Wie lautet die Ableitung? – Klammer ableiten

hallo ihr Lieben heute möchte ich euch an diesen beiden Beispielen zeigen wie man die Ableitung bilden kann wenn man eine Klammer in seiner Funktion stehen hat lass uns mal mit dem ersten Beispiel starten hier möchte ich euch jetzt zwei verschiedene Wege zeigen wie man hier vorgehen kann denn der erste Weg wäre eine Möglichkeit zu sagen ich löse die Klammer einfach auf also statt jetzt die Ableitung direkt hiervon zu bilden multipliziere ich diese Klammer erstmal aus und dann ist keine Klammer mehr da die mir irgendwie Schwierigkeiten bereiten würde ist auf jeden Fall hier eine Möglichkeit gehen wir es mal durch das heißt unsere Funktion würde dann wie Aussehen 3x²* 2x zuerst 3* 2 sind 6 x² mal x sind dann x hoch 3 dann kommt unser Plus und dann noch 3x² mal die 1 hier hinten das sind dann einfach nur 3x² jetzt sieht meine Funktion schon um einiges schöner aus und wenn ich die Ableitung bilden möchte F von X dann mache ich das jetzt mit den ganz normalen Regeln die Hochzahl wird mit der Zahl vorne dran multipliziert 3 xal 6 sind 18 und dann wird die Hochzahl eins kleiner gemacht aus der 3 wird n 2 und genau dasselbe hier hinten die beiden werden miteinander multipliziert 2 x 3 sind 6 und dann die Hochzahl 1 kleiner gemacht aus der 2 wird nur eins oder man schreibt dann einfach gar nichts hin und damit haben wir die Ableitung direkt gefunden indem wir das eigentliche Problem mit der Klammer umgangen sind gehen wir mal davon aus dass wir es nicht umgehen wollen dass wir das Ding wirklich genauso ableiten wollen wie es hier steht also dass wir hier ein Produkt haben hier vorne in dem ersten Teil ist was mit X drin in dem zweiten Teil ist auch was mit X drin das heißt wir können hier die Produktregel anwenden die sieht ja so aus dass wir den einen Teil von unserem Produkt mit U bezeichnen und den anderen Teil von unserem Produkt mit V und dann sagt die Produktregel folgendes wenn wir die Ableitung F Strich bilden wollen dann können wir das machen indem wir u einmal ableiten und mit V multiplizieren und dann einmal u genauso nehmen wie es ist und die Ableitung von V bilden und das machen wir jetzt einfach mal was ist mein USt Strich also wenn ich nur hier vorne nur das da nur mein u einmal ableite die Regel wie eben auch die Hochzahl wird mit der Zahl vorne dran multipliziert 2* 3 sind 6 und dann die Hochzahl ein kleiner gemacht aus x hooch 2 wird einfach nur noch ein X das wird multipliziert mit V und an V ändert ihr gar nichts das hier war unser V das schreiben wir hier schön mit der Klammer genauso wie es da stand einfach einmal ab das ist unser V dann plus dann schreiben wir unser u einfach ab ohne irgendwas abzuändern das war unser u das kommt hier rein und das wird jetzt multipliziert mit der Ableitung von V also jetzt schnappen wir uns unser V wir können das auch ruhig mal kurz noch auf die Seite schreiben das ist ja diese Klammer mit allem was da drin steht und davon sollen wir jetzt die Ableitung bilden die Klammer könnt ihr auch einfach weglassen hier steht ja kein hoch 2 oder hoch 3 oder so irgendwas von daher einfach nur so ein Term in der Klammer da können wir die Klammer auch einfach wegmachen und dann eben vstich bilden indem wir ganz normal ableiten wie wir es kennen 2x ist ja so wenn da nur ein X steht fällt das X beim Ableiten weg und nur die Zahl vorne dran bleibt stehen das ist die 2 und hier im hinteren Teil wenn da gar kein X vorkommt dann fällt das ja beim Ableiten komplett weg also V ist einfach nur 2 und das wird hiermit dann einmal multipliziert das ist dann unsere Ableitung die können wir noch ein bisschen schöner machen wir haben eben ja schon gesehen was da eigentlich rauskommen sollte dann lösen wir hier die Klammer mal auf 6x* 2x sind 12x hoch 2 + 6x* 1 sind 6x hinzu kommen hier hinten noch 3 x 2 sind 6x² also wenn wir die Quadrate hier zusammenfassen haben wir 18 von den x²adraten und die 6x noch hinten dran das ist genau das was wir eben raus hatten aber um einiges schneller als wir am Anfang direkt die Klammer aufgelöst haben aber die Produktregel funktioniert auf jeden Fall auch in diesem Fall und könnt ihr immer anwenden im zweiten Beispiel hat hat sich nur eine Sache geändert und zwar steht hier plötzlich ein hoch 4 in der Klammer was bedeutet das für uns wir können die Klammer hier nicht so einfach auflösen wir können nicht hier das hier vorne dran mit jedem Teil hier drin multiplizieren weil das hoch 4 sagt hey ich bin zuerst dran zuerst löse das hoch 4 auf und danach kannst du multiplizieren wenn du willst aber eine hoch vier Klammer will keiner Auflösen von daher lassen wir das in dieser kompakten Schreibweise und kommen um die Produktregel hier nicht drum herum also wir haben hier vorne was mit X wird multipliziert mit irgendwas wo auch ein X drin vorkommt können wir die Produktregel anwenden ist ja kein Problem dabei nennen wir einen Teil wieder