RÉSOUDRE x√x = x + √x

dis-moi que tu as réussi dis-moi que tu as réussi à résoudre cette équation là allez viens on y va elle est accessible et fait appel à pas mal de réflexes qu'on voit énormément sur la chaîne voilà pourquoi j'espère que tu as réussi l'équation à résoudre X √x = X + √x on t'embrouille avec X √x nous on garde la tête froide et on va aller plutôt rapidement tu vas voir juste comme il y a une racine carrée il faut s'assurer que bah cette équation existe qu'elle a un sens sous la racine il a juste x donc la condition d'existance c'est que X doit être positif ok maintenant que c'est dit on va entrer dans la résolution ce qui en mettant c'est ici tu as fois tu as plus on peut quoi éventuellement mettre tout le monde d'un côté c'est de factorisé mais très vite on va être bloqué et en fait il y a un refrain que je répète beaucoup surtout aux premières quand on fait Delta en fait il y a un truc qu'on appelle le changement de variable toi tu connais parce qu'on fait tout le temps sur la chaîne mais pour les premières c'est nouveau et donc je dis en fait si dans une équation tu vois une chose et son carré pense à un changement de variable si je te mets X4 et X2 bah un truc et son carré pense à un changement de variable si je te mets ça un truc et son carré pense à un changement de variable et cette équation là c'est plutôt pour la fin de première un truc est son carré parce que E de 2x c'est bien le carré de e de X et dans tous les cas ici si tu poses ton changement de variable et ben l'équation devient t² + 3T - 1 = 0 parce qu'à chaque fois je t'ai mis la même équation mais je me rends compte que je t'ai pas mis celle qui nous concerner ce serait celle-là parce que regarde tu as bien un truc et son carré bah oui x c'est le carré de racine carrée et ben voilà en fait ici donc ils sont certes plus nombreux qu'ici mais tu as bien un truc ets sont carré donc si on faisait un changement de variable on nurait pas la racine carrée qui nous gratte le dos on aurait des t²r et t²r c'est plus simple non donc si on pose t = √ x que dev l'équation bah x c'est son carré ce qu'on dit DEP tout à l'heure donc ça fait t car X et ben r√ x c'est juste t donc t² x t é= encore une fois t² + T d'accord ça c'est T et donc x c'est son carré donc t² et là on y va plus clair quand même et même on peut faire ce petit calcul t² x t bah ça fait t³ alors que tout à l'heure on pouvait rien faire enfin on pouvait faire un truc mais qui était encore plus moche donc ça fait t³ é= t² + T bah là on va fa passer tout le monde d'un côté et une fois qu'on a rapatrié tout le monde à gauche qu'est-ce qu'on va faire on factorise tu vois ça te saute aux yeux il y a que trois termes tout le monde a du T c'est cool donc on peut factoriser ça fait t facteur de quoi allez le squelette ça fait longtemps moins moins ici il reste donc juste t au Carr ici juste T et ici il reste 1 et ben voilà équation produit nul ça veut dire que T = 0 ù bah toute cette équation du second degré é= 0 t - 1 = 0 faut pas se tromper entre T et 1 en fait T = 0 on l'avait quelque part déjà peut-être elle était visible parce que enfin dès ici quand je dis résoure cette équation peut-être tu peux me dire ah bah oui ça se voit zéro est solution bah oui on le remarque bah si X vaut 0 d'ailleurs c'est licite hein on a 0 à gauche 0 à droite pas de souci donc finalement cette première T = 0 bah ça veut dire que x = 0 enfin en théorie √ x = 0 donc x = 0 bref celle-là est pas intéressante on l'ait c'est celle-ci qui nous intéresse normalement ça va aller aussi euh équation du second degré pas forcément de racine évidente donc on calcule Delta Delta c'est c'est b² - 4 AC je vais