Terminale Maths Expertes-Arithmétique et congruence-Exercice 73 p 154 Nathan Hyperbole -

bonjour à tous aujourd'hui les congruences avec une égalité à démontrer modulo 7 donc on va montrer que pour tout antinaturel N et bien N 7 + 6n est congru à 0 modulo 7 assez rapide mais assez intéressant première chose à faire quand on a une chose à démontrer c'est d'essayer déjà de simplifier modulo 7 les nomes présentsci sont pas très gros mais par exemple N7 + 6n on pourrait remplacer le + 6 par UN1 parce qu'effectivement moin on va écrire 6 d'abord 6 est congru à - 1 moduo 7 donc ça veut dire que ici on a compatibilité avec la multiplication et bien on peut remplacer ici le 6 par un-1 et comme il y a la compatibilité avec les additions ça dire que ça c'est congru à N puissance 7 Mo Z donc modulo 7 important c'est pas forcément ici indispensable mais si vous avez comme ça des gros coefficients on peut en fonction du mode réduire la taille de ces nombres donc on va faire ça avec donc avec - 1 + 6 ça fait déjà une multiplication en moins à faire et on a besoin après d'aller chercher les puissances de N donc les les la puissance 7 de N donc comment procède-t-on pour faire ça bien on va procéder par disjonction selon les valeurs de n modulo 7 donc on va faire un tableau avec une première ligne qui contiendra les valeurs de n donc moduo 7 et une deuxième ligne qui dans lequelle on calculera n puissance 7 donc modulo 7 et donc modulo 7 7 valeurs possibles ce sont les si on veut les valeurs les plus simples ce sont les restes par la division qui viennent par 7 donc 0 1 2 3 4 5 et 6 le 7 évidemment correspond au 0 comme d'habitude on va éviter d'avoir recours à la calculatrice donc on va tout calculer à la main comme ça ça apprend aussi à simplifier un des nombres modulo 7 donc ici 0 pu 7 ça fait 0 il y a pas de problème 1 puiss 2 7 déjà le nombre de puissance 7 on le connaî on est sur ici 128 puisque 2 6 c'est 8 x 8 donc ça fait 64 donc c'est 128 alors vous pouvez faire ça 128 sachant que 128 c'est 140 12 je r sinon fait ça intutivement que 2 7 c'est con à 12ord et donc si je rajoute 14 bien ça veut dire que 2^ 7 c'est congru à 2 modulo 7 donc le meilleur chemin pour y aller c'est donc de dire que ici on a 100 alors ici j'enlève 2 x 14 ça fait donc du 126 + 2 et ça c'est donc 9 x 14 + 2 donc vous voyez bien que c'est Condé à 2 donc j'ai déjà fait le 2^ 7 vous voyez sans calculatrice alors après on peut procéder vraiment de plein de méthodes hein pour 2^iss 7 on a dit c'est donc 8 x 8 x 2 8 x 8 x 2 mais modulo 7 bien 8 vaut 1 8 vaut 1 donc vous voyez que ce produit il vaut 2 d'accord c'estàd que directement avec ceci 2^ 7 est congru à 2 module 7 maintenant on s'attaque à 3^ 7 alors je ne vais pas le calculer hein on va 3^ 7 je propose par exemple de passer par 3 au³ c'est 27 donc ça fait 3³ X 3³ X 3 donc c'est 27 x 27 x 3 et là on va tout passer module au 7 donc modu 7 27 donc on est à 20 alors 28 c'est donc 27 modulo 7 donc je suis tout près 28 donc ça c'est -1 donc mon nombre vaut module 7 - 1 x -1 x 3 et ça ça fait 3 ça veut dire que donc 3 pu7 est congru à 3 modulo 7 vous auriez pu aussi passer par des puissances 3 au carré donc c'est 9 3 car x 3 car x 3 car x 1 et là vous voyez chaque 9 on va le remplacer par 2 donc ça fait 2 x 2 x 2 x 3 là vous avez 8 qui est congru à 1 donc 1 x 3 on retrouve bien le 3 alors maintenant on attaque 4^iss 7 alors il y a plein