grand-chose donc pas la laisser donc ensuite je vous montre le plan le plan P voilà et on cherche la distance entre Oméga donc et ce plan P donc pour ça ben on va tracer donc l'orthogonale à haut plan passant par Oméga ça donne ici un point d'intersection C et ici he ce qui m'intéresse c'est donc cela ici ça c'est la le segment qui permet de mesurer la distance entre Oméga et plan et on trouve effectivement d'après geogébra c'est pas une preuve mais on trouve bien trois en déduire que le plan P coupe la sphère s suivant un cercle gamma de rayons à déterminer regardez ce que ça donne donc regardez alors j'ai placé a Oméga encord on peut faire tourner tout ça on verra donc je vais tracer donc ici la sphère de cent de rayon donc 5 c'est pas évident une sphère à regarder parce que quand on tourne voilà donc vous voyez ensuite je vais placer donc ici là le plan le plan P donc le voici enever la sphère qu'on voit quelque chose un petit peu donc voyez et après qu'est-ce qu'on va faire et bien je vais tracer orthogonal donc au plan passant par Oméga j'obtiens ici un point ici qui est le proche d'Oméga sur le plan et là j'ai en fait une distance qui est de 3 et comme la sphère a un rayon de 5 et bien forcément comme le rayon de la sphère est plus grand que la distance du point au plan et bien on a ici une intersection entre un cercle et un plan et les cercles les les sphères et les plans pardon ça se coupe toujours selon des cercles quand le rayon ici de la sphère est plus grand que la distance du du centre au plan et l'intersection est là voyez ça donne ceci bien que c'est pas une preuve encore une fois mais on imagine bien ce cercle ici donc ce qu'on va dire c'est que la distance entre éga et P est inf strictement à distance entre omωéga et le sphère et la sphère donc c'est ve dire que P inter s est un cerclecord alors le rayon comment on va le déterminer et ben il faut imaginer un plan de coupe c'estàd imaginez la sphère voilà vous avez donc ici Oméga vous allez aller chercher ici la distance qui est 3 et donc vous avez la distance c'est 5 distance 5 et vous avez ici donc un plan qui a une distance de 3 donc là ici on va avoir 3 on va ceci si on prend un plan de coupe donc on forme ici un triangle qui est particulier hein on a un triangle qui est donc 3 ici j'ai 5 parce que c'est un rayon de ma sphère et là et bien j'ai justement le rayon du cercle qui m'intéresse et pour le voir bien sur le dessin regardez je va je mets comme ceci voilà vous avez ici une distance donc de 3 pour aller jusqu'au bout du cercle ici on a cinq d'accord donc là si vous remarquez si je prends intersection je vais mettre un point sur je vais mettre un point donc sur sur mon cercle et en fait quand je relie ce point éga et bien un moment voilà je suis dans une configuration qui me permet d'avoir ici un triangle qui est rectangle avec ici ωé et le point d qui fait 5 ici jusque là c'est donc 3 et donc ça me permet de trouver cette longueur là qui est en fait la moitié du rayon d'accord parce qu'ici je relie ceci au centre voilà et bien j'ai en fait un rayon du cercle le voir regardant haut comme ceci c'est pas oui non j'ai pas fait le bon traitusez-moi ça ici il faut que je fasse ceci faut que je relie d voilà ne me sert à rien ça donne donc ceci voyez 3 5 et là le rayon si vous regardez on est bien sur un rayon voilà donc ça veut dire que le rayon donc de gamma un cercle donc qu'on appelle gamma ça donc c'est donc alors on a Pythagore un angle droit repèreé donc ici ça veut dire que 25 est ég 3 car 9 + r² ça veut dire que r² vaut 25 - 9 25 - 9 ça fait 16 remarquer c'est un triangle de Pythagore donc là ça fait forcément 4 donc ici R est égal à 4 et vous voyez bien ici que le segment que j'ai tracé ici c'est indiqué à une longueur de 4 donc voilà donc ici 3 5 et 4 question 4a détermine une représentation paramétrique de TR Delta passant par Oméga et perpendiculaire au plan voyez je l'avais montré he sur geogébra c'est c'est la droite qui permet d'ailleurs de mesurer la distance de éga au plan P donc il faut un vecteur donc on a déjà un point