1ere et Term Spé Maths -Dérivation - Etude de x^4+ 4x² +16x 11

Bonjour à tous, alors aujourd'hui exercice complet, ça va être très long, exercice complet sur l'étude d'une fonction en première spécialité maths. Il y a cinq parties, il y a de quoi faire. Donc la première partie, j'ai choisi aujourd'hui une fonction polynomiale de degré 3, c'est vraiment du classique pour démarrer vraiment sur les dérivations, sur l'application de la dérivation, à quoi elle sert. Donc on va étudier les variations. On résolvera aussi une petite équation à l'aide de ce tableau de variations. J'empiétrerai un petit peu ce problème de terminacle. C'est ce qu'on appelle la continuité. Ensuite, partie 2, étude d'une tangente particulière. Donc la tangente sur un point ici d'abcisse 1,5 et position d'entre cette tangente et la courbe. C'est toujours intéressant, ça nous fait une belle étude de signes avec une petite factorisation, trouver abc. Partie 3, étude de la dérivée seconde. Donc on va dériver f' pour obtenir ce qu'on appelle la dérivée seconde, faire son tableau de signes, trouver le tableau des variations de f' et hors programme de première, on en déduira la convexité. Vous verrez, c'est des informations sur la courbe et on retrouvera comme ça les résultats de la partie 2. Il nous restera une partie 4 où je tracerai la courbe ici sur ce petit graphique. J'abandonnerai bien sûr, mais avec tous les détails qui sont apparus dans l'exercice. Et ensuite en partie 4, un petit peu compliquer un peu tout. Recherche de tangente particulière avec des coefficients donnés à l'avance. On y arrivera. Donc on est parti. Première chose, donc l'étude des variations, on va dériver cette fonction. La première question, sur quel ensemble f est-elle dérivable ? Alors la dérivéabilité, c'est du cours. On regarde la fonction, on voit ici que c'est une fonction polynomiale, f est une fonction donc on dit polynomiale de degré 3. Parfois on dit polynôme de degré 3. Et on sait que les polynômes, les fonctions polynomiales, sont dérivables sur leur ensemble de définition. Vous écrivez dérivable sur son ensemble de définition, qui est ici l'ensemble (-1,3). Sur son ensemble de définition, ici (-1,3). Ça veut dire que partout, en chaque point de la courbe, vous avez une tangente et une non-verticale. Ça veut dire que si vous faites un zoom quelque part sur cette courbe, vous aurez toujours l'impression d'avoir devant vous une droite non-verticale. La dérivée, c'est très rapide, la fonction est simple. Donc pour tout x dans l'ensemble, (-1,3), on dérive. Donc on a (-2,x,3). Je rappelle que la dérivée de x,3, c'est 3,x,2. Donc vous pouvez écrire tout de suite (-6,x,2). La dérivée de x,2, c'est 2x. Donc comme il y a un 3 devant, ça fera 3 fois 2x, 6x. Ensuite on dérive 6x-2. Donc on peut faire deux méthodes. Soit vous dérivez tout de suite 6x-2, ce qui vous donne 6. Sinon vous dérivez 6x qui donne 6 et vous dérivez 6x-2 qui donne 0. Alors on n'écrit jamais, mais là je le mets. Et ça donne donc ce 6. (-6,x,2), plus 6x, plus 6. Voilà. On va maintenant étudier le signe de cette dérivée. Donc tout de suite, c'est une expression du second degré. Donc réflexe numéro un, important, on factorise si on peut. Et vous voyez bien qu'on peut ici, on peut factoriser par 6. Et ça va me donner (-x,2), plus x, plus 1. D'accord ? On va chercher les racines de f' en cherchant les racines de (-x,2), plus x, plus 6, parce qu'on sait qu'en factorisant, les racines ne changent pas. Donc je fais un delta avec a égale à (-1), b égale à 1, c égale à 1. Ceux qui auront fait un delta avec (-6,6), et 6, auront des calculs un petit peu plus longs, c'est important de bien comprendre. Delta b², 1²-4ac, vous voyez bien que ça fait 5. Donc, de racines réelles, x1, moins b, moins racine de 5 sur 2a, donc sur moins 2, attention, ça me fait 1 plus, attention, il y a une fraction, hop, 1 plus racine de 5 sur 2. Vous voyez ici, j'ai simplifié. Parfois, j'oublie de le refaire au tableau, donc je vais le faire. Qu'est-ce qui s'est passé ? Pourquoi tous les moins ont disparu ? Parce qu'ici, en haut, on factorise par moins 1. Vous voyez, ça fait, donc on met un moins, ça fait moins 1 plus racine de 5, donc les deux moins que vous aviez sont en fait ici, dans la factorisation, il y a un moins 2, et là, en fait, les deux moins vont se simplifier. x2 sera donc un moins racine de 5 sur 2. Alors, je commence avec une casio, on changera au fur et à mesure. Ici, donc je vais prendre moins 1, vous pouvez même remettre ce 2f, si vous avez un petit doute sur ce que j'ai fait. 6, je valide, 6, je valide, 6, je valide, ensuite solve, 1 plus racine de 5 sur 2, 1 moins racine de 5 sur 2, je note sur toutes les deux valeurs ici, et je vais les arrondir, donc à 1,6 et moins 0,6. Donc, on a frim qui a deux racines, x1 et x2, donc ici, on a moins 1, 3, alors déjà, est-ce que les racines sont bien entre les deux ? Oui, moins 0,6, donc je vais mettre x2 ici, 1,6, parfait, ce sont les racines donc de fprime, on l'a dit, la factorisation n'a pas changé, donc ici j'ai 0, j'ai 0. fprime, c'est une expression du second degré avec un moins x2, donc si vous traciez, ça donnerait une parabole inversée, donc ça ferait moins, moins, plus, parce qu'on a deux racines. Donc, le cours, application à la dérivation, ça veut dire que f est strictement décroissante jusqu'à x2, ensuite strictement croissante, puis strictement décroissante. A ce moment, on a parti, parce que c'est une partie, en fait, il faut prendre sa machine et on va remplir, ici, je vais demander aux élèves de remplir à l'aide de la calculatrice, donc on va aller regarder sur le solver graphique les maximums, etc, on va utiliser tout ça, donc on commence par la casio, donc vous allez dans le menu graph, vous rentrez ici, expression, on utilise bien sur le x qui est ici, niveau 2, ce qui a un petit peu de mal ici, il doit être marqué grand Y à chaque fois, s'il y a autre chose, il faut aller régler dans le type, ici sur f3, il faut aller régler Y égal, il ne faut vraiment pas qu'il y ait marqué autre chose ici, donc attention, ensuite, juste, regardez bien votre X, certains mettent un X un peu différent, parfois, il faut, et c'est très important, vraiment utiliser ce X là, et avoir un Y à cet endroit, donc là, vous tracez, mais le repère ne sera pas bien cadré, donc il faut aller cadrer, pour cadrer, et bien, ça serait bien déjà d'avoir peut-être quelques indices au niveau des valeurs maximales et minimum, sinon, vous prenez votre fenêtre, vous reculez, alors, vous mettez déjà X, donc on est entre moins 1 et 3, c'est notre domaine, après, on regarde, on en est où ? Ici, vous voyez bien qu'on ne va pas assez haut, pas assez bas, donc je reviens sur la fenêtre, je ne sais pas, pour l'instant, quand on ne sait pas, on ne met pas moins 10, puis on met 50, on verra bien, voilà, vous avez à peu près tout, donc, ici, ça serait bien déjà de savoir combien ça vaut en moins 1 et en 3, ici, on a l'air d'être, si j'ai mis 50, donc là, vous revenez, et vous mettez un petit peu moins, vous mettez par exemple 20, on verra déjà un petit peu mieux les choses, voilà, ça commence à être un peu mieux cadré, donc ici, les choses qu'on peut faire, quand vous avez la courbe entière sur le dessin, vous mettez, j'ai solve, maximum, et ça va passer à un point, ici, c'est un maximum local, donc, en 1,6, donc, c'est bon, c'est bien, x2, on a à peu près 7,1, on s'en rappellera, sinon, on peut le marquer tout de suite, donc, là, on va mettre à peu près 7,1, on va vous mettre à gauche, ici, f2, x1, est à peu près 7,1, f2, x2, on va aller chercher un minimum local, en moins 0,6, c'est parfait, moins 4,1, donc, ici, on met à peu près moins 4,1, ou vous mettez ici, f2, x2, est à peu près moins 4,1, au niveau des valeurs-là, donc, vous pouvez rester ici, vous mettez, toujours j'ai solve, vous allez dans l'autre menu à côté, et vous calculez les valeurs de y, en donnant x égale moins 1, il indique y égale moins 3, donc, là, je mets moins 3, ensuite, je vais faire la même chose avec 3, donc, j'écris 3, je crois qu'il faut y retourner, quand même, ou alors, peut-être, valider, non, on retourne, ici, on a moins, y, x égale 3, voilà, et je trouve moins 11, mon tableau est cohérent, c'est parfait, vous pouvez aussi, si vous voulez, aller dans le menu, ici, table, c'est-à-dire que là, vous allez avoir un tableau de valeurs, et vous indiquez, table, vous mettez les valeurs que vous souhaitez, si vous voulez la valeur en moins 1, vous écrivez moins 1, et vous avez bien moins 3, et à côté, vous avez la colonne qui donne les nombres dérivés, alors, si vous n'avez pas cette colonne, ici, sur une casio, en y prime, vous allez dans le setup, ici, vous mettez shift setup, vous devez descendre, ici, sur la ligne dérivée, ou dérivative, et activer, vous mettez activer, ou on et off, ça dépend des modèles, d'accord, donc, on ressort, on revient, vous mettez 3, mais vous aurez 3, vous aurez bien moins 11, d'accord ? Bon, je vais faire tout de suite l'animer, parce que beaucoup de mes élèves aussi ont l'animer, donc, ici, on va donc dans le grapheur, vous indiquez, donc, il y a un élément, donc, vous indiquez votre fonction, on met moins, ici, 2, donc, le x, il est ici, d'accord, on renforce, comme d'habitude, les puissances, tout ça, donc, on descend, on a plus 3x2, je pense qu'il y aura un petit peu moins de celle-ci, mais vraiment, elle est très performante, il faut le dire, c'est un très bel objet, moins 2, voilà, on valide, donc, vous avez plein de possibilités, vous voyez, c'est écrit, fonction plus longueur, en plus, le tracé graphique, voilà, il est déjà presque bien cadré, s'il n'y a pas le moins 1 et le 3, il va falloir un petit peu changer, on va, ici, on est dans axe, et vous pouvez indiquer, ici, donc, le valeur du x, donc, il va aller, ceci, donc, entre le moins 1 et le 3, voilà, on valide, on est bon, donc, maintenant, alors, attendez, comment on ressort de là ? On revient, non, on revient de l'arrière, donc, écoutez, je ne sais pas, on est revenu, donc, après, on est bien entre le moins 1 et le 3, on n'est pas assez bas, vous voyez, donc, il va falloir descendre un petit peu, donc, là, vous allez régler pareil, de la même façon, on descend le y, donc, on va se dire entre le moins, on peut mettre autour, mais vous voyez qu'il ne la descend pas assez bas, donc, entre le moins 5 et le y, on ne descend pas assez bas, donc, il va se dire entre le moins 10, le moins 15, voilà, le moins 20, par exemple, le moins 17, on valide, on revient sur, voilà, et on a à peu près tout, vous voyez, donc, on a tout ce qu'on avait calculé tout à l'heure, si vous avez des précisions, vous appuyez sur OK, là, donc, ici, rechercher, on met maximum, vous voyez, c'est placé ici, 1,6, 7,1, vous voyez que c'est quand même très, très pratique, donc, n'oubliez pas, on appuie sur OK, on recherche ici, minimum, on va juste avoir besoin, après, des 0, donc, on a bien moins 0,6, moins 4,1, c'est parfait, voilà, donc, vous avez compris comment ça fonctionne, si vous voulez des valeurs, c'est au même endroit, vous mettez ça, vous cherchez antécédents, vous voyez ici, tangente interne, donc, tout ça, il y a des choses que vous utiliserez à la fin de l'année, alors, les antécédents, pour l'instant, on n'en a pas besoin, moi, ce qu'il me faut, c'est les images, donc, pardon, je fais ceci, je reviens, et là, vous pouvez, dans le tableau de valeurs, tout en haut, dans lequel vous pouvez calculer les valeurs, donc, vous mettez le moins 1, il calcule tout de suite à côté l'image de moins 1, qui est moins 3, vous faites pareil pour 3, et ça fait moins 1, donc, on a vraiment une facilité d'utilisation, il faut bien y penser à la touche OK, sur laquelle vous allez chercher les calculs. Alors, quand même, allez, faisons les Texas, comme ça, tout le monde aura été servi, donc, vous allez ici, dans F2X, vous rentrez Expression, je l'ai déjà fait, ensuite, dans Fenêtre, vous réglez votre fenêtre, donc, X minimum, maximum, Y minimum, Y maximum, vous tracez, ça donne ceci, après, eh bien, donc, là, je ne suis pas descendu assez, je crois, il fallait aller jusqu'à moins 11, oui, donc, il est important de mettre moins Y minimum, moins 11, parce que c'est la valeur 3, à toute notre courbe. Maintenant, au même endroit que la casio, vous avez Calcul, donc, vous allez y aller, on se rend calcul, et vous avez les mêmes choses. Alors, c'est un petit peu différent, ce qu'il faut préciser, il faut encadrer la zone où vous voulez le maximum, donc, là, vous mettez une, bon, la première fois, ça paraît un petit peu difficile, vous encadrez, en fait, votre maximum, vous mettez un premier trait à gauche, un premier trait à droite, je crois qu'on n'aura plus une troisième fois, et ça va placer le point, normalement, au bon endroit. Il y a une petite erreur, ah oui, non, j'ai mis, pardon, là, c'était maximum, donc, je refais, on va mettre ça au maximum, attention, donc, je valide, vous pouvez commencer à droite, à gauche, ça ne change rien. Alors, c'est un petit peu moins pratique, quand même, c'est pour ça que je préfère, moi, personnellement, pour les courbes, je préfère la casio. Là, je m'étais trompé, oui, j'ai mis dans le mauvais sens, donc, bon, là, Texas, il y a ce petit défaut, il faut quand même le dire, donc, je reviens, vous voyez, quatre, ceux qui ont une casio, une morselisse, qui sont bien faits, dans ces moments-là, mais il y a d'autres moments où là, Texas, c'est très pratique. Trait, on valide, et vous voyez qu'il va se placer, cette fois-ci, au bon endroit, donc, 1,6,7, je vous le montre en direct, avec les erreurs qu'un NFS peut faire, vous faites aussi le minimum, pour calculer les valeurs, eh bien, là, vous n'en avez pas, ici, le même menu, mais c'est les valeurs. Vous dites x égale moins 1, comme ça, directement, il vous donne moins 3, donc, ça, c'est pratique, par contre, il n'y a pas besoin de sortir de là, c'est très, très rapide. Maintenant, on arrive à la question 4, donc, à l'hypothèse, peut-on faire ce nombre de solutions à l'équation mdx égale 0 ? Alors, je mets hypothèse, parce qu'en premier, on n'a pas les connaissances pour justifier ça de façon rigoureuse, parce qu'ici, quand on regarde le tableau, on voit bien qu'on passe ici de moins 3 à moins 4,1, donc là, ça ne peut pas faire 0, sur moins 1, x, 2, la