u und den anderen Teil V diesmal aber eben mit dem hoch 4 hierm drin sehen wir dann gleich wie man das ableiten kann die Produktregel sagt aber erstmal genau dasselbe wenn wir die Ableitung bilden wollen ist es V + U mal V und dann machen wir uns jetzt mal an die Arbeit u hatten wir eben schon sind 6 x wird multipliziert mit V so wie es aussieht das fassen wir gar nicht an das Schreiben wir einfach nur ab schön mit dem hoch 4 nicht vergessen dann kommt das Plus unser u wird einfach so abgeschrieben wie es aussieht und jetzt müssen wir V Strich bilden also die Ableitung von unser V hier lass uns unser V mal noch mal auf die Seite hier aufschreiben das ist ja diese Klammer und in diesem Fall das ganze hoch 4 wie können wir da V Strich jetzt finden wir haben es hier mit einer ineinander verschachtelten Funktion zu tun in unserer Klammer steht dieser Teil hier und außerhalb von unserer Klammer haben wir das hoch 4 also wir haben was Inneres und wir haben was Äußeres und dam wir die Kettenregel anwenden um das hier ableiten zu können und die Kettenregel sagt ja du kannst es ableiten indem du das Innere zuerst ableitest und das dann multiplizierst mit der äußeren Ableitung okay kümmern wir uns erstmal um das Innere also wir machen so als wäre das Äußere nicht da und wir betrachten nur mal das grüne und bilden davon die Ableitung das hatten wir eben schon wenn wir 2x + 1 ableiten fällt das X einfach weg die 2 bleibt stehen das +1 fällt komplett weg beim Ableiten weil kein X drin ist das heißt das ist meine innere Ableitung die markiere ich mal grün das ist die Ableitung von dem grünen und das wird jetzt multipliziert mit der äußeren Ableitung wenn wir die äußere Ableitung bilden wollen ignorieren wir diesmal das Innere das grüne und schauen nur mal wie würde man denn so ein hoch 4 ableiten na ja indem man die Hochzahl nach vorne zieht also die vier kommt nach vorne dann mache ich die Klammer noch mal hin und dann wird die Hochzahl eins kleiner gemacht das ist ja die Regel ne vier kommt nach vorne Hochzahl ein kleiner was schreibe ich jetzt hier in die Klammer bei der Kettenregel ist es so wenn ihr euch um das Äußere kümmert also wenn ihr euch um die äußere Ableitung kümmert dann fasst ihr das grüne nicht an ihr verändert da dran gar nichts sondern schreibt es eins zu ein wieder hier so rein ihr habt euch ja nur um das orangene gekümmert wenn ich das mal orange mache das hier war die orangene Ableitung das grüne wird nicht verändert das ist meine Ableitung von meinem V das kann ich jetzt hier unten eintragen denn das war ja letztendlich gesucht und damit habe ich mit der Produktregel die Ableitung gebildet das hier ist jetzt die Ableitung die können wir aber noch ein bisschen schöner machen wir könnten hier z.B x 2 sind 6 x 4 sind 24 wenn wir die Zahlen hier mal zusammen rechnen das habe ich jetzt mal noch mal auf die nächste Seite geschrieben und da geht jetzt nämlich noch mehr wenn man nämlich mit dieser Ableitung jetzt weiterrechnen möchte dann lässt man das am besten nicht so da stehen sondern fast das noch mehr zusammen denn seht ihr dass die Klammer hier vorne vorkommt in den Teil dann kommt ein Plus und dann kommt die Klammer hier noch mal vor wir haben hier vorne die Klammer hoch 4 hier hinten die Klammer hoch 3 das heißt die können wir ausklammern aus dieser Summe hier und zwar können wir die Klammer hoch 3 rausziehen weil die steckt ja auch in der Klammer hoch 4 drin also ziehen wir aus dieser Summe die Klammer hoch 3 raus was bleibt dann übrig hier vorne standen die 6x die bleiben übrig die einmal noch mit der Klammer multipliziert werden weil die kam ja viermal vor wir ziehen sie nur dreimal raus also ist die Klammer noch einmal da hier vorne dann kommt unser Plus und in dem hinteren Teil haben wir das hoch 3 ja komplett rausgezogen das heißt nur diese 24x² bleiben stehen dann sieht schon mal ein bisschen besser aus aber in unserer Klammer können wir noch ein bisschen was vereinfachen hier vorne die die lassen wir so stehen das sieht gut aus aber hier drin können wir erstmal diese Klammer hier auf lösen 6x* 2x sind 12x hoch 2 + 6x* 1 sind 6x hinzu kommen hier hinten die 24x² und da ich das nicht noch mal abschreiben will können wir diesmal die x²adrate einfach zusammenrechnen 12 davon + 24 davon sind dann 36x² die ich hier zusammen rechnen kann und damit haben wir unser Ergebnis jetzt jetzt gefunden das sieht jetzt nämlich schön aus hier vorne eine Klammer wird multipliziert mit der Klammer wenn man das jetzt nämlich noch mal ableiten müsste jetzt hätten wir es mit zwei Klammern zu tun die miteinander multipliziert werden na dann könnte man noch mal die Produktregel anwenden wer fleißig von euch sein will kann es ja gerne mal probieren ob er hier durchkommt mit der Produktregel und hier wieder Kettenregel wegen dem hoch 3 aber ja das sind so die Regeln ich hoffe dass es euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut