Sinus - im rechtwinkligen Dreieck - ausführliche Version | Lehrerschmidt - einfach erklärt!

Hi und herzlich willkommen bei Lehrer Schmidt. Wir machen heute zusammen Mathematik. Wir sind in der Trigonometrie unterwegs und heute schauen wir uns den Sinus in rechtwinkligen Dreiecken an. So, hier habe ich so ein Dreieck mitgebracht und ihr seht, hier oben ist der rechte Winkel. Und bevor wir das Ganze jetzt ausrechnen und genau mit diesem Beispiel arbeiten, müssen wir erst mal verstehen, wofür brauchen wir die Trigonometrie. Wenn unsere Aufgabe es ist, jetzt diese beiden Strecken auszurechnen, die wir hier noch nicht kennen, dann könnten wir jetzt ja meinen, ja, das können wir ja mit dem Satz des Pythagoras machen. Wir stellen aber fest, wir kennen nur eine einzige Strecke und wenn wir den Satz des Pythagoras anwenden wollten, dann müssten wir zwei Strecken kennen. Tun wir aber nicht. Bei der Trigonometrie hingegen, in dem Fall Sinus, brauchen wir einen Winkel und eine Strecke in einem rechtwinkligen Dreieck. Ganz wichtig, das, was ich euch gleich zeige, funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Okay, bevor wir jetzt anfangen, ganz kurz ein paar Grundlagen. Auf geht's, die Grundlagen. Ihr seht ein Dreieck, sagen wir es ist eine Skizze. Auf jeden Fall ist hier oben ein rechtwinkliger Winkel. Alles klar, 90 Grad. Dann müssen wir wissen, gegenüber vom rechten Winkel, diese Strecke hier, die nennen wir immer Hypotenuse. Und die ist immer gegenüber vom rechten Winkel, Hypotenuse. So, und die anderen beiden, die nennen wir Kathete. Und wenn wir uns jetzt hier den Winkel Alpha angucken, dann ist die Kathete, die an dem Winkel liegt, das ist dann die Ankathete. Das ist aber die Ankathete von Alpha. Okay, also die Kathete, die an dem Winkel liegt, die wir uns angucken, nennen wir Ankathete. Und die, die gegenüber liegt, die nennen wir Gegenkathete. Wichtig, Gegenkathete von Alpha, weil sie nämlich gegenüber von Alpha liegt. Gegenkathete. So, und jetzt kommt auch gleichzeitig das Problem. Also das hier ist die Gegenkathete von Alpha und das hier ist die Ankathete von Alpha. Und schauen wir uns aber jetzt Beta an, dann sieht das ein bisschen anders aus. Nämlich, wenn wir uns Beta angucken, dann ist das jetzt hier die Anthete von Beta, weil sie ja an Beta liegt. Und das hier wird dann zur Gegenkathete von Beta. Das heißt also, die Beschriftung Ankathete und Gegenkathete ist immer abhängig von dem jeweiligen Winkel, den wir uns angucken. Das ist ganz wichtig, das muss man verstanden haben. Nur die Hypotenuse, die bleibt immer gleich. So, und dann gibt es ein paar Formeln. Und für die Formeln, da gibt es einen Trick oder einen Merksatz. Und das ist die Gagahühnerhof AG. Ja, klingt komisch. Gagahühnerhof AG. Das ergibt aber Sinn, wenn man jetzt ganz klein hier oben Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens hinschreibt. Denn jetzt hat man sofort die Formel. Die Formel von Sinus ist Sinus gleich Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse. Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse. Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. Das schenken wir uns. Mit diesem Trick kann man die Formeln lernen. Die Formel, die wir jetzt brauchen, weil wir uns ja heute den Sinus angucken. Das ist Sinus, meinetwegen. Alpha ist gleich Gegenkathete von Alpha-Beta geteilt durch Hypotenuse. Die Formel, die brauchen wir. Okay, das waren die Basics, jetzt das Beispiel. So, hier ist unser Beispiel von gerade eben. Und wir sollen jetzt alle Winkel ausrechnen und alle Strecken. Das heißt also, wir müssen herausfinden, was ist klein a, klein b und klein c. Und wir sollen herausfinden Alpha, Beta und Gamma. Alle sechs Angaben. So, kurz beschriften. a, b, c. Dann ist hier klein c, da ist klein a und da ist klein b. Kennen wir schon irgendwas? Klein c, 6 cm. Kennen wir Winkel? Da, der Winkel bei c, Gamma sind 90°. Und der Winkel bei a, 30°. Okay, wie gehen wir vor? Als allererstes bestimmen wir den dritten Winkel. Und das machen wir mit der Winkelsumme. Die Winkelsumme. Und die Winkelsumme bei einem Dreieck sind 180°. Und wenn wir den dritten Winkel berechnen wollen, dann rechnen wir 180° minus 90°, weil das wissen wir von Gamma, minus 30° von Alpha. Und was bleibt über? 60°. Und schon wissen wir, aha, Beta sind 60°. Und das können wir dann hier eintragen. 