BAC 2024 -géométrie dans l'espace-Terminale Spé Math -sujet du 21 MARS 2023 - métropole

bonjour à tous aujourd'hui on va corriger le sujet métropole du 21 mars 2023 exercice 3 on est sur la géométrie dans l'espace assez classique pas de difficultés particulière mais pas mal de questions donc on est parti tout de suite alors avec tout d'abord une équation cartésienne de plan le plan P1 ici ensuite un plan P2 passant par un point et dont on vous donne un vecteur normal donc N2 avec ses coordonnées les questions vecteur normal ensuite mon que deux plans sont perpendiculaires équation cartésienne d'un plan et ensuite intersection de deux plans on va d'abord faire cette partie-là donc donner les coordsonnés un vecteur N1 normal au plan P1 on va regarder tout ça à chaque fois sur Géogébra donc ça c'est exercice en entier il y a pas mal de choses d'ailleurs qu'on va faire donc nous ici on est sur l'équation cartésienne enfin une équation cartésienne d'un plan voici donc ici représenter ce plan hein et ici une orthogonale à ce planlà donc un vecteur normal c'est un vecteur qui a la même direction que cette droite comment fait-on bien c'est très simple ici il faut regarder les coefficients d'ê X Y et Z le coefficient de X c'est 2 d'accord ensuite on a plus donc une fois y le + 1 est important et ensuite moins une fois Z + 2 = 0 et bien les trois nombres que j'ai mis ici en jaune et bien ça forme les cordes d'un vecteur normal donc ici on peut prendre N1 coordonné 2 1 1 dans l'ordre ici question terminée puisquon vous dit donner il y a pas à justifier de toute façon c'est du cours vous pouvez appliquer directement alors on sait que on nous le rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un est orthogonal un vecteur normal à l'autre ça tombe bien parce qu'on a un vecteur normal pour chacun des deux P1 et P2 donc on va que N1 et N2 sont orthogonaux ce sont les vecteurs non nuls et si on calcule le produit scalaire donc on a les coordonnées scalaire N2 ça doit faire 0 donc on fait le produit des abscisses de fois ça fait 2 + une x -1 le produit des ordonnées 3ème coordonnée le produit des cotes donc - 1 x 1 j'ai donc 2 - 1 - 1 qui donne 0 donc effectivement N1 et N2 sont orthogonaux et donc d'après ce qu'on nous a rappelé donc P1 et P2 sont des plans perpendiculaires on rappelle que N2 est normal à P donc P2 possède une équation cartésenne sous la forme ici donc AX avec le a qui vaut l'abscisse du vecteur N2 donc 1x ensuite - 1Y 4 coordonné de N2 + une x Z + D = 0 et donc ici avec le nombre d qui appartient à r on va déterminer D avec quoi avec l'autre information le point B de coordonné 1 1 2 appartient à P2 donc ça veut dire que si je remplace xb- YB + Z + d do être ég à 0 point d'un plan vérifie les coordonn des points d'un plan vérifie équation cartien de ce plan çaici çaqu avir donc 1- 1 zB 2 + 2 + d= 0 si ça fait d 2 et donc on a une équation X- y + z- 2= 0 on continue un petit peu donc j'ai B le point le plan ici donc le voici P2 on m'annonce x - y + Z = 2 donc c'est parfait hein ces plans ils ont bien l'air perpendiculaire pas une preuve mais voilà ça confirme un petit peu tout ce qu'on est en train de faire bien sûr au bas que vous n'avez pas gogébra on est juste là pour visualiser pour que ceux qui ont un petit peu de mal à voir ce qui se passe comprennent vous avez comme ça deux plans qui sont perpendiculaires hein et ici il se coupe donc selon une droite qu'on va appeler Delta et la question an qui va parler de cette droite alors on vous donne une représentation paramétrique d'une droite Delta on ne sait pas pour l'instant que c'est l'intersection de P1 P2 il faut le montrer alors on sait que P1 est orthogonal à p2in P1 est perpendiculaire à P2 donc ça veut dire que P1 et P2 se coupent selon une droite donc l'intersection des deux