fonction f est décroissante, donc fdx est plus petit ou égal à moins 3, donc strictement négatif, donc fdx ne peut pas faire 0. Pour ça, on peut le dire, en premier, il n'y a pas de problème, c'est la décroissance de f. On a, par contre, après des zones, là, on va de moins 4,1 à 7,1, alors, on peut faire l'hypothèse qu'on va, forcément, c'est strictement croissant, on va passer une seule fois sur toutes les ordonnées qui sont entre moins 4,1 et 7,1. Alors, regardez les 4 points que j'ai placés, ce sont les points qui correspondent aux tabulations, la courbe, elle va ressembler à ça, ici, vous avez une tangente horizontale, ici, après, ça va remonter, je ne sais pas comment, mais ça remonte strictement, vous voyez, une courbe qui va ressembler à ça. Et donc, à condition qu'il n'y ait pas de trous dans la courbe, on va être obligé de passer à chaque valeur entre moins 4,1 à peu près, et à peu près, et exactement, et à peu près, pendant 7,1, donc vous allez trouver une solution ici, quelque part, entre, donc, x2, x1, ici, là, encore sur la piste alpha, on va essayer de trouver la machine, et c'est pareil, après, vous passez de 7,1 à moins 11, donc, le fait qu'il n'y ait pas de trous dans la courbe, et que la fonction soit strictement décroissante, ça va garantir, en fait, l'existence d'une solution unique, auquel ça s'allume. Donc, qu'il y a deux en haut, ça fera zéro. Alors, la notion qui permet de faire ça en terminale, c'est ce qu'on appelle la continuité. Et quand une fonction est dérivable, eh bien, elle est continue, et la continuité, ça assure une courbe qui n'a pas de trous. Vous ne pouvez pas sauter par-dessus zéro sans y passer. Donc, vous verrez ça dans un chapitre où vous apprendrez à utiliser une conséquence d'un théorème, le théorème des valeurs intermédiaires, autrement appelé un théorème de la bijection. Ça, c'est pour l'année prochaine. Donc, pour l'instant, cette année, eh bien, on peut dire qu'il y a deux solutions. Une entre x2 et x1, et l'autre entre x1 et x3. Comment trouver ces solutions ? Alors là, les calculatrices sont très perfectes. Elles sont parfaites. Donc, on va retourner, nous, ici sur notre dessin. Il y a plein de façons de le faire, mais là, on va faire ça très vite. On trace. Et vous allez dans les solvers. Ici, dans toutes les calculatrices, vous allez mettre racine. Alors, il y en a, sur les Texas, c'est marqué zéro. Et là, vous mettez racine. Et donc, il vous indique la première. Donc, à peu près 0,2977. Alors, je vais demander les solutions à peu près... Alors, ne demandez pas de vous rapprocher. Donc là, je vais donner... Ici, on va mettre à peu près 0,30. Et pour l'autre, vous rappuyez une deuxième fois. Donc, 0,30 et à peu près 2,53. Sur la Texas, vous mettez calcul. Dans le menu calcul, vous mettez zéro. Voilà, donc il va... Alors, encore une fois, borne gauche. Donc, il faut encadrer vos zéros. Vous voyez, cette petite chose que je n'aime pas trop, quand même. Vous validez. Ça va balayer, en fait. Et donc, vous voyez, 0 à 0,29, donc c'est du 0,30. Et vous faites pareil pour l'autre. C'est un humour, ça. Vous allez sur la cour, OK. Et puis sur OK, vous allez dans Rechercher. Ici, zéro. Vraiment très pratique, ça aussi. Donc, ça fait 0,29. Vous mettez ceci. Et donc, 2,53. Et ça donne deux autres points de la cour. Vous voyez qu'ici, on va couper l'axe. Donc, à peu près 0,3. Donc, à peu près ici. C'est ce que j'ai appelé Alpha. Et ensuite, 2,53 pour l'état. Alors, en ce qui concerne les maximums et minimums locaux, on va mettre ici une petite flèche pour indiquer les tangentes horizontales. Ça permettra de tracer la courbe de façon plus précise. Il faut qu'elle soit vraiment horizontale. Traduire vraiment la tangente horizontale, la dérivée qui s'amène à ces deux endroits. Alors, la question, donc, 1 de la partie 2, la tangente, l'équation de la tangente au point d'application de U, je rappelle qu'au point d'application petite à la tangente d'une courbe F, pour l'équation, y égale F' de A x moins A plus F de A. Donc là, c'est une multiplication. Ici, on va appliquer ça pour A égale 1,5. Je rappelle qu'ici, F' c'est moins 6x2 plus 6x plus 6. Et on va donc calculer F de 1,5 et F' de 1,5. Ensuite, on calcule. On remplace les expressions par 1,5. Ici, petite avant 1,5. Donc, j'aurais des 1,5 au cube. Alors, petit détail, quand on fait 1,5 au cube, ça fait donc 2 fois 1,8. Et on simplifie les fractions, surtout. On fait 1,25. Après, vous avez pas mal de simplifications. Ici, 6x1,5. Je rappelle que 6x1,5, ça fait 6,5. C'est idiot de le dire, mais il y a encore des f qui font des erreurs. Donc, attention, il faut savoir manipuler les fractions sans problème. Donc, on trouve ici 3,5 et 4,5 qu'on peut mettre sous forme décimale. Ensuite, on remplace les fractions. Moi, je préfère travailler avec les fractions. Pour les produits, c'est plus facile. 