60°. Okay, gut. Jetzt müssen wir uns also überlegen, wie rechnen wir a und b aus. Und da dieses Video ja Sinus heißt, machen wir das mit dem Sinus. Als allererstes schreiben wir die Formel. Sinus, meinetwegen. Alpha ist gleich jeden Kathete geteilt durch Hypotenuse. So, wenn wir mit dem Winkel Alpha rechnen, müssen wir natürlich auch die Gegenkathete von Alpha. So, und genau das machen wir jetzt. Also, kennen wir die Hypotenuse? Ja, die kennen wir. Kennen wir die Gegenkathete von Alpha? Nein. Also, schreiben wir auf. Sinus Alpha ist gleich, wir kürzen ab, gegen, durch Hypotenuse. Alles klar. Da wir die Gegenkathete, also kleine a, ausrechnen wollen, muss dann g alleine stehen. Weil kleine a ist ja die Gegenkathete von Alpha. Hatten wir ja gerade gesagt. Also muss g auf einer Seite stehen. Es stört also die Hypotenuse. Wir rechnen mal h. Und dann steht hier Sinus Alpha mal h, weil es ja die Seite wechselt, gleich g. Und jetzt müssen wir nur noch einsetzen. Sinus von Alpha, also 30, also Sinus, Klammer auf, 30°, Klammer zu, mal h, in unserem Fall 6 cm. So, den Rest macht der Taschenrechner. 30 Sinus mal 6 cm. Macht 3 cm. 3 cm. Und jetzt wissen wir, g, die Gegenkathete, sind 3 cm. So, die Gegenkathete von Alpha war klein a, also 3 cm. Gut, haben wir es schon geschafft. Jetzt wollen wir noch b ausrechnen. Und das wollen wir auch mit dem Sinus machen. Bei dem Sinus müssen wir aber immer mit der Gegenkathete rechnen. Das heißt also, wir müssen uns jetzt überlegen, von welcher Betrachtungsweise, also von Alpha oder von Beta, ist b die Gegenkathete. Schauen wir uns dieses hier an. Da ist das die Gegenkathete. Schauen wir uns das hier an. Ja, wenn wir uns Beta angucken, dann ist das die Gegenkathete. Also rechnen wir dieses Mal, und die Formel können wir ja gleich übernehmen, Sinus Beta mal h gleich die Gegenkathete. Alles klar. Einsetzen. Sinus Beta, dieses Mal nicht verwechseln, 60° mal h, das bleibt 6 cm. Und dann ab in den Taschenrechner. 60 Sinus mal 6 gleich. Runden wir. 5,2 cm. Also 5,2 cm. Ergebnis unterstreichen. Das unterstreichen wir gleich noch mit. Und dann wissen wir, aha, das kleine b sind auch 5,2 cm. So, jetzt können wir das noch eintragen. Das hier sind 3 cm, das sind 5,2 cm. Und jetzt wollen wir natürlich wissen, stimmt das denn auch, was wir da gerechnet haben? Schnappen wir uns das Linier ein, und ihr seht's. Jawohl, klein a sind genau 3 cm. Haben wir richtig gemacht. Jetzt klein b. So, und auch da 5,2 cm. Stimmt. Können wir das überprüfen? Ja, zum Beispiel mit dem Satz des Pythagoras. a² plus b² gleich c². Probieren wir's aus. 3 hoch 2 plus 5,2 hoch 2 gleich das. Daraus die Wurzel. 6,003. Runden wir's. 6,0. Also ja, der Satz des Pythagoras bestätigt das. Wichtig. Wenn man zwei Strecken ausgerechnet hat, dann kann man die dritte Strecke über den Satz des Pythagoras holen. Das ist genau so richtig, das ist nur ein anderer Weg. Es geht aber auch. Wer nicht mehr weiß, wie das geht, dazu habe ich natürlich auch ein Video. In diesem Video habe ich dir gezeigt, wie man die beiden Strecken mit dem Sinus berechnen kann. Natürlich kann man das auch mit Kosinus machen. Wie das funktioniert, erkläre ich aber in einem anderen Video. So, das war das erste Beispiel. Jetzt zeige ich euch noch ein zweites Beispiel. Dieses