Démonstration par récurrence - Term. Spé

Je te montre comment faire une démonstration par récurrence avec un exercice tombé au bac. Allez viens ! Donc on te pose la suite UN définie comme ça UN plus 1 égale 1,5 de UN plus 1,5 de N plus 1 et on te donne évidemment le premier terme U0 égale 3. Question, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel N UN est compris entre N et N plus 3. Et le plus important quand tu fais une démonstration par récurrence c'est de garder la structure initialisation, hérédité et conclusion. Et ben c'est parti ! Et le deuxième plus important c'est la rigueur quand tu fais cette démonstration. L'initialisation c'est pour le premier terme. Le premier terme c'est quoi ? Ah oui, on m'a dit pour tout N appartenant à N donc c'est pour N égale 0 ou plutôt pour le premier rang. Quand N égale 0, qu'est-ce qu'on doit démontrer ? On doit démontrer que ce truc là est vrai quand N égale 0. Donc qu'est-ce que tu vas démontrer ? J'écris mais tu ne mets pas sur ta copie en fait. Nous on doit démontrer que U0 est entre 0 et 0 plus 3. Ça il faut que tu le vois mais on ne l'écrit pas en fait. Nous on va juste dire, ah oui c'est vrai. Pourquoi ? Parce que regarde, quand N égale 0, U0 c'est égal à 3. Question pour toi. Est-ce que 3 c'est entre 0 et 3 ? Et ben oui ! Inférieur ou égal. Donc on peut dire quand même 3 égale 3 on peut écrire que ce truc là est vrai. Ah oui ! Donc on a bien U0 qui est entre 0 et 0 plus 3. Ça paraît tout bête mais l'initialisation il faut quand même lui accorder un peu de temps pour l'écrire de la bonne manière. Tu fais de manière innocente. Ici U0 égale 3 et comme par hasard 3 c'est bien entre 0 et 3. Cool ! Hérédité maintenant. Et c'est là où il faut être super vigilant sur la rigueur. Attention à ne pas écrire de bêtises. Hérédité, regarde. Moi j'écris soit N super haut égal à 0 fixé. En fait dans l'hérédité c'est pour un N au pif fixé. C'est pas pour toute N. Le pour toute N c'est à la conclusion. Dans l'hérédité je répète, t'en prends un au hasard. C'est pour ça moi j'aime beaucoup le mot fixé. Ou soit. Finalement c'est un peu synonyme. D'accord. On va supposer un truc et on va devoir démontrer quelque chose. Qu'est-ce qu'on suppose ? Ce qu'on appelle HR, l'hypothèse de récurrence. En gros tu vas supposer que ton truc est vrai pour ce N là. Donc on va supposer que N, voilà comme ça, que UN est entre N et N plus 3. Et donc qu'est-ce qu'on va devoir démontrer ? Parce que c'est ça l'hérédité, c'est qu'on va devoir démontrer ce truc là. Il faut montrer que ça c'est vrai au rang suivant. Quand N devient N plus 1. Donc tu dois démontrer que UN plus 1 c'est entre N plus 1 et... Attention ! Lui il devient N plus 1. Je vais directement. N plus 1 plus 3, N plus 4. Voilà. Maintenant tu as tout entre les mains. Ça c'est ton arme. Tu l'as supposé vrai. Ta deuxième arme c'est l'énoncer quand même tu vois. Allez montre ton truc. Comment est-ce qu'on fait ? Évidemment c'est à la première étape que les élèves bug. Mais par où je commence ? Je vais te donner un conseil officieux mais qui est pas mal. En fait quand tu veux démontrer une égalité, tu pars de l'énoncer. Égalité, énoncer. Mais quand tu veux démontrer une inégalité, c'est bien de partir de l'hypothèse de récurrence. Inégalité, hypothèse de récurrence. Et bien je pars de là. Donc d'après l'hypothèse de récurrence, UN c'est entre N et N plus 3. Ok. Maintenant tu sais que tu dois partir de là. Est-ce que tu vois comment arriver à tes fins ? En fait à la fin je veux UN plus 1 au milieu quoi. Mais c'est qui UN plus 1 ? Ah oui il est ici. Ah ouais ! Donc est-ce que tu vois ? En fait il faut reconstituer UN plus 1. Donc il faut reconstituer ça. Et donc tu vas y aller de proche en proche. Regarde. Là tu as UN entre les