15,5x1,5, ça fait 15,4. Donc, ça fait moins 15,4 plus 6,4. Ça fera moins 9,4 pour ceux qui aiment les décimaux. Là, vous pouvez, si les valeurs sont exactes, vous multipliez. Donc, sachez que quand on multiplie par 1,5, ça divise par 2. Ça fait donc ici 3,75. Ça fait donc moins 3,75 plus 1,5 qui fera moins 2,25. Voilà donc pour cette question. La question de maintenant, on va introduire une nouvelle expression d2, qui sera l'instant vertical sur le graphique. On va calculer d2, 1,5 et ensuite, on va factoriser d2, parce que ici, on a une propriété qui dit que quand un polynôme ici s'annule en une valeur, ici 1,5, on peut le factoriser par x moins cette valeur, c'est-à-dire ici par x moins 1,5. Donc, je calcule d2, 1,5. Je fais l'effort. Quand on enlève, il faut faire l'effort de calculer, pas toujours utiliser la machine, parce que les fractions, c'est très important d'avoir de l'aisance. Donc, on fait très attention. 1,5 au cube, 1,8. 1,25 moins 3,5 fois 1,5 ça fait moins 3,25. On va tout mettre sur 4. Alors ici, on peut parce que moins 2 sur 8, ça fait 1 sur 4. On simplifie par 2. 3,25 moins 3,25, ça va s'annuler. Plus 1,25, effectivement, on trouve bien 0. Pour la suite, donc, je rappelle la propriété. Comme 1,5, c'est une racine du polynomial d, d2x se factorise par x moins 1,5. Pour tout x, on peut écrire que, là c'est important, d2x, mettez bien d2x, je l'ai mis en bleu parce que parfois, on va aller on se trompe, on se traite d'un devoir ou d'un exercice, on écrit l'expression de f. C'est bien l'expression de d2x qu'il faut mettre ici, qui va se factoriser par x moins 1,5. Vous avez ici un polynomial de degré 1, ici un polynomial de degré 3, donc ça se factorise ici avec un polynomial de degré 2, donc du ax² plus bx plus c. Ensuite, pour trouver les valeurs de a, b et c, on va utiliser la méthode terminale, on peut aller plus vite, mais je vais ici prendre la méthode générale, on développe le côté droit proprement, et on va procéder par l'identification. Qu'est-ce que c'est que l'identification ? C'est une propriété qui dit que quand deux polynomials sont égaux sur les valeurs de tout un intervalle vont réduire un point, ici donc moins 1,3, il y a une infinité de points, quand deux polynomials ont les mêmes valeurs sur une infinité de points, les coefficients sont les mêmes, ce sont les mêmes polynomiaux. Donc ça veut dire qu'ici on va identifier les différentes puissances de x. Donc à gauche et à droite, on regarde l'x3, vous voyez que le a à droite, le x3, il n'y en a qu'un, à gauche c'est le 2 moins 2, donc a est égal à moins 2. Donc on va identifier donc ici vous avez ce moins 2 que j'identifie avec ce a. Ensuite on va faire pareil avec le deuxième terme important, la constante. Ici, seul terme constant à droite à gauche, il y en a un à chaque fois, ça revient aussi à remplacer x par 0, on déduit que moins 1,5 de c est égal à 1,25. Donc on trouvera comme ça la valeur de c très rapidement, juste après, vous voyez, on écrira a égale 2, et c'est égal, donc je multiplie par 2, ça fait c'est égal à moins 1,5, autrement dit moins 2 sur 4. Maintenant, il reste encore les x2. Alors les x2 à droite, à gauche, il n'y en a qu'un seul, j'ai plus 3, et à droite, j'en ai plus b, et attention, il y a deux termes, moins 1,5. Donc ça, ce sont plus dur à trouver, vous voyez. Pour le a, j'aurais pu le trouver tout de suite, c'est moins 2. Pour le c, on peut le trouver en regardant le produit ici, un k, qui doit être égal à moins 1,5 fois c, pour les autres, il est découpé en 2. Donc là, je vais écrire b pour moins 1,2 et ça, je sais que c'est égal à 3. Il me reste encore les coefficients de x, donc moins 3,5. Alors je fais tout, ça permet de faire une vérification. C'est à dire que là, si tout se passe bien, votre système va fonctionner sur les 4 équations et vous serez sûr de votre factorisation. Donc j'ai ici, je vais faire un petit peu de place, c, moins 1,5 de b doit être égal à moins 3, demi. Donc je vais calculer b, faisons 3 plus 1,5, on ne se presse pas. Vous pouvez par contre, à place de 1, mettre 3, 2 puisque là, il vaut 2. Ensuite, ici, on va calculer la valeur de b. Donc a est égal à 2, b vaut donc 3 plus 1, 4, c vaut moins 1,5 et on va vérifier la dernière ligne. Donc ça me fera moins 1,5, moins 1,5 de 4 qui va être égal à moins 3, demi. Est-ce que ça marche ? Moins 1,5, moins 2. Donc ici, vous voyez, ça fait moins 1,5 moins 2 et ça doit donner moins 3, demi. Donc il y a une erreur. Vous voyez, parce que ça fait moins 1,5, moins 2, ça fait moins 5, demi. Donc là, on vérifie. C'est très important cette dernière ligne parce que si elle est fausse, c'est que vous vous êtes trompé quelque part. C'est souvent une faute