LOGARITHME - ENSEMBLE DE DÉFINITION

l'objectif ici est de devenir imbattable sur l'ensemble de définitions de la fonction logarithme allez viens je te dis tout ln2x grande nouveauté terminale c'est une fonction qu'on n'ime pas trop au premier abord et en plus on la voit pas mal donc autant bien s'habituer et une de ces particularités elle en a plusieurs la fonction logarithme c'est son ensemble de définition parce que pour avoir le droit d'entrer dans ln faut être positif et même strictement positif ln ne prend que des nombres strictement positif et c'est pour ça que l'ensemble de définition de la fonction ln x c'est 0+ l'infin 0 exclu mais là c'est facile dans le ln il y avait que X donc oui tu dis bah x positif on a gagné d'accord mais dans le ln tu auras pas que X enfin souvent au début mais après tu auras des expressions plus compliquées surtout quand la question est trouve l'ensemble de définitions et c'est pour ça que j'insiste pour exister ce qu'il a dans le ln doit être strictement positif voilà comment tu le retiens et on pourrait l'écrire comme ça ln de a existe si seulement si a strictement positif on l'applique tout de suite et donc voici les quatre fonctions dont on va déterminer l'ensemble de définitions donc soit la question peut tomber comme ça bonjour une fonction trouve l'ensemble de définition soit en fait de manière un peu plus sournoise tu as une équation ou une inéquation à résoudre et on te le dit pas qu'il y a ensemble de définition donc tu l'as fait et tu peux tomber dans le piège c'est ça que j'ai bien le mot exister tu vas plus fort que tout pour exister une condition donc ne fais rien trouve DF l'ensemble définition et ensuite entre dans l'exercice on commence avec la première pour F Dex comment on va s'y prendre en fait il me faut la condition s'il te plaît traduis toujours en terme de conditions pour exister donc F existe si est seulement si quoi il faut qu'on ait quoi ce qu'il y a dans le ln doit être strictement positif et pas juste x tu attrapes x + 3 et tu dis c'est lui qui doit être strictement plus là tu avais que X c'est ce que je t dit c'était gratuit quasiment là non c'est pas gratuit tu as une expression faudra se battre un petit peu bon là la bataille elle est quand même courte non x + 3 positif pour X plus grand que 3 et ben voilà cette fonction existe si seulement si x est là autrement dit DF ég quoi et ben je dois être plus grand que - 3 donc je pars de - 3 et je m'arrête à plus l'infini l'infini je prends jamais et - 3 non plus parce que c'est strictement pour G Dex quelle est la condition d'existence bah tout ce qu'il y a dans le ln doit être strictement positif donc tu attrapes tout le 2- x donc c'est 2 - X qui doit être strictement positif et ben c'est parti on va résoudre elle est un peu moins sympathique que tout à l'heure x d'un côté nombre de l'autre je laisse X à gauche strictement plus grand que - 2 il faisait + 2 il devient - 2 maintenant attention moi je veux donc il y a plusieurs façons de voir les choses moi personnellement je vois x comme 1x donc on va diviser par -1 d'accord - 2/-1 mais tu sais aussi bien que moi que quand on divise par un nom négatif on change le sens de l'inégalité donc ça fait x plus petit que 2 bah voilà quel est l'ensemble de définition ah oui j'existe j'existe avant 2 ah oui donc DG ensemble définition de G bah c'est tous les nombres avant 2 donc c'est de moins l'infini jusqu'à 2 borne ouverte et donc tu vois petit point de situation bah ici la fonction G elle existe bah quasiment que pour des valeurs négatives tu vois elle existe ok entre 0 et 2 mais surtout pour des valeurs négatives donc souvent quand les élèves disent oui pour que ln existe x doit être positif faux ce qu'il y a dans le ln doit être positif et après bah ça dépend de ce qu'on trouve les deux suivantes c'est les deux préférés des prues de math pour deux raisons différentes ici parce qu'il y a deux ln donc il y aura un petit travail à faire que parfois les LM n'aiment pas et ici tu as repéré bah dans le ln il y a bah un trinôme du second degré donc on va refaire Delta bah oui trouver le signe d'un truc qui ressemble à ça c'est avec Delta donc tu vois le prof de math il est content on commence par celle-ci ah ici il y a deux ln donc il y aura pas une mais deux conditions d'existence donc la fonction h existe c'est seulement si quoi et bah ce ln doit exister donc d'abord x - 4 strictement positif mais il y a un deuxième ln lui aussi il doit exister donc lui aussi il impose une condition quelle est la condition pour ce deuxè ln bah c'est x - 7 qui doit être strictement positif et là en fait faut pas se tromper c'est je veux les deux conditions en même temps parce qu'il y a deux ln chaque dit moi je veux ça moi je veux ça