est une droite on va montrer que cette droite c'est Delta donc qu'est-ce qu'on peut faire on a les équations cartésiennes on a la représentation paramétrique donc qu'est-ce qu'on va faire on va montrer que Delta appartient enfin delta est inclu dans P1 et que Delta est inclu dans P2 donc montrons que Delta est inclu dans P1 pour ça on a donc l'équation de P1 et on a la représentation on va tout simplement vérifier que chaque point 2 Delta et dans P1 donc on remplace ici X par 0 y par - 2 + T hein donc on va prendre soit T appartenant à r on calcule 2 x 0 + une x - 2 + T ensuite - t + 2 on dit pas que ça fait 0 on le calcule ça fait 0 - 2 + T t + 2 = 0 donc ça veut dire que tous les points de Delta sont dans le plan P1 donc la droite delta est incluse dans le plan P1 première chose on fait pareil avec P2 P2 donc je recopie l'équation x - y + Z - 2 = 0 donc on prend toujours soit T appartenant à r on vérifie on remplace donc X par 0 Mo 2 + T encore une fois j'utilise le X Y et Z donné par la représentation paramétrique du texte + T - 2 on calcule on sait pas ça fait 0 ça fait 2 - t + T - 2 ça fait bien 0 donc comme tout à l'heure tous les points de Delta sont dans P2 donc delta est inclu aussi dans P2 ça veut dire que donc delta est dans les deux donc delta est dans l'intersection des deux donc delta est une droite qui est dans l'intersection de P1 P2 qui est une droite donc obligatoirement delta est égale à P1 inter P2 donc Delta et bien l'insection des plans P1 et P2 et c'est bien important hein que vous rappeliez que P1 et P2 se coupent sur une droite hein rappelez qu'ils sont perpendiculaire d'accord il pourra être confondu on a une droite qui est dans l'intersection de deux plans perpendiculaires donc forcément cette droite c'est l'intersection des deux plans on continue donc considère le point aord 11 on a'est que A appti ni ni P2 on pour le vérifier facilement en remplaçant X Y et Z par vérifier ça fait pas 0 pour les de équations de P P2 on h le projeté orthogonal du point sur la droite Delta regardez ici Delta a son projeté comment j'ai obtenu projeté bien j'ai tracé ici un plan est orthogonale à la droite et qui passe par le point A et ensuite qu'est-ce qu'on fait on relie a on prend l'intersection de ce plan avec la droite c'est le point H si vous vouez la distance entre h et a et bien ça donne ceci voilà et on va montrer que c'est √3 effectivement gogébra mon du 1,73 ça correspond voilà donc on démarre donc on rappelle que d'après la question de B la droite delta est l'ensemble des points M de coordonné 0 - 2 + T et t on s'en a déjà servi d'ailleurs pour vérifier que Delta était inclus dans les deux plans hein c'est plus compliqué finalement d'aller chercher la représentation paramétrique à partir de plan c'est beaucoup plus simple vérifier que la droite dans chacun des deux plans ça c'est vraiment des gains de temps énormes ça simplifie beaucoup le travail surtout quand on vous donne la replantation paramétrique il faut vraiment l'utiliser au maximum donc montrer que amt=2t- 8t + 1 donc déjà on va calculer les coordon du vecteur am AMT donc a c'est MT on les a donc 1 donc ça fait 0 - 1 donc - 1 ensuite on commence par MT - 2 + T - 1 - 2 + T - 1 ça fait - 3 + T et ici on aura t - 1 ensuite on calcule donc la longueur en prenant la r√ine car la somme des 3 carrés donc -1² + - 3 + T en - 3 + T je peux écrire même t - 3 + t - 1² on développe tout ce qu'il y a dessous 1 + T2 - 6t + 9 + T2 - 2T + 1 donc en carré et 2 t² - 6 - 2 - 8t 1 + 9 101 11 + 11 CQFD c'est ce qu'il fallait trouver il faut savoir que par définition du projeté bien le projecte orthogonal c'est le point du donc de la droite qui qui est le plus près du point A d'accord correspond à l'intersection d'un plan orthogonal passant par le point avec la droite mais c'est plutôt le minimum d'une distance ça veut dire qu'ici vous avez votre droitez le point A et bien vous prenez tous les points M d'accord et bien le projeté ça sera celui ici pour lequel la distance entre les deux sera minimale et si réalisé ici réalisé pour donc ceci avec ici orthogonalité et donc le point se trouve là donc il faut minimiser en fait la distance entre A et MT donc la longueur AMT qu'on vient de calculer donc il faut trouver le minimum de cette racine carrée estce quand on réalise le minimum de AMT puisque AMT est positif donc ça réalisera le minimum de du carré le minimum donc de a MT carré d'accord AMT est positif donc ça veut dire qu'il faut on va appeler FT = 2t2 - 8t + 11 faut trouver l' minum il y a plein de façons de faire on est soit chapitre sur le second degré ça vous voz que c'est une fonction du second degré donc ici avec comme ceci avec un ici le minimum atteint pour donc ici b/ 2A donc 8/ 4 c'està-dire atteint pour 2 je remplace donc par 2 ça fait 2 x 4 8 - 16 + 11 19 - 16 ça fait 3 donc ici on trouve un minimum qui est égal à 3 ça ve dire que AMT carré est minimal pour T é= 2 et le minimum c'est 3 ord donc ça veut dire que ah qui est donc ça sera donc la racine care de ce nombre c'est donc R3 puisque nous on a minimisé le carré vous avez aussi possibilité de dérivver c'est 4t- 8 donc ici F Prim sannu en 2 moin plus donc F T et décroissant croissant vous retrouerez 3 vous attaquez à Mt donc en posant par exemple GT é= à racine carrée c'est pas très compliqué de garder la racine carrée quand vous dérivez il y a pas de problème de dérivation sur le domaine où on est on va regarder ça tout de suite he si on dérive ça fait 4T - 8 sur √ 2t² - 8t + 11 on travaille là où ça c'est positif toute façon une somme de 3 Carr hein c'est forcément positif et donc vous voyez qu'ici on retrouve le fait que le SIG de G prime c'est s'annule donc en 2 et c'est - 0+ donc la même le même tableau ici qu'on a pour F mais par contre ça sera minimal pour donc donc T = 2 et quand je calcule g de 2 et bien ça fait voyez donc √ de donc 8 - 16 + 11 et ça fait √3 donc il y a plusieurs façons de faireil à vous de choisir celle que vous préférez soit on minimise un MT directement on fait un dérivé avec une racine carrée soit on met au carré on minimise le carré avec soit le chapitre du premier deg soit une dérivation d'un polynôme du second degré assez simple à réaliser et donc on rappelle bien sûr que H ça réalise le minimum vous avez trouvé le minimum c'est donc √ 3 4e donc on note D1 la droite orthogonale au plan P passant par le point a donc ici voyz j'ai représenté le plan ici donc P1 l'orthogonale passant par a et intersection donne H1 donc comme la droite est orthogonale en fait effectivement H1 c'est bieninsection entre la droite et le plan c'est le projeté orthogonal de A on projette ici hein avec de l'orthogonalité D1 est orthogonal app donc le vecteur N1 qui était orthogonal P1 et directeur de DA d'accord donc on a un vecteur directeur et on a un point le point A de coordonné 1 1 1 appartient à D1 et donc ici bien D1 on peut tout de suite en avoir une représentation paramétrique très simple on va mettre 1 1 1 les coordonnées du on a notre paramètre on va choisir alors j' avis déjà T qui a été pris donc je vais prendre un autre paramètre on va prendre s voilà et ici s appartenant à R et là on va utiliser les coordonées du vecteur directeur de Dr donc + 2 x s + une FO s moin une FO S et ça donne ceci donc ça c'est une représentation paramétrique de droite j'ai utilisé pour ça donc le cor les coordonnées du point et ici les coordonnées écr pas le plus et le maintenant pour coordonn donne ici qu'eston faire on don on va les utiliser au maximum on va introduire un nouveau point pas déjà PRJ pr coordonn 1 5 on va montrer que mon tr que K appartient au plan P1 et qu'il appartient aussi à la droite D1 dans ce cas-là et bien on est sûr puisque D1 est orthogonal à P1 que l'intersection entre D1 et P1 et bien c'est le proch orthogonal d'accord et donc on est parti donc je fais comme on a fait plusieurs fois je remplace les coordonnées de K dans l'équation du plan donc ça fait 2 x - 1/ + YK 1/ 5 5/ + 2 donc j'ai - 2/3 Ici j'aurais - 5/ Ça fait - 7/ + 1 - 6/3 + 2 6 ça fait 2 donc ça fait - 2 + 2 0 donc en fait le point K que j'ai défini appartient bien à P1 ensuite on vérifie qu'il est à droite d'accord donc ici on va résoudre le système on résout un système donc 1 + 2S doit être égal à 1/3 1 + S doit être égal à 1/3 et 1 - S doit être égal à 5/3 normalement ça se risout assez facilement par exemple la 2e me dit que ça fait 1/ - 1 s vaut donc - 2/3 la 3è me fait donc 1 - 5/3 = S donc 1 5/3 ça fait 3/3 - 5/ ça fait aussi - 2/3 C'est parfait et puis pour la première ça fait 2S = - 1/3 + 1 donc - 4/3 quand je divise par 2 ça fait bien / donc s é= ici 4/ donc K est le point de D1 de paramètrre euh de qui correspond un de point avec donc s = - 4/ donc k il appartient forcément à la droite D1 donc ici je rappelle que a appartient à D1 que D1 est orthogonale à P1 donc comme K c'est l'intersection entre P et D1 ça veut dire que K c'est le porté orthogonale de a et même de n'importe quel point de la droite D1 sur P1 et donc a c'est H1 puisque H1 ça a été défini comme le projecteurogonal de a sur P1 voici ce que ça donne on a le point 1 qui a été projeté sur la droite sur chacun des deux autres plans la figure forme un rectangle on va montrer ça alors c'est assez simple parce qu'on vous donne toutes les coordonnées donc on va faire vraiment sans forcer on a les coordonnées du point H du point H de du point H1 et du point A qui était 11 1 donc on va bien faire un calcul avec des coordonnées alors je vais calculer les coordes de H1a donc H1 a c'est 11 donc ici ça me fait 11 1 moins donc les coordonnées de h1 - 1/ 1/3 5/ donc ça veut dire que H1 a a pour coordonné 4/3 2 ti ici 3/ 5/ 2/ d'accord sur le dessin qu'on vous fournit j'ai calcul ce vecteur maintenant je vais prendre celuiici c'està-dire h H2 donc H2 je montant 4/ 2/ 4/ moin Mo Mo lescord de H donc h on rappelle donne 02 02 ça veut dire que hh2 a pour coordonné 4//3 2//3 4/3 - 2 4/ - 6/ - 2/3 donc vous voyez bien que H1a est égal à hh2 pourquoi j'ai fait ça ben quand on a deux vecteurs égaux on a un parallélogramme donc ici ça veut dire que a H1 h H2 est un parallélogramme maintenant il reste à montrer les angles droits entre les côtés alors pour l'angle droit on va Esser d'être un petit peu subti H2 c'est le projecteur Toal de a sur P2 donc ça veut dire que la droite H2 ah2 elle est perpendiculaire est orthogonale plutôt orthogonale à P2 et quand une droite est orthogonale à un plan donc ça veut dire que ah H2 est orthogonale à toutes les droites du plan à toute droite 2 P2 et donc ben on va prendre la droite h à2 donc ça veut dire que ah2 et h H2 sont orthogonales et C en H2 hein et c'est qu en H2 donc sont perpendiculaires donc on a un parallélogramme avec un angle droit un parallélogramme avec un angle droit et bien c'est un rectangle et on a terminé cette question on aurait pu aussi faire le produit scalaire a H2 scalaire h H2 calculer coordonnées ce prod scalire vaut Z0 donc ça veut dire que ah2 et h H2 sont orthogonaux et donc comme tout à l'heure c'est que est droite elles ont un point commun il sont orthogonal ils sont donc perpendiculaires en H2 et donc on a un parallélogramme plus un angle droit donc ça il faut écrire parallélogramme plus angle un angle droit et bien ça suffit pour avoir donc ah h 1 h H2 est un rectangle et on a terminé cet exercice j'espère que ça vous a plu j'espère que vous avez bien compris et à très bientôt