d'inattention. Donc on va relire. Donc je relis, donc b moins 1,5 est bien égal à 3, c'est bien le coefficient que j'ai là. J'ai bien recopié ici les bonnes choses, c'est important ça. Et ici, le coefficient d'excès est bien moins 3, demi. Donc je me suis trompé juste ici. Donc vous voyez, c'est ici que j'ai oublié le moins 2. Donc très important, je laisse l'erreur exprès, parce qu'il faut comprendre que les quatre lignes doivent fonctionner. Si tout marche bien, vous ne vous êtes pas trompé. C'est vraiment une vérification absolue pour cette question de vérification. Donc ici, a égal à moins 2, c'est ceci. Donc b n'est pas égal à 3 plus 1, mais 3 moins 1. Vous voyez, c'est important. Il faut savoir trouver ces erreurs. C'est souvent d'ailleurs des erreurs bêtes, recopies. Déjà aussi, vérifiez que vous avez bien pris le d2x au lieu de f2x. Et donc ici, je trouve b égale 2. Je vérifie. Donc là, j'ai un 2. Ça fait moins 1, demi, moins 1, qui fait bien moins 3, b égale moins 3, demi. Donc les quatre fonctionnent, donc vous n'êtes pas trompé. Ça veut dire qu'ici, on peut dire que d2x se factorise en x moins 1, demi, fois donc a égale moins 2, b égale 2, plus 2x, c égale moins 1. Voilà. La question 3, maintenant le signe. Donc, on va en fait chercher les racines de ce signe. D'accord ? Donc là, je vais prendre, je vais calculer delta, b carré, 4ac, quand il y a beaucoup de moins sur tout, on détaille bien. Donc là, je calcule, alors je vais essayer d'être clair, donc on va aller indiquer racines, on ne sait pas s'il y en a ou s'il n'y en a pas, 2, moins 2x2, plus 2x, moins 1. Donc delta égale ceci, ce qui me fait 4, moins, moins, moins, ça fait moins, fois 4, 8 divisé par 2, ça fait 4, je trouve 0. Donc ça veut dire qu'il y a une racine, on va faire une racine double, qui est x0 égale moins b, donc on va mettre en moins b, sur 2a, sur moins 4. On retrouve encore un demi. Alors là, vous avez plusieurs options, quand on connait bien son cours, et bien on déduit ici que moins 2x2 plus 2x, moins 1, demi, ça vaut moins 2, fois x, moins 1, demi, au carré. Ça c'est la factorisation du cours, quand on a une racine double, ça se factorise en a, fois x, moins x0, au carré. Ça veut dire qu'en fait, dès 2x, regardez, il y a le moins 2 qui est ici, et vous avez x, moins 1, demi, au carré, quand on le remultiplie, ça fait moins 2x, moins 1, demi, au cube. Très classique dans ce genre d'exercice, avec des fonctions de degré 3. Voilà, ça c'est pour ceux vraiment qui auront utilisé la factorisation. Là, le tableau de signe se fera directement pour la plupart des élèves. On va faire 2 lignes. Donc c'est ce que je vais faire. Je ferai quand même le tableau avec une seule ligne ici. Donc on va faire la ligne de x, moins 1, demi. La ligne de moins 2x2 plus 2x, moins 1, demi. Donc je suis entre moins 1, et 3. Vous remarquez qu'il y a 1, demi, donc je vais mettre le signe de d'extérieur. Vous allez voir, c'est différent. Donc le signe, ça va être pour les deux ici, et pour les deux ci. Donc là, j'ai moins plus, ici, parce que ça c'est une fonction à fil de croissance. Ici, j'ai une fonction sur le haut, donc une parabole. Avec une seule racine, donc on a ceci. Le signe, c'est donc moins, moins. Quand on le multiplie, ici, j'ai plus 0. Pour ceux qui ont factorisé avec un cube, le signe d'un cube, donc x, moins 1, demi, donc le cube, c'est croissant, c'est moins 0, plus 1. Le cube, c'est comme ceci. Celui-ci s'annule en 1, demi. D'accord ? Et par contre, il y a un moins 2 qui va changer tous les signes. Ça va être plus 0, 1. C'est pas si simple que ça, il faut le dire. Donc là, on a le signe sur moins 1, 3, positif, nul, puis négatif. Question 4. En déduisant et en expliquant le lien idéalique, la position relative entre cf et t. Donc, pour étudier la position relative entre la courbe de f et la tangente t, il faut étudier le signe de f de x, moins, donc l'expression du membre de droite de la tangente, et je rappelle que la tangente, c'était y, qui égale à 15, 2,000, 2x, moins 9,25. Donc, je vais faire f de x, moins 15, 2,000, 2x, moins 9,25. Ici, je calcule, je dois retrouver d. Donc, je fais tranquillement moins 2x, 3, plus 3x, 2, plus 6x, moins 2, moins 15, 2,000, 2x, plus 9,25. Regardez, moins 2x, 3, plus 3x, 2, ça, ça commence bien. 6, c'est donc 12 sur 2, donc moins 15, ça fait moins 3, 2,000, 2x, moins 2, ça fait moins 4 sur 2, ça fait, donc, effectivement, 8 sur 4, donc plus 9 sur 4, ça fait donc plus 1,25, c'est exactement d de x. Donc, d de x, c'est bien, c'est la différence entre f de x et 15, 2,000, 2x, moins 9,25. Et donc, son signe va nous donner la position entre c, f et t. Donc, sur moins 1, 1,5, ouvert, f de x, moins 15, 2,000, 2x, moins 9,25, et donc, positif strictement. Ça veut dire que f de x est plus