Mal fehlt die Angabe bei der Hypotenuse. Da müssen wir bei der Formelunstellung etwas anders vorgehen. Das schauen wir uns jetzt an. So, jetzt schauen wir uns die zweite Aufgabe an. Hier haben wir wieder ein Dreieck. Dieses Mal kennen wir erst mal nur zwei Angaben. Wir wissen natürlich, dass es rechtwinklig ist. Wir kennen Alpha mit 32° und diese Strecke mit 3,7 cm. Wenn wir uns das Ganze ganz kurz beschriften, a, b, c, dann wissen wir, dass hier klein c ist und hier ist klein b. Wie immer wollen wir ausrechnen. Klein a, klein b, klein c. So wie Alpha, Beta und Gamma. Okay, schauen wir mal, was kennen wir schon. Klein a, 3,7 cm. Alpha, 32°. Beta, unbekannt. Gamma, 90°. Okay, dann holen wir uns als erstes den dritten Winkel. Wie gerade eben. 180° ist die Winkelsumme. Minus 90°, hierfür. Minus 32°. Okay, was bleibt über? Das schaffen wir im Kopf. 58°, alles klar. Dann wissen wir schon mal, dass Beta 58° ist. Dann wollen wir ja in diesem Video mit dem Sinus rechnen. Also die Formel. Sinus, beispielsweise von Alpha, ist Gegenkathete von Alpha, geteilt durch die Hypotenuse. Okay, gut. Jetzt müssen wir überlegen, mit welchen Strecken können wir arbeiten. Wenn wir uns Alpha angucken, ist Alpha hier. Haben wir die Gegenkathete von Alpha? Ja, okay. Also können wir die Formel nehmen. Haben wir die Hypotenuse? Nein, dann wollen wir die Hypotenuse mal ausreichen. Also Formel umstellen. Sinus, Alpha ist gleich Gegen durch Hypo. Alles klar. So, Hypotenuse soll alleine stehen. Dann schicken wir sie erst mal auf die andere Seite. Also mal die Hypotenuse. Dann steht hier Sinus, Alpha mal Hypotenuse gleich g. Da wir ja die Hypotenuse ausrechnen wollen, muss der Bereich Sinus, Alpha rüber. Also geteilt durch Sinus, Alpha. Einfach umstellen. Und jetzt ist die Formel so, wie wir sie haben wollen. Die Hypotenuse ist gleich die Gegenkathete geteilt durch Sinus, Alpha. Jetzt müssen wir nur noch einsetzen. Die Hypotenuse ist gleich die Gegenkathete von Alpha. Also 3,7 cm geteilt durch Sinus, Alpha. Also Sinus 32°. Okay, das übernimmt der Taschenrechner. 3,7 geteilt durch 32 Sinus. Gleich. Und dann sind das, gerundet auf zwei Stellen, 6,98 cm. Also 6,98 cm. Und das können wir zweimal unterstreichen. Okay, und jetzt wissen wir, c sind 6,98 cm. Das können wir auch gleich hier eintragen. 6,98 cm. Und schon fehlt uns nur noch ein Wert. So, und jetzt ist die Frage, wie holen wir uns den dritten Wert? Und dieses Mal machen wir das mit dem Satz des Pythagoras. a² plus b² gleich c². Oder, weil wir in diesem Fall b suchen, c² minus a² gleich b. Also 6,98² minus 3,7² gleich, und daraus die Wurzel. Und dann wissen wir, b sind 5,92 cm. 5,92 cm. Und jetzt haben wir es geschafft. Also, das sollen zwei Beispiele gewesen sein. So funktioniert das mit dem Sinus und mit dem Satz des Pythagoras. Okay, das war's. So, das Video ist zu Ende. Und wenn es gut gelaufen ist, dann hast du was gelernt. Und wenn du was gelernt hast, dann freut mich das und dich hoffentlich auch. Und wenn das so ist, dann lass mir doch ein Gefällt mir da. Da freue ich mich drüber. Dann weiß ich, dass das Video gut ankommt. Und wenn es dir richtig gut gefällt, dann darfst du meinen Kanal natürlich auch gerne abonnieren. Auch das freut mich natürlich sehr. Und dann kannst du Teil von Team Schmidt, unserer Community, hier werden. Und das ist hier wirklich richtig toll auf dem Kanal. Hier haben wir nämlich ganz wenig Knallköppe und dafür ganz viele tolle, nette Kommentatoren, wo das Diskutieren auch richtig Spaß macht. Aber das sieht man ja auch unter den Kommentaren bzw. in den Kommentaren unter den Videos. Das wollte ich mal. So, und wenn du mehr Hilfe brauchst, dann findest du alles schön ordentlich sortiert auf meiner Homepage www.lehrer-schmidt.de Okay, so. Das soll es von mir gewesen sein. Okay, das war's.