donc je veux les deux comme ça les deux sont contents ils existent et donc c'est pour ça qu'on met un e c'est un e de à la fois je veux à la fois ça et ça et ça te rappelle rien quand je veux en même temps les deux c'est l'intersection voilà je dit un petit élément de logique qui se cacha derrière la h donc je veux à la fois ça et ça donc on va résoudre les petites inéquations donc en fait le prier ln il impose que X doit être plus grand que 4 et le 2è ln il impose que X doit être plus grand que 7 maintenant question à 1 million bah quelle est l'ensemble de définition à partir de quelle valeur tout le monde est content à partir de quelle valeur h existe tu peux réfléchir pendant que j'écris des h égal on va douit où faut pas se tromper en fait quiit à restreint l'intervalle il faut que tout le monde soit là je t'ai vachement aidé en mettant l'intersection Fall comprendre seul en fait si tu pars de 4 lui il est content tu vois imagine tu pars de 4 lui ça va il est content mais lui il est pas content il n'existe pas lui c'est que à partir de 7 qu'il existe avant il existe pas donc si tu parles de 4 p il a 5 et bah non 5 - 7 ça ferait - 2 c'est pour ça que s'il y a ça tu prends le plus petit intervalle qui contient tout le monde donc ici c'était 7 plus l'infini et la dernière même si j'étais un peu spoilé la marche à suivre comment est-ce qu'on va faire bah ça va pas changer ln existe si est seulement si ce qu'il a dans le ln est et bah strictement positif donc voilà la condition d'existence comment est-ce qu'on fait pour résoudre ça comment est-ce qu'on fait pour trouver le signe d'un trinôme parce que je te rappelle résoudre plus grand que zé c'est à peu près le même concept que trouver le signe de l'expression donc pour trouver le signe d'un trinôme on fait Delta je suis vraiment adorable je te rappelle l'expression delta b² - 4 AC ici a le coefficient devant x² il vaut - 1 celui devant X il vaut 5 et celui cap de X c'est - 6 donc que V delta b² - 4 AC tu prends le 5 que tu élèves au carré 4 x a X c - 4 x -1 x - 6 3 sigou moins donc ça fait moins moins combien 24 donc finalement Delta = 1 qui est un nombre strictement positif te trompe pas sur Delta là il y avait beaucoup de moins qu'est-ce que ça veut dire Delta positif bah ça veut dire qu'il y a deux solutions X X2 et il y aura une certaine règle pour le SIG ne perd pas de vue ce qu'on fait je t'ai même remis la formule pour calculer X1 la première solution b - r√ delta/ 2A donc qu'est-ce que ça donne B il vaut 5 donc B on a - 5 √ Delta bah √1 ça fait 1 sur 2A attention 2 x -1 ça fait - 2 donc Delta il va aller 1 √1 ça fait bien 1 donc finalement après simplification on trouve que X1 = 3 parce qu'on avait - 6/ -2 - 6/ -2 ça fait bien plus 3 et la deuxième solution en fait je récris pas la formule parce que c'est tout pareil juste le signe du milieu qui change c'est pas - B- RAC mais - B + racine donc tu regardes juste ici et tu changes le moins du milieu en plus voilà donc toi ton cerveau il réfléchit une fois sur deux - 5 + 1 on est à - 4 sur - 2 pardon tu vois je - 5 + 1 on a - 4 - 4/ - 2 on est à 2 pourquoi on a calculé X1 X2 en fait parce qu'en fait on cherche le signe de ce trinô là moi je veux que ce trinôme soit strictement positif pour qu'il puisse entrer dans le ln et Delta va m'offrir le SIG on met tout de suite dans un tableau et je t'ai attendu pour le compléter alors où on parle X se balade de moins l'infini à plus l'infini on met les deux valeurs remarquables qui sont les deux racines du trinôme ça veut dire quoi racine ça veut dire en 2 et en 3 le truc il vaut zéro mon polynôme vaut 0 ok maintenant les plus et les moins B sais que moi jusqu'à présent je me récite la règle dans la tête pour compléter un tableau et en fait moi je sais que toi aussi d'ailleurs quand delta est positif le trinôme est du signe de A à l'extérieur des racines ok donc lui là il est du signe de a ah oui donc moins du signe de a c'est comme -1 donc le trinô est du signe de A à l'extérieur des racines moins et moins comme a qui vait ins1 et donc à l'intérieur c'est plus et ben voilà qu'est-ce que je veux déjà ah oui quand est-ce qu'il est plus et ben c'est ici ah ouais donc finalement en fait tu vois cette fonction elle existe que sur un tout petit intervalle sur l'intervalle de 3 et donc voilà comment est-ce qu'on note l'ensemble de définition de la fonction i c'est l'intervalle 2 3 toujours borne ouverte donc là tu as eu un panel assez complet en fait des ensembles de défis pour les fonctions logarithme très puissant à maîtriser et on le vérifie tout de suite parce que maintenant c'est à toi de jouer je te mets un exercice qui parle d'ensemble de définition montre-moi que je t'ai bien expliqué que tu as retenu je compte sur toi