grand que 15, 2,000, 2x, moins 9,25, et donc, eh bien, c, f est au dessus, strictement, de sa tangente. Ensuite, sur l'autre côté, donc, f de x, 3, le signe est négatif, donc f de x est plus petit strictement que 15, 2,000, 2x, moins 9,25, donc c, f est en dessous strictement de sa tangente t. Et ensuite, c, f et t se coupent au point d'abscisse 1,5, puisqu'on a un 0.5. Et on a terminé. On regardera ça dans la partie 4, avec le tracé de la courbe, on va revoir toutes ces choses. Alors, on va tracer cette tangente quand même, donc j'ai besoin de la valeur de la fonction encore 1,5, je vais tracer la tangente, donc ce point en demi, c'est 1,5, vous l'avez déjà fait, donc ça veut dire que si je veux tracer cette tangente, il me faut deux points, donc déjà, on a les deux points en demi, 1,5, on va mettre 15, 2,000, 2x, moins 9,25, donc je place, en 1,5, 1,5, et ensuite, en 0, on a moins 2,25. Donc je vais tracer celle-là. Et voici ce que ça donne. Donc vous voyez, j'ai donc ici, les points qui apparaissent, les quatre points qui apparaissent en table, les doubles flèches pour indiquer les tangentes horizontales, alors on a ici notre tangente que j'ai tracée en pointillé vert, avec deux points qu'on a trouvé tout à l'heure ici, que j'avais appelé bêta, c'est les racines, alors ici, si on zoome, la courbe est très près de la tangente, elle ne se coupe pas en alpha, elle se coupe ici, sur ce point-là, qu'on va détailler dans la partie suivante, ce point s'appelle un point d'inflexion. C'est un point très particulier, parce que, si vous regardez bien, la position de la courbe avant la tangente, on a vu que la courbe est au-dessus de sa tangente, et quand on passe ce point-là, la courbe passe en dessous. Vous voyez ? La courbe va traverser sa tangente. Et ça, c'est en mathématiques très important. Sur cette courbe, il n'y a qu'un seul point comme ça, c'est ce point-là. Partout ailleurs, la courbe, ici, ne traversera pas sa tangente. Pour tracer la tangente, la courbe arrive par-dessous et repart par-dessous. Prenons un autre point, ici, si je trace la tangente par-là, vous voyez que la courbe arrive par-dessus et repart par-dessus. C'est le cas quasiment partout dans une courbe. Quand vous êtes sur une tangente, souvent la courbe est du même côté de la tangente, sur une zone localisée autour du point. Ici, c'est complètement différent, vous arrivez par-dessus, vous ressortez par-dessus, ça s'appelle un point d'impression. C'est très important comme point, ça va être l'occasion d'empiéter un peu ce point de terminale sur un chapitre qu'on appelle la convexité, et ça sera la partie, justement, la partie 3. Pour étudier cette fameuse convexité, on peut quand même faire les choses de près, c'est recalculer ce qu'on appelle la dérivée seconde. Pour ça, on va dériver f'x. Je rappelle que f'x, on avait f'x-6x de 2 plus 6x plus 6, ça veut dire que f'x, donc la fonction f'x, c'est ce qu'on appelle une fonction polynomiale. f'x est un polynôme, f'x est une fonction polynomiale, donc dérivable, dérivable sur son domaine de définition. Donc ici, sur son ensemble, son domaine de définition, qui est ici au moins 1, 3, donc pas de problème. Ça veut dire qu'un polynôme, enfin une fonction, vous pouvez la dériver autant de fois que vous voulez, parce qu'en délirant, c'est toujours un polynôme. Au bout de quelques fois, ça va s'annuler. Et donc, on obtiendra f'x 1 pour x appartenant à 1-1. On essaie toujours de donner l'ensemble pour lequel sont valables les choses. C'est pour ça que j'indique qu'à chaque fois, pour x appartient à 1-1, 3. f seconde, donc, on dérive, moins 6 fois la dérivée de 2x, 2x2 qui est 2x, plus la dérivée de 6x qui est 6, la dérivée de 6 qui fait 0, ou alors vous dérivez 6x plus 6 tout de suite qui donne 6, et directement, normalement, on écrit plutôt moins 12x plus 6. On va faire le signe. C'est très simple à faire. D'accord ? Le signe de f seconde, donc la dérivée seconde, c'est-à-dire la dérivée de f prime. Donc, je suis sur moins 1, 3. f seconde de 2x, c'est très simple. Alors attention, c'est une fonction infime décroissante, il y a moins 12, donc ça décroît. Donc, on regarde. Quand est-ce que ça vaut 0 ? Eh bien, c'est très simple, ça fait x égale moins 6 sur moins 12, et on retrouve 1,5, ce fameux 1,5 de la partie précédente. D'accord ? Donc, 1,5, 0, par contre, c'est décroissant donc plus ou moins. Et là, on a donc le signe de f seconde. Le signe de f seconde, parce que si vous dérivez f prime, en fait, c'est f seconde. Donc, le signe de f seconde, c'est le cours qui va nous donner les variations de f prime. Donc, f prime de x va être croissante et décroissante. Exactement. Donc, on a une dérivée qui d'abord augmente toujours, et ensuite diminue toujours. Alors, regardez, ici, j'ai tracé la