de façons de le faire je vais commencer tout de suite par la plus astucieuse c'est l'usage des nombres négatifs parce que et bien 6 moduo 7 vous auriez pu mettre -1 5 c'est aussi - 2 et 4 c'est aussi - 3 et l'avantage de - 3 c'est que c'est l'opposé de 3 donc 4^ 7 il est congru donc à - 3 mod 7 puisque 4 et - 3 sont congru d'accord et donc ici l'avantage c'est que - 3^ 7 le moins va sortir c'est con à - 3^ 7 d'accord et on a dit que Mo que 3^ 7 c'était congru à 3 donc ça veut dire que 4^ 7 est congru à donc ici 3 moduo 7 mais 3 c'est 4 vous voyez qu'ici on retrouve 4 sans aucun nouveau calcul alors faut quand même signaler les autres façons de le faire une belle façon de le faire c'est avec les puissances de 2 4 c'est 2^ 2 j'obtiens 2^iss 2 puiss 7 pour l'instant je suis en égalité classique ça fait 2 la puiss 2 x 7 que je peux inverser 2^ 7 x 2 et je réutilise la même formule 2 puiss 7 au carré et donc regardez 4^iss 7 est congru donc à 2^iss 7 au carré modulo 7 mais 2^ 7 on a dit que ça faisait 2 donc 4^ 7 est congru donc à 2 au carré qui fait 4 module 7 vous voyez comme c'est joli al après si on a pas d'astuce on peut quand même 4^ 7 et bien on va écrire 4 alors on va le grouper par de par 4 x 4 16 donc je peux dire que 4^ 7 c'est 4 car x 4 car x 4 car x 4 c'est pas non plus ultra long vous allez voir 16 modu 7 ça fait 2 donc là j'ai 2 x 2 x 2 x 4 donc il faut 7 et donc 2 x 2 4 x de 8 b 8 ça vaut 1 donc il me reste le 4 encore une fois toutes les méthodes sont bonnes à signaler la plus rapide étant celle qui utilise le - 3 parce qu'il y a aucun nouveau calcul et justement pour 5 puiss 7 on va utiliser le - 2 donc 5 al je vais mettre en un peu plus haut 5 pu 7 et donc congru à - 2^iss 7 modulo 7 donc le moins va sortir c'est une puissance impaire ça fait - 2^ 7 Mo - 2 pu 7 était donc à 2 enfin 2 pu 7 donc ça me fait - 2 et donc - 2 ça fait 5 on retrouve exactement en très peu de lignes après d'autres façons de faire on pourrait utiliser le fait par que 5 puiss 7 c'est donc 25 x 25 x 25 x 5 j'ai mis 7 facteur 5 j'en ai groupé par 2 donc modio 7 ça va donner quoi alors 25 ça fait 21 donc 4 mod 7 4 4 x 5 donc après on regarde comme ça grouper chacun assez rapidement 4 x 4 donc ça fait 16 mod 7 ça fait 2 4 x 5 20 ça fait -1 d'accord donc ça me fait - 2 modulo 7 et - 2 modulo 7 c'est encore 5 voilà voyez tous les chemins mèent à et maintenant le dernier le plus simple finalement parce que si utilise MO1 il est instantan c'est que cette dernière colonne ça sera on va utiliser directement celle avec un N é= 1 donc 6 à puiss 7 sera congru à 1 puiss 7 modu 7 le moin sort ça me fera 1 pu 7 7 ça fait directement sur instantané 1 puiss 7 c'est 1 donc ça fait 6 donc est vraiment instant on va essayer vraiment s'en rappeler de cette technique parce que justement elle utilise tout de suite la colonne avec le N é= 1 d'accord puisque ça sera celle avec le moins et l'avantdernière on pourra utiliser le - 2 ça reste des petits nombres donc exercice intéressant pour les méthodes qu'on est en train de mettre en place et donc dans tous les cas effectivement on remarque que donc on vient de montrer donc et bien n^ 7 n est donc toujours congru donc pardon n puiss 7 est donc con n modu 7 donc ça veut dire que N pu 7- n est congru à 0 module 7 et comme on a dit que c'était la même chose donc n^ 7 + 6n est donc conclru à 0 module 7 l'exercice est terminé voilà très bientôt