y aller directement B c'est -1 -1 au Carr on est à 1 - 4 x 1 x -1 2 x Mo ça fait plus + 4 donc finalement Delta = 5 qui a un nombre positif il y a bien de racines deux solutions dans l'ensemble des nombres réels la première c'est B √ delta/ 2A B c'est -1 donc - B ça fait 1 - √5/ 2 x 1 ce qui fait 2 et la seconde c'est tout pareil juste bah le signe du milieu qui change donc ça fait 1 + √ 5 sur 2 et donc voilà c'est terminé j'ai bien mes deux solutions pas tout à fait parce que T c'est pas la vraie variable t c'est la variable tampon la vérité c'est en X mon équation elle est en X donc il faut que je remonte vers x qu'on est d'ailleurs fait un peu ici donc je pense que tu l'avais en tête donc il faut se poser la question mais qui était au fait t c'est √ x ah oui donc j'ai trouvé un candidat pour t maintenant il faut que je trouve X et comme t en fait c'est √ x ben je dois résoudre √ x é= Ce truccl là ou r√ x é= l'autre candidat et donc pour chercher la valeur de x et là maintenant question pour toi comment je passe de racine de X à X parce que c'est x que jeux attention on répond pas tout de suite pourquoi parce que j'appelle ça des candidat regarde s'il te plaît racine d'un truc doit être égale à 1 -√5/ 2 en fait quand je fait un changement de variable la beauté pour un prof de math c'est qu'il est une des deux solution qui ne fonctionne pas et donc c'est à toi de te poser la question pour voir quel candidat on va rejeter c'est pas toujours le cas mais c'est souvent ici le premier pourquoi ça fait quoi √5 moi je sais pas exactement combien ça fait mais c'est plus que 1 parce que 1 c'est √1 donc comme dans la racine tu as plus que 1 et ben en fait bah c'est un nombre négatif √5 c'est 2 et quelque donc ce nombre là est négatif je suis en train de te dire e racine de combien me donne un nombre négatif il y a pas il y a pas donc finalement là il y a pas de solution d'accord RAC x est un nombre positif donc pas de solution en revanche ici tout va bien 1 + √5/ 2 c'est bien un nombre positif comment aller chercher x bah on va élever tout le monde au carré moi mon but c'est avoir x é=al donc pour avoir X = il faut que j'élève tout le monde au carré donc ça fait 1 + √5/ 2 le tout au carré donc voilà j'ai trouvé la valeur de x c'est pas très joli on va un petit peu simplifier les calculs donc qu'est-ce que ça donne déjà quand tu as une fraction au carré tout le monde prend du carré donc en bas ça fait 4 et en haut ça fait 1 + √5 au carré pour la beauté du geste on va pousser un peu parce qu'en haut c'est une identité remarquable donc oui on va développer A + B au Carr qu'est-ce que ça donne bah ça donne a au carré autrement dit 1 + 2 x a x B 2 x 1 x √5 donc + 2√5 + b² √5 au² ce qui fait 5 on va pousser les calculs parce que 1 + 5 ça fait 6 donc ça fait 6 + 2√5 le tout sur 4 et on peut encore faire un dernier truc parce que en haut tout le monde est per tout le monde est dans la table de de qu'est-ce que ça va donner dis-moi on fait souvent maintenant sur la chaîne en fait simplifier ce truc deux possibilités soit tu comprends qu'on va sinder en de la fraction pour simplifier tout le monde par de soit en fait en factorise bah le numérateur par de donc dans tous les cas moi je vais le faire directement en fait tout le monde je simplifie tout le monde par de donc en bas ça fait 2 et en haut qu'est-ce que ça fait 3 + √5 ok voilà comment est-ce qu'on simplifie par 2 une fraction comme ça et ben voilà donc finalement ça c'est la seule solution oui il y avait x = 0 mais celle-là on l'avait directement c'était pas la plus intéressante c'était celle-ci qu'il fallait chercher x = 3 + √ 5/ 2 et aussi 0 j'espère que ça t'a plu