mains. Et le rêve c'est que tu comprennes que ce UN là, en fait celui-là c'est le même tu vois. Là tu es ici. Comment tu fais pour reconstituer tout le monde ? Tu vois on va y aller étape par étape. Première étape qu'est-ce qu'on va faire ? Tu as UN. On va en faire fois un demi. Comme ça on sera là. Ok. Une fois que tu as fait fois un demi, qu'est-ce que tu fais ? Tu feras plus un demi de UN. Ok. Et à la fin tu feras plus 1 étape par étape. Et tu auras reconstitué UN plus 1. Et tu le prises très fort que gauche à droite, tu as un truc qui ressemble à ça. Allez c'est parti. D'abord on fait fois un demi. Un demi étant un nombre positif, j'ai le droit de multiplier par un demi chacun des membres sans changer le sens de l'inégalité. Ensuite qu'est-ce qu'on fait ? On a dit qu'on va ajouter, on va faire plus un demi de UN à tout le monde. Encore une fois aucun problème. J'ai le droit d'ajouter un même nombre à tout le monde. Bon là on va commencer à réduire un peu. Un demi de UN plus un demi de UN, combien ça fait ? Un demi plus un demi ça fait 2 sur 2 ça fait 1. Donc ici à gauche ça fait juste N. Un demi plus un demi ça fait 1, 1N. Donc j'ai N. Au milieu j'ai un demi de UN plus un demi de N. Ça commence à sentir bon. Garde en tête, il faut reconstituer tout le monde. Et là c'est la partie embêtante. Je ne l'ai pas fait mais il est temps de transformer. On n'aime pas, t'aimes pas, mais il faut le faire. Qu'est-ce que ça fait ? Je vais le faire ici, comme ça on mettra directement la réponse. Un demi on développe, ça fait N sur 2 plus 3 demi plus un demi de N. Ou pareil N sur 2, ce qui est pareil. Je l'ai écrit autrement. N sur 2 plus N sur 2, c'est le même calcul. Un demi plus un demi ça fait 1. Donc ça fait 1N, donc N plus 3 demi. Prends ton temps sur les petits calculs comme ça. Et maintenant montre-moi que je te l'ai bien amené. Une fois qu'on est là, qu'est-ce qu'on va faire ? En fait ton but sur Terre c'est de montrer ça. Voilà ce que tu dois démontrer, ce truc-là. Et je t'ai dit pour avoir UN plus 1 au milieu, on va le reconstituer en partant de UN. On faisait les transformations successives. Donc là on est ici. Donc ultime étape, on fait plus 1 à tout le monde. Et donc voilà ce qu'on obtient. Dis-moi que tu remarques quelque chose. Tout le but de la manœuvre c'est pour obtenir UN plus 1 au milieu. Regarde, j'ai obtenu UN plus 1. Et je peux dire que à gauche j'ai N plus 1. Et à droite, c'est quand même un petit calcul. 1 c'est 2 sur 2, donc je vais y aller directement. 1 c'est 2 sur 2, donc ça fait N plus N plus 5 demi. Maintenant tu lèves les yeux. Moi je devais démontrer quoi ? Ça. Ok, à gauche c'est bon. Au milieu c'est bon. Mince ! Eux ils veulent ça, moi j'ai ça. On a gagné ou on n'a pas gagné ? Le rêve c'est que tu vois qu'on a gagné. Parce que 5 demi au cas où, 5 demi c'est 2,5. Toi tu as prouvé que UN plus 1 était plus petit que N plus 2,5. Toi c'est ce que tu as prouvé. Peut-on dire que c'est inférieur ou égal à N plus 4 ? Bah oui on peut le dire. Imagine que tu as moins de 40 ans. On peut dire que tu as moins de 50 ans. C'est nul mais c'est vrai. Tu comprends la différence. Nous on a montré ça. On peut dire que c'est inférieur ou égal à N plus 4. Et là on a précisément démontré ce qui était demandé. Ça c'est l'hérédité que tu dois absolument maîtriser. Et en vrai celui-là est plutôt accessible. Mais ce n'est pas terminé. Il faut la conclusion. En fait la conclusion c'est un peu une non-étape. Elle est obligatoire mais il suffit de le dire. D'après le principe de récurrence, on a bien montré que pour tout N appartenant à N, UN est entre N et N plus 1. En gros tu réécris un peu les noms. Retire bien toutes les méthodes pour la récurrence et surtout cette stratégie. J'espère que tout est clair.