tangente au point type 6, moins 1, vous voyez ? Donc, la pente est négative. Et ce qu'il va se passer, maintenant, c'est les variations de ces pentes. Quand je déplace mon point, eh bien, les pentes augmentent. Toute la première partie de la courbe jusqu'ici, les pentes des tangentes augmentent. Vous voyez bien, c'est donc la dérivée décroissante, strictement. Quand on arrive à ce point, ce fameux point d'inflexion, eh bien, regardez, les pentes diminuent. Donc, on a une dérivée f prime qui est décroissante. Comme ça, un phénomène en mathématiques, on se retrouve dans un chapitre qui s'appelle la convexité. Sur la partie où les pentes sont croissantes, on dirait que la fonction est convexe. Donc, je répète, vous voyez, à gauche, la courbe est en dessous. Donc, si les pentes descendent, c'est-à-dire que la courbe est au-dessus de ces tangentes. Au point, ici, exactement à 1,5, il y a un changement radical. Et maintenant, les tangentes sont au-dessus de la courbe. La courbe est en dessous, vous voyez. Et donc, je répète qu'à gauche, on dit que la fonction est convexe. Sur l'intervalle 1,5, 3, on dira que la fonction est concave. Vous y étudierez ça bien plus en détail en terminale. Mais sachez que pour trouver un point de réflexion, si la fonction est deux fois dérivable, on va chercher le signe de cette dérive seconde. Ça nous donnera les variations de l'effet qui, elles, nous indiqueront comment évoluent les pentes de la courbe. Et vous voyez qu'on retrouve bien les résultats de la partie. On a étudié la position par rapport à la tangente, donc il n'y a pas de problème avec notre partie. Donc, c'était la partie 2. Voilà, il me reste maintenant la partie 5. J'ai déjà fait tous les tracés. Maintenant, partie 5. Recherche de tangente particulière. Au point de l'abscisse, (-1), de la courbe, la tangente que j'ai appelée t-1 a pour coefficient fp-1 égale à (-6). Montrez qu'il y a un autre point de la courbe pour lequel la tangente est parallèle à t-1 qu'elle est sur l'abscisse. On regarde tout de suite sur notre courbe. Voilà. Alors, je vais préparer une petite animation encore. Là, c'est la tangente au point d'abscisse (-1). Vous voyez, il y a une pente à t-1 de (-6). Et bien, on cherche une autre tangente ou d'autres tangentes qui seraient parallèles à celle-ci. Donc, si j'avais une règle, je vais tracer les parallèles. Est-ce qu'il y a un endroit où il y a une tangente ? Pour l'instant, pas du tout. Ici, par là. Ici, certainement. Bon, il semble qu'on ait une tangente qui soit parallèle. Il n'y en a qu'une seule. Ça, bien sûr, faut la calculer. Ça a l'air d'être au point... Je vais placer ce point. Ça a l'air d'être au point d'abscisse. Au point d'abscisse (-2). Il ne s'est pas placé au bon endroit. Effectivement, il semble bien que la tangente en 2 soit parallèle à la tangente en (-1). On va aller vérifier ça. On ne dit pas tangente en 2. On dit tangente au point d'abscisse 2, pour être très rigoureux. Donc, voilà. Ça, c'est le dessin. Maintenant, on va faire le calcul. Il va falloir trouver les endroits où la dérivée vaut (-6). C'est-à-dire que la dérivée en 1 ici, doit être la même que là. Ça, c'est une petite équation. On va juste résoudre. On résout sur un terrain de (-1,3). On résout, bien sûr, avec un T. fprime de x égale (-6). Donc, fprime, ça faisait (-6x2 plus 6x plus 6 égale à (-6). Donc, on va tout mettre du côté droit. On aura pris le moins d'avant. Ça fait 6x2 moins 6x moins 12. Donc, vous voyez qu'on divise par 6. Ça fait x2. C'est une équation. Donc, je peux diviser par 6 sans problème. Ce n'est même pas à peine de factoriser. On divise. On fait ceci. Et on va résoudre cette équation du second degré. Très simple. Δb² moins 4 fois 1 fois moins 2, ce qui fait 9. De toute façon, on sait que déjà, il y a une solution en (-1). Puisque fprime de (-1), vaut (-6). Donc, deux solutions. x1 égale moins b, moins 6, moins racine de 9. Donc, ça fait 2a. Ça fait moins 12. Pardon, j'avais pris un a qui était égal. Excusez-moi, j'ai pris la mauvaise équation. Attention, vous voyez là, j'ai pris les coefficients avant la simplification. Il faut que je prenne ceux-là. Donc, moins b, ça fait 1. Moins 3 sur 2, on retrouve bien moins 1. On retrouve moins 1. x2, 1 plus 3 sur 2, ça fait bien 2. Il y a un autre point. Ce point, il a pour abscisse 2. On le rappelle peut-être sur sa copie que fprime de (-1), c'est la pente de t moins 1. Et donc, on trouve fprime de 2 qui est égal à fprime de (-1). C'est la seule autre solution. Donc, l'abscisse cherchée, c'est 2. Et on a terminé ce joli exercice. Si vous savez faire ça vraiment en première, vous êtes déjà vraiment dans les bonnes conditions pour aborder la terminale. Voilà, j'espère que ça vous a plu. Je vous souhaite une bonne fin de journée et à bientôt.