donc le point Oméga 2 - 1 0 il faut un vecteur donc ici donc directeur vecteur directeur donc elle est perpendiculaire au plan P donc en fait on va prendre un vecteur normal de P on en a déjà c'est très simple c'est n donc vraiment tout est déjà fait ça veut dire que la droite Delta vous pouvez direct ement don une représentation paramétrique he c'est X Y Z vous allez mettre ici un point donc on n pas le choix on prend é et ensuite on va choisir un paramètre t qui va décrire l'ensemble des réels et je vais multiplier les coordonnées de N par ce paramètre donc là j'ai plus 2T - 2T + T donc on a ici détermin représentation paramétrique de Delta c'est donc la perpendiculaire au plan P passant par le centre ça veut dire que le cercle intersection entre ce plan et la sphère il a forcément un un centre qui est sur cette droite Delta d'accord ça veut dire que donc soit on va lui donner un nom he soit omωé prime le centre de gamma et bien omωé prime il appartient à Delta d'accord et il appartient aussi au plan P donc on va chercher l'intersection entre P et Delta c'est tout on a tout ce qu'il faut donc ici il faut résoudre un système composé donc d'une équation cenne de P donc 2x - 2Y + Z + 3 = 0 et des trois équation qui compose la représentation paramétrique qu'on a trouvé de la droite Delta voà donc il faut trouver une solution de ce système alors qu'est-ce qu'on fait et bien on injecte les trois dans la première donc j'ai 2 x donc ça fait de fois de 4 + 4T - 2Y ça fera donc + 2 + 4T + Z donc + T + 3 = 0 je recopie comme ça je peux rédiger avec des équivalences voilà maintenant la dernière ça va aller très vite des T j'en ai 9 ensuite 4 et 2 6 et 3 9 donc 9t = - 9 j'obtiens t = -1 et donc x = donc 2 - 2 0 y = - 1 + 2 1 et Z = -1 et vous reconnaissez en fait fa les coordonnées de H donc en fait et bien le centre de gamma et donc et bien h coordonné 0 1 - 1 c'est ce qu'on a trouvé ici et ça correspond à la valeur -1 du paramètre dans la représentation paramétrique de Delta qu'on a trouvé à la question 4a dernière question montrer que Delta est une médiatrice du segment AB alors tout d'abord je vais aller chercher les coordonées de AB hein on na pas encore utilisé le point B donc de AB donc de B celle de a donc 1- 1 2 2 - 0 2- 1 + 1 0 d'accord ça veut dire que j'ai déjà les de AB est-ce que Delta est est orthogonal à AB donc si vous regardez le vecteur N qui dirige à B il a pour coordonné donc 2- 2 1 si je fais le produit scalaire ça me fait 2 FO de 4 - 4 + 0 ça fait 0 donc AB est orthogonal à Delta puisque n dirige Delta d'accord donc déjà on a orthogonalité maintenant et bien il faut montrer que le milieu de AB appartient à Delta donc qui est le milieu de AB donc soit donc al on va d'abord calculer remarquer Xa + XB sur 2 Xa + XB sur 2 ça fait donc - 1 + 1 0/ 2 donc ça fait 0 y + YB sur 2 ça fait donc 0 + 2/ 2 ça fait 1 za + zb/ 2 ça fait - 1 -1/ 2 ça fait -1 et qu'est-ce qu'on voit et bien on retroune les quaré de H donc h est le milieu de du segment AB donc on a quoi le milieu h de AB donc il appartient à Delta d'accord on a donc le milieu h de AB qui appartient à Delta on sait que AB est orthogonal donc elle se coupe toutes les deux en H ont un point d'intersection donc elles sont maintenant perpendiculaires elles étent orthogonales maintenant elles sont perpendiculaires donc forcément AB pardon delta est une médiatrice parce que dans l'espace il y a plusieurs médiatrices est une médiatrice de AB d'accord il y a plusieurs médiatrices il y a un seul plan médiateur mais là on est sur une médiatrice on regarde ça sur geogébra et on aura terminé regardez on a ici notre plan avec le cercle ici le segment AB alors c'est encore une fois c'est pas une preuve mais on se rend bien compte que ici AB semble bien avoir comme médiatrice une médiatrice la droite Delta que j'avais tracé déjà c'était la perpendiculaire enfin l'orthogonale au plan ici qui est en bleu clair passant par Oméga voilà je vous souhaite une bonne fin de journée à tous cet exercice est terminé je vous laisse avec l'animation très très jolie de cet exercice