Terminale S-Spécialité -polynésie juin 2015 - sujet bac S-Matrice-suites géométriques

bonjour à tous donc bienvenue dans ce corriger vidéo du bac polynésie 2015 en juin 2015 donc avant de commencer le corriger et les commentaires je vous laisse le regarder le faire trentaine de minutes peut-être 40 minutes voilà donc à bientôt j'attaque le corriger immédiatement voilà donc avant de commencer un des petits commentaires sur ce sujet comme d'habitude donc à première vue c'est un sujet sur les suites voilà je le découvre avec vous donc on part d'une matrice de 2 on essaye de résoudre au début de trois petites calculs des produits de matrice des puissances de matrice donc ça a l'air assez facile juste technique de produits de matrice et d'addition dès la question 3 on attaque 2 suites R et S et à y regarder vous voyez les deux sont imbriqués les unes dans les autres donc c'est toujours facile et là on sent immédiatement question 3 une récurrence question 4 encore une troisième suite donc qui est la soustraction des deux premières on parle de suite géométrique une expression d'une suite géométrique donc ça question 4 la deuxième partie ça a l'air facile là ensuite ici on vous dit qu'une suite est géométrique de raison 2 donc ça c'est du cours on vous demande d'en déduire une expression de TN donc ça c'est très facile d'ailleurs c'est la même question que la question précédente donc là il y a un peu répétition c'est pas très bien fait ensuite donc question 6 expression de RN et SN vous connaissez TN ici donc la question très simple aussi et la question 7 c'est un bilan un gros produit de matrice mais a priori rien de compliqué donc comme ça un bilan un sujet très suite il faut aimer les suites sinon vous êtes un peu perdu bon peut-être les seules questions difficiles ont l'air d'être la 3 et la 4 il y a beaucoup de suites donc pas se mélanger mais le reste ça devrait se passer tranquillement voilà donc question 1 on vous demande de vérifier que A2 égale A plus 2I donc on écrit A on écrit 2 fois I, une petite remarque d'ailleurs I c'est la matrice identité d'ordre 2 donc dans le cours on le sait l'ordre 2 c'est donc une diagonale avec des 1 et le reste c'est des 0 propriété de cette matrice identité et bien c'est l'élément neutre de la multiplication c'est à dire j'ai indiqué en bas si vous multipliez une matrice d'ordre 2 par I2 par la gauche ou par la droite vous gardez ça laisse M. La multiplication par la matrice identité laisse un changé des matrices d'où l'appellation identité voilà donc je vais maintenant faire l'addition de mes deux matrices A plus 2I donc quand on multiplie une matrice par 2 tous les coefficients sont multipliés par 2 donc je vais avoir une matrice avec des 2 sur la diagonale et des 0 donc j'additionne ensuite quand on additionne des matrices de même dimension parce qu'on peut pas faire si elles ont pas la même dimension la dimension c'est le nombre de lignes et le nombre de colonnes donc là on a des 2 2 on peut donc les additionner et je additionne terme à terme c'est à dire le moins 4 et le 2, le 6 et le 0 voilà on additionne ensemble les coefficients qui sont situés au même endroit on tombe sur une matrice ici moins 2 6 moins 3 7 ensuite on me demande de comparer avec A2 donc vous savez que A2 c'est une façon d'écrire A fois A j'écris deux fois la matrice A je vais réaliser le produit matriciel donc un produit matriciel à la main ça veut dire que le terme ici en première ligne première colonne sera le résultat du produit de la première ligne par la première colonne donc je bascule la colonne ici j'ai indiqué les petites flèches et je vais multiplier ici le moins 4 par le moins 4 donc j'obtiendrai 16 et je vais ajouter le produit de moins 3 par 6 c'est à dire moins 18 et je trouve effectivement vous voyez moins 2 ça commence bien c'est le bon donc ensuite je fais pareil j'indique les flèches là je vais calculer le terme en deuxième ligne première colonne donc je fais le produit de la deuxième ligne moins 3 5 par la première colonne que j'ai déjà basculé donc je garde mon petit dessin et j'aurai donc moins 4 fois moins 3 c'est à dire 12 plus moins 3 fois 5 donc moins 15 j'obtiens donc moins 3 on a bien la première colonne de ce qu'on a trouvé tout à l'heure maintenant passons à la deuxième colonne c'est à dire le terme ici voilà donc maintenant pour le reste deux autres coefficients que j'ai déjà inscrit ici on va donc ici pour le premier il est en deuxième colonne première ligne donc je multiplie la première ligne par la deuxième colonne que j'ai basculé ici on obtient moins 24 plus 5 fois 6 30 donc 6 pour le dernier terme coefficient plutôt qui est donc en deuxième ligne deuxième colonne je multiplie la deuxième ligne par la deuxième colonne que je bascule qui est déjà basculé donc moins 3 fois 6 moins 18 plus 5 fois 5 25 moins 18 plus 25 qui donne 7 on retrouve a plus 2i qu'on a trouvé précédemment cette question est juste une question de développement donc on va partir de a3 a3 c'est donc a2 fois a et comme on connaît a2 en fonction de a on va pouvoir ça faire un développement donc on a a plus 2i qui est la question 1 multiplié par a on sait que le produit des matrices est distributif c'est à dire que vous pouvez développer ici vous aurez donc a fois a a2 plus 2 fois ia et comme i est l'identité ça fera 2 fois a donc on a a2 plus 2a on n'est pas arrivé mais maintenant on va réutiliser une deuxième fois l'expression de a2 en fonction de a et donc nous obtenons à la place de a2 on met a plus 2i voilà plus 2a et on obtient 3a plus 2i pour a4 donc ici on obtient ah oui il fallait une expression de a3 maintenant une expression de a4 donc vous avez un coefficient ici de a c'est alpha alpha égale 3 ici est a égale 2 et donc on va réutiliser tout de suite a3 qu'on vient de faire en espérant que c'était juste donc ça fait a3 a donc 3a plus 2i multiplié par a on développe 3a2 plus 2ia on ne va pas le répéter mais ça fait plus 2a et on va resubstituer une fois ce a carré en faisant 3 fois a plus 2i là le i est indispensable car il n'y a plus de matrice devant le 2 voilà donc 3 fois a plus 2i plus 2a on développe des a on en a donc 5a plus 6i en ce cas là le coefficient alpha c'est 5 le coefficient bêta c'est 6 voilà donc on a une petite récurrence à faire donc on va montrer pour toute n dans cette question 3 que la puissance n de a c'est avec les deux suites définies à droite dans le sujet donc l'initialisation pas grand chose à dire mais si ce n'est que il ne faut pas oublier que a puissance 0 par définition c'est l'identité donc ensuite on a à calculer r0 fois a plus s0 fois i comme r0 vaut 0 ça donne donc 0 fois a plus 1 fois i l'élément donc quand on multiplie une matrice par 0 ça donne la matrice nulle si vous aurez la matrice nulle d'ordre 2 plus i et comme la matrice nulle c'est l'élément neutre dans l'addition des matrices il reste i voilà donc c'est vrai pour n égale 0 donc on a bien initialisé notre récurrence passons maintenant à l'hérédité pour l'hérédité donc maintenant on va supposer que pour un certain p appartenant à n on a ap égale rpa plus spi on doit montrer la même chose mais pour p plus 1 c'est à dire ap plus 1 égale rp plus 1 plus sp plus 1 donc on va partir de ap plus 1 qu'on va multiplier par a pour former a puissance p plus 1 voilà donc ap plus 1 est égal à a que multiplie a puissance p et on remplace ici a puissance p par notre hypothèse de récurrence on développe on obtient rpa2 puisqu'on sait que quand on multiplie une matrice par une matrice avec un coefficient devant on peut mettre le coefficient devant le produit c'est à dire que le rp va se retrouver devant multiplication et pareil pour le sp qui va se retrouver devant on a aussi a multiplié par i mais on sait que ça fait a et après et bien on va remplacer le a2 par le a2 de la première question qui est a plus 2i et là vous développez on factorise par a et on obtient ici rp plus sp qui n'est autre que rp plus 1 le terme suivant dans la suite r et ici ce n'est que sp plus 1 voilà c'est bien ce qu'on voulait montrer donc l'hérédité est vérifiée donc on a prouvé par récurrence pour tout un appartenant n la puissance n de a vaut rn a plus sn i voilà donc la question 4 donc la suite kn est égale à rn moins sn termes générales de kn donc on demande de montrer quelle géométrique donc je vais essayer de d'exprimer kn plus 1 en fonction de kn et de trouver une relation du type un coefficient multiplié par kn pour montrer que pour aller d'un terme au suivant on multiplie toujours par le même nombre donc ici vous avez kn plus 1 c'est donc rn plus 1 moins sn plus 1 on remplace par l'expression des deux suites de relations de récurrence définissant rn et sn vous développez voilà et vous refaites apparaître kn en factorisant par moins 1 et on obtient que kn plus 1 est égal à moins kn donc dans la suite kn pour aller d'un