Gruppen: Die k-te Potenz von a und zyklische Gruppen

so wir definieren uns mal ein paar Begriffe die m wir für die nächsten Aufgaben brauchen und zwar folgende Begriffe Hinführung zum ersten begriff was wir gerne was wir öfter mal haben ist dass wir ein Element in einer Gruppe mit sich selbst verknüpfen also wir haben sowas wie a verknüpft mit a oder a verknüpft mit a verknüpft mit A und so weiter ja und das möchte man gerne abkürzen oder kürzer schreiben habt ihr eine Idee was man da machen könnte was für eine Schreibweise könnte man einführen um sowas wie a verknüpft mit A verknüp mit a abzukürzen oder stellt euch vor wir haben hier fün oder 7 oder 20 A stehen jand ein Vorschlag was wir da machen könnten ja ja mit Exponenten genau wir möchten eigentlich sowas schreiben wie das ist a hoch 3 ne wobei das nicht bedeutet dass das die Multiplikation ist sondern ich habe ja irgendein Element in der Gruppe mit der jeweiligen Verknüpfung der Gruppe es kann ja alles mögliche sein es können auch Abbildung mit Verkettung sein und so das bedeutet aber nur ich habe das Element zweimal mit sich selbst verknüpft bzw drei Elemente mit sich selbst also verknüpft ja und hier wäre das dann a quadr okay und das definieren wir mal sauber Definition das ist die Karte Potenz von A sei g mit einer Verknüpfung einer Gruppe dann wird für jedes a Element g also wieedes gruppenelement und jedes K aus n festgelegt was könnte a hoch 0 sein wir machen jetzt eine rekursive Definition die potenzbildung wird in der Regel rekursiv definiert das heißt wir müssen sagen was ist das kleinste davon und dann kann ich ja schon sagen worauf es hinausläuft danach a hoch K + 1 = A hoch K verknüpft mit a ne also wir definieren a hoch 0 und a hoch K + 1 = A hoch K verknüpft mit a rekursive Definition ne dann kann ich a hoch K wiederum auflösen mit dieser Definition mit diesem definitionsz 2 solange bis ich bei A hoch 0 Lande was sollte dann a hoch 0 sein wir können ja mal spaßeshber machen Beispiel a hoch 3 ist nach dieser Definition was wenn ihr diese beiden Teile mal betrachtet ja du komm bist schon beim Ergebnis genau wenn jetzt die Definition nehmen hier die dieser Teil ist noch nicht fertig den überlegen wir uns gleich und den den haben wir schon fertig was ist a hoch 3 wenn ich diese Definition anwende ja nee ja genau a hoch 2 verknüpft mit a ne ich wende diesen definitionsteil an a hoch 3 ist= A hooch 2 weil das K dann 2 ist ne a hoch 3 ist a hoch 2 verknüpft mit a okay was ist a hoch 2 nach dieser Definition ja a hoch 1 verknüpft mit a verknüpft mit a okay was ist a hoch 1 nach dieser Definition ma weiter a hoch 0 verknüpft mit a verknüpft mit a verknüpft mit A und ich lass jetzt mal die Klammern weg weil wir e assoziativ gesetzt haben ne dann steht da a hoch 0 verknüpft mit a verknüpft mit a verknüpft mit a also a hooch 3 ist jetzt nur durch Anwendung des rechten definitionsteils a hoch 0 verknüpft mit a verknüpft mit a verknüpft mit a was soll denn rauskommen am Ende ja also nur dieser Teil soll rauskommen also wie sollten wir a hoch 0 sinnvollerweise definieren als neutralelement genau a H0 ist das neutralelement und ja wenn ich das jetzt hier ersetze durch neutralelement machen wir es mal i verknüpft mit a verknüpft mit a verknüpft mit A dann fällt das weg und dann bleibt nur das da stehen okay jetzt gibt's noch einen dritten Teil wir wollen wissen was a hoch- K ist das wollen wir voll definieren also a hoch -3 könnte man das definieren wir wollen natürlich dass die potenzrechengesetze gelten ja also wir wollen dass A hoch K verknüpft mit a hoch- K was ist ja ne ja a hoch 0 und damit das neutralelement richtig so a hoch K verknüpft mit a hoch- K soll das neutralelement geben was ist dann a hoch- K zu a hoch K ja das inverse also a hoch K hoch -1 das inverse Element okay gut also wir haben jetzt Definition ja nicht irgendwie vom Himmel man macht der Definition so dass es sinnvoll ist dass man irgendwie das es zweckmäßig ist und dass man dass es auch im Gesamtkontext passt und keine komischen Situationen entstehen und wir haben uns jetzt tatsächlich sukzessive gemeinsam überlegt wie man so eine Definition sinnvollerweise macht damit diese Potenz Bildung im im Rahmen der Gruppentheorie funktioniert und auch dann sinnvoll gerechnet werden kann ja also jetzt kann man können wir auch solche Dinge machen wie Potenzgesetze anwenden also das sowas wie a hoch m + n ist dasselbe wie a hoch m verknüpft mit a hoch n also mit der gruppenverknüpfung und so weiter das kann man jetzt alles beweisen über diese rekursiven Definitionen mit vollständiger Induktion und so aber das schenken wir uns jetzt okay das ist jetzt wir wissen wir können jetzt Potenz gesetzmäßig rechnen so wie wir normalerweise mit Potenzen rechnen okay so und diese ähm diese potenzschreibweise benutzt man jetzt oder die Verkettung eines Elementes mit sich selbst benutzt man um einen Typ von Gruppen zu definieren der ganz häufig vorkommt nämlich zyklische Gruppen Definition zyklische Gruppe komisches Z zyklische Gruppe das wird folgendermaßen definiert existiert Ex ert in einer Gruppe G mit der Verknüpfung irgendwas ein Element a soass sich jedes Element B aus g also jedes Element B aus g als Potenz a hoch K mit K Element Z darstellen läst der Satz noch stimmt existiert eine Gruppe G ein Element a S dass ich jedes Element B aus der Gruppe als Potenz a hoch K darstellen lässt so heißen g zyklische Gruppe und a erzeugendes Element also angenommen ich habe in der Gruppe G ein Element a mit dem ich wenn ich es sozusagen mit sich selbst verkette verknüpfe entschuldigung wenn ich selbst verknüpfe alle Elemente von G erzeugen kann dann ist g eine zyklische Gruppe und a das erzeugende Element nehmen wir mal ein Beispiel nehmen wir mal die drehsymmetrien des gleichseitigen Dreiecks okay welche drehsymmetrien des gleichseitigen Dreiecks gibt's machen wir noch mal die verknüpfungstafel drehsymmetrien des gleichseitigen Dreiecks welche gibt's guckure Unterlagen wenn ihr euch nicht erinnert ja Identität hab immer mit dabei sehr gut ja was noch die Drehung 120° und die Drehung um ja die Drehung um 240° genau Drehung die Knie hier Drehung um 240° okay die erste Zeile können wir immer sofort ausfüllen ne so und wie geht's jetzt hier weiter ja so gibt es in dieser Gruppe ein Element dass ich hernehmen kann und beliebig oft mit sich selbst verknüpfen und damit alle Elemente der Gruppe erzeugen ja d0 D10 genau denn d120 hoch 1 ist D10 ne was ist d 100 verknüpft mit sich selbst also die 120 verknüpft mit die 120 die 240 und was ist das ganze die0 noch mal verknüpft noch mal verknüpft mit die selbst ja die Identität und das ist natürlich das gleiche wie d120 hoch 0 ne hoch 0 ist ja das neutralelement okay jetzt sieht man auch wieso das zyklisch ist weil natürlich ähm weil ich die Elemente etwa so hier anordnen kann IDE verknüpft mit d120 gibt d120 das noch mal verknüpft mit d120 er gibt 240 und das noch mal mit d120 verknüpft ergibt wieder Identität und so weiter ich habe so eine zyklische Struktur jetzt nehmen wir noch mal eine andere Gruppe die kleinche Vierergruppe ihr erinnert euch die Symmetrien des Rechtecks welche gab's denn da Symmetrien des rechtwecks welche Abbildungen bilden das Rechteck auf sich selbst ab ja die ident ja die Identität ist man immer auf der richtigen Seite bei Abbildung ne das ist immer mit dabei weil es Hal neutralelement ist ja die Drehung um 180° ich nenne die einfach mal D okay weil muss ich nicht viel schreiben gibt nur eine Drehung und was noch und die beiden Achsenspiegelung und T okay so okay wir wissen ja die erste Zeile und erste Spalte mit dem neutralelement ist sehr easy auszufüllen da brauchen wir gar nicht nachdenken was ist die Drehung 180° verknüpft mit der Drehung 180° ja die Identität ah wir erinnern uns was waren die inversen in der kleinischen Vierergruppe jeweils für alle Elemente wie sieht's bei der Achse S aus Achsenspiegelung s ja alle waren selbstinvers ne alle waren selbstinvers okay so und ja jetzt muss man n drüber nachdenken wie hängt das alles zusammen Ich fü es noch mal kurz aus kann man s natürlich am rechtck noch mal klar machen die Achsenspiegelung mit der Drehung war die andere Achsenspiegelung die Achsenspiegelung mit der Achsenspiegelung ist die Drehung dementsprechend ist das ja auch die Drehung Drehung und Achsenspiegelung ist Achsenspiegelung Drehung die andere Achsenspiegelung hier und diese Achsenspiegelung mit der Drehung ist diese Achsenspiegelung okay du muss ein bisschen ja genau kann man auch im Rechteck noch mal klar machen wie das alles zusammenhängt okay ist das eine zyklische Gruppe ich suche ein Element das mehrfach mit sich selbst verknüpft alle Elemente der Gruppe ergibt ja warum nicht genau Stopp wenn ich die Drehung mal als Beispiel nehme ne die Drehung mit sich selbst verknüpft D verknüpft mit D ergibt die Identität noch mal verknüpft mit D ergibt wieder die Drehung noch mal verknüpft mit D ergibt die Identität das heißt wenn ich Drehung mit sich selbst verknüpfe passiert nichts anderes als dass ich immer um 180° weiterdrehe aber ich komme niemals auf die Achsenspiegelung S oder niemals auf die Achsenspiegelung t okay genauso bei den Achsenspiegelung wenn ich s mit sie selbstverknüpfe komme ich wieder auf die Identität Achsenspiegelung mit selbstverknüpft Identität wieder mit selbstverknüpft achenspiegelung wieder mit selbstverknüpft und so weiter ich werde niemals auf die Drehung kommen oder niemals die andere Achsenspiegelung generieren können ich finde hier kein Element das mit sich selbst verknüpft mehrfach verknüpft alle anderen Elemente ergbt ergibt also ich kann die anderen Elemente nicht erzeugen durch ein einziges Element das heißt das ist keine zyklische Gruppe okay wir haben also schon zyklische Gruppen und nichtzyklische Gruppen kennengelernt und eine der Aufgaben mit den ihr euch gleich beschäftigen dürftest mal zu analysieren welche Gruppen mit denen wir uns bislang beschäftigt haben zyklisch sind und welche nicht habt ihr dazu noch Fragen zu diesen be Begriffsdefinition Karte Potenz von A und zyklische Gruppe