ÉQUATION ❷ LOGARITHME : 2lnx = ln(x-2) + ln(x-3) - Term Spé

on va résoudre une équation avec du logarithme mais soit bien rêvé il y a un piège qui se cache allez viens l'équation à résoudre 2 ln x = ln x - 2 + ln de X - 3 tu vois elle a l'air plutôt anodine comme ça équation avec du ln comme on en retrouve partout dans les livres et au contrôle donc normalement on peut gérer sauf que bien souvent on oublie la première étape avant de résoudre une équation qui a cette tête là quelle est-elle cette première étape bah c'est trouver l'ensemble de définition parce que dès que tu as du ln hop attention toutes les alarmes s'allument ln son ensemble définition c'est pas r tu peux pas lui donner ce que tu veux quelle est la condition pour entrer dans le ln comment est-ce qu'il faut être bah faut être strictement positif donc à chaque fois que tu as du ln tu te poses et tu dis attends lui pour qu'il existe qu'est-ce qu'il faut dans ce ln il y a juste x donc ici la condition c'est x strictement positif mais il y a un autre ln dans ce ln qu'est-ce qu'il y a il y a x - 2 donc ce ln qu'est-ce qu'il impose comme condition bah il impose x - 2 strictement positif c'est tout ce qu'il y a dans le ln qui doit être positif et il y a un 3è ln donc lui aussi il y va de sa condition lui qu'est-ce qu'il impose il impose x - 3 strictement positif donc tu vois pour que cette équation ait un sens pour qu'elle existe benah il y a trois conditions à respecter x doit être plus grand que Z0 X il doit être plus grand que 2 et X il doit être plus grand que 3 ok mais il faut les mettre d'accord donc quel intervalle on prend tu vois chacun a donné sa conditions donc toi après tu les poses et quelque part tu vas agréger ces conditions tu vois tu vas les prendre ensemble et dire ok pour que tout le monde soit content voilà l'intervalle tu as compris allez c'est quel interval parce qu'en fait c'est soit 0 + infini soit 2 + infini soit 3 + infini tout le monde doit être content donc en fait tu prends le plus petit intervalle qui contient tout le monde en fait ce sont des intersections parce que si tu prends 0+ infini parfois on est tenté de dire ça bah oui l'intervalle c'est 0 + infini il y a tout le monde des fois on dit ça bah non ça marche pas ok lui il est content mais lui il existe que à partir de 3 même après 3 donc si tu prends tous les nombres à partir de é0 Aï parce qu'il y a tous les nombres entre 0 et 3 que lui ne veut ne veut pas ou ne veut pas les deux d'ailleurs parce que dans 0 + infini par il y a x = 1 mais x = 1 il a pas le droit d'entrer d'ailleurs ni là ni là d'accord donc quand il y a plusieurs conditions c'est des intersections tu prends le plus petit intervalle qui contient tout le monde donc ici c'est quoi c'est 3 + infini le domaine d'étude l'ensemble de définition de cette équation là voilà ce que c'est ouf on peut entrer dans la résolution comment est-ce que je fais pour résoudre des équations qui ressemblent à ça en fait il y a une règle faut qu'à la fin ait une certaine tête pour avoir le droit d'enlever les ln est-ce que tu connais cette tête et ben c'est ça faut ressembler à ça si tu as ln de a = ln de B les ln ils partent donc en gros le rêve c'est à gauche d'AV qu'un seul ln à droit d'avoir qu'un seul ln comme ça ils partent mais attention regarde il y a pas de deux j'ai pas de nombres à côté j'ai pas de trois donc ok ici on comprend le problème il y a de ln mais ici aussi il y a un 2 il y a le nbre 2 qui nous gêne donc tu vois on a deux problèmes à résoudre et c'est qu'il y a deux autres propriétés à connaître les connais-tu la première c'est celle-ci quand tu as un nombre devant le ln en fait il monte à l'exposant n ln de a c'est ln de absence n d'ailleurs on l'utilise énormément dans les deux sens donc faut que tu la connaisses donc là regarde le 2 qui multiplie devant tac il va allexoser ant B on va l'écrire directement ça fait ln de x² = donc tuis déjà un problème est réglé à gauche maintenant je ressemble à ça deuxième propriété quand tu as un plus celle-elà on la connaît bien ln de A + ln B ça fait ln a x B quand tu as plus entre le ln en fait tu multiplies ce qu'il y a dedans donc le membre de droite ça va donner quoi ln et on multiplie tout le monde x - 2 facteur de X - 3 et à la rigueur on peut mettre des petits crochets pour y voir plus clair tu vois et ben voilà donc là regarde ce qui se passe et à gauche j'ai juste ln d'un truc et à droite j'ai juste ln d'un truc B il part tu vois donc sur ta copie hop tu peux écrire ça éventuellement donc ça revient à dire quoi bah que x² é= et b Ce truccl là x - 2 facteur de X - 3 je pense que c'est assez visible un seul ln à gauche un seul ln à droite ils partent maintenant bah petite équation plutôt mignon tuis on va développer à droite ok du X car mais on va voir on a le niveau non c'est secondes première normalement allez on développe X X X x² X X 3 3 3x - 2 x x - 2x et + 6 B onre tout le monde d'un côté bah comme ils sont en majorité x² va passer à droite donc 0 = x² on peut faire le calcul 5x + 6 et ensuite x² x² que se passe-t-il ah les x² simplifi tu vois en fait c'est même plus simple que ce qui paraissait x²- x² donc il reste juste - 5x + 6 = 0 en fait tu as même pas besoin de faire Delta une fois que tu étais là ah a c'est un peu relou non non regarde les X Carr sont partis donc ça veut dire que - 5x = - 6 et finalement je force pas x é= combien - 6 sur - 5 j'aiécris ici parce que - 6 sur -5 ben je vais barrer les moins ça fait donc juste 65 ça c'est la solution de l'équation mais alors il était où le piège bah oui je t'ai parlé d'un piège en tout début de la vidéo tu as oublié ou pas mais c'est maintenant en fait il y a pas de solution tu es là on est tout fier de nous on a mis les propriétés et cetera on trouve 5 6 5e on est content non parce que plus fort que tout c'est l'ensemble de de définition ici en fait cette équation n'a de sens elle n'existe qu'à partir de 3 que pour des valeurs de x plus grandes que 3 or la solution plutôt le candidat c'est 6/5e 1 vir quelque chose c'est pas possible pour exister il faut être plus grand que 3 ce nombre là en fait n'appartient pas à l'ensemble de définition 65e n'appartient pas à 3 + infini non donc le candidat qu'on a trouvé n'est pas recevable parce qu'il n'est pas là-dedans donc finalement solution bah il y en a pas s ég ensemble vide je t'ai eu ou pas mais c'est un classique c'est pas forcément un piège justement c'est pour insister sur l'importance de l'ensemble de définitions quand tu es face à des logarithmes c'est hyper important j'espère avoir assez insté là-dessus que tu sois tombé dans le piège ou pas c'était le message de la vidéo et j'espère que tout est clair