terme au suivant on multiplie toujours par moins 1 c'est donc une suite géométrique de raison moins 1 donc l'expression de kn plus 1 c'est moins 1 multiplié par kn donc kn d'après le cours c'est moins 1 puissance n fois k0 pour k0 on calcule c'est donc r0 moins s0 qui vaut moins 1 puisque r0 vaut 0 et s0 vaut 1. Bilan le terme général de la suite kn est moins 1 puissance n fois moins 1 qu'on peut écrire autrement si on a envie de faire plus court moins 1 puissance n plus 1 donc kn est géométrique de raison 2 donc d'après le cours son expression c'est 2 puissance n la raison puissance n fois t0 on calcule t à 0 en remplaçant n par 0 on trouve r0 plus ça donc comme r0 vaut 0 il reste à faire moins 1 puissance 0 par définition ça fait 1 il reste un tiers donc tn c'est 2 puissance n fois un tiers. Voilà la question 6 on connaît tn en fonction de rn donc on connaît rn en fonction de tn il suffit d'inverser la relation puisque c'est une relation facile à inverser. On remplace juste tn par son expression et on obtient rn il reste à trouver un sn alors sn si on regarde sa définition on l'a eu tout à l'heure donc on sait que donc sn plus 1 c'est 2 rn oui mais en fait je crois qu'il y a une autre façon de le faire peut-être plus simple oui c'est la question 4 donc en question 4 on nous dit que la suite kn c'est rn moins sn donc de là en fait on va extraire tout simplement l'expression de sn en fonction de kn et rn et comme on connaît kn et qu'on vient de trouver rn on aura sn. Question peut-être un petit peu plus dure puisqu'il faut aller la chercher donc kn est égal à rn moins sn ça va être équivalent donc à dire que sn est égal à rn moins kn voilà donc on connaît rn c'est un tiers fois 2 puissance n moins moins 1 puissance n sur 3 et on doit enlever kn et kn de mémoire c'était moins 1 puissance n plus 1 voilà alors on peut transformer ce moins en rajoutant une puissance on en aura une à l'intérieur c'est la même chose je veux quand même un petit peu de précision moins 1 puissance n plus 1 c'est moins 1 puissance n fois moins 1 d'accord donc là le moins plus 1 devient n et on a un moins qui sort qui va se mettre avec le moins qu'en multiplication et on obtient et donc un tiers fois 2 puissance n moins moins 1 puissance n sur 3 plus moins 1 puissance n alors on va pouvoir regrouper ensemble les deux puissances de moins 1 ici pour fonder ici alors je vais l'écrire là un tiers fois 2 puissance n donc on a une puissance de moins 1 ici moins 1 tiers donc il reste plus 2 tiers fois moins 1 puissance n il reste plus qu'une question la question 7 où on va regrouper tout ça la dernière question alors elle est assez simple un petit peu longue parce qu'il y a des manipulations avec des indices on a les deux suites S n et R n les expressions en fonction de n qu'on a trouvé en question 6 on a A n égale R n A plus S n qu'on a trouvé en question 3 c'était notre écurrence on remplace par l'expression de A et de I et on en déduit les coefficients de A n en fonction de R n et S n reste maintenant à les exprimer en fonction de n c'est à dire en utilisant ici S n et R n qu'on a trouvé juste avant donc pour les deux premiers on a donc moins 4 fois R n ici vous avez moins 4 tiers 4 tiers ici et le plus S n alors on peut regrouper les deux puissances n vous en avez moins 4 tiers ici plus un tiers ça va donc donner moins 3 tiers c'est à dire moins 1 d'où le moins que j'ai mis ici devant la puissance de 2 ensuite pour les moins 1 puissance n vous avez 4 tiers plus 2 tiers donc ça va donner 6 tiers et voilà pourquoi il y a un 2 ici devant moins 1 puissance n ensuite on a 6 fois R n donc 6 fois 1 tiers vous aurez donc 2 fois 2 puissance n donc 2 puissance n plus 1 et 6 tiers ici donc un 2 qui apparaîtra ici devant la puissance les deux derniers ça va assez vite donc vous avez moins 3 R n qui donnera moins 2 puissance n plus moins 1 puissance n je remonte l'écran voilà donc moins 3 fois 1 tiers ce qui donne moins 1 et moins 3 fois moins 1 tiers donc plus 3 sur 3 donc plus moins 1 puissance n pour le dernier 5 R n donc vous aurez 5 tiers ici moins 5 tiers ici qui va s'ajouter avec le 2 tiers ici pour avec le 1 tiers ici donc 5 tiers plus 1 tiers qui fait 6 tiers donc 2 fois 2 puissance n qui donnera plus loin 2 puissance n plus 1 pour le moins 1 puissance n vous avez moins 5 tiers plus 2 tiers donc moins 3 tiers donc moins 1 d'où la réponse voilà c'est fini à bientôt pour un nouveau sujet