Produit scalaire dans l'espace - cours - ce qu'il faut savoir - terminale S

Alors, l'objectif de cette vidéo, c'est d'expliquer comment on calcule un produit scalaire dans l'espace. Alors, la chose fondamentale à comprendre, c'est que quand on a deux vecteurs dans l'espace, comme ici, ces deux vecteurs, on peut toujours les représenter, ces deux vecteurs, dans un même plan. Ça, c'est fondamental de bien le comprendre. Par exemple, ici, ces deux vecteurs, eh bien, je peux les représenter. Regardez, ce premier vecteur que j'ai ici, je peux le représenter. Là, c'est exactement le même, mais représenté ici. Et le deuxième, je n'y touche pas. Et donc, ces deux vecteurs, regardez, j'ai pu les représenter dans cette face, c'est-à-dire dans un même plan. Donc, l'idée générale, c'est que quand on a deux vecteurs de l'espace, on peut toujours les représenter dans un même plan. Et du coup, le produit scalaire, eh bien, calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs dans l'espace, eh bien, ça revient à calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs, mais maintenant, ils sont dans un même plan. Et donc, j'insiste bien, calculer un produit scalaire dans l'espace, ça revient à calculer un produit scalaire dans le plan. Et donc, toutes les techniques que vous avez vues pour calculer un produit scalaire dans le plan, et bien on va les réutiliser maintenant pour calculer un produit scalaire dans l'espace. Alors j'ai rappelé ici les cinq techniques pour calculer un produit scalaire dans un plan, mais ce sont exactement les mêmes pour calculer un produit scalaire dans l'espace. Donc on va réexpliquer une par une comment appliquer ces techniques dans l'espace. Alors imaginons qu'on ait un cube et qu'on vous demande de calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs. Première étape, il faut représenter ces deux vecteurs dans un même plan. Par exemple, on peut représenter ce vecteur qu'on a ici dans cette face, c'est le même vecteur mais représenté avec cette origine, et ce vecteur-là le représenter ici. Donc première étape, on a bien représenté nos deux vecteurs dans un même plan. Alors si ces deux vecteurs, je les appelle U et V, et que vous connaissez une mesure de l'angle qu'on a ici qu'on va appeler α, et bien le produit scalaire UV est égal à la norme du premier, à la norme de U, c'est-à-dire à la longueur qu'on a ici, que multiplie la longueur qu'on a là, c'est-à-dire la norme de V, que multiplie le cosinus de l'angle qu'on a entre les deux vecteurs. Donc la seule différence par rapport au plan, c'est qu'il faut penser à représenter les deux vecteurs avec la même origine. Donc j'insiste, dès que vous connaissez l'angle entre deux vecteurs, et bien pensez à cette formule pour calculer le produit scalaire. Alors imaginons maintenant qu'on vous demande de calculer le produit scalaire entre ces deux vecteurs, et que vous ne connaissez pas l'angle entre ces deux vecteurs. Et bien pensez à utiliser les longueurs. Alors si ce point je l'appelle A, que celui-ci je l'appelle B, et que celui-ci je l'appelle C, je dois donc calculer le produit scalaire ABAC. Et bien ce produit scalaire, il est égal à quoi avec les longueurs ? Il est égal à 1,5, que multiplie la longueur qu'on a ici, qui correspond à la longueur AB, c'est-à-dire la norme du premier vecteur, donc la longueur AB², plus la longueur qu'on a ici, c'est-à-dire la norme du deuxième vecteur O², donc plus AC², moins la longueur qu'on a ici, c'est-à-dire moins BC². Évidemment, pour pouvoir appliquer cette formule, il faut que les deux vecteurs soient représentés dans un même plan, et donc du coup ils forment un triangle. Et donc j'insiste bien, le produit scalaire ABAC, c'est égal à 1,5, que multiplie cette longueur formée par le premier vecteur O², plus cette longueur formée par le deuxième vecteur O², moins cette longueur-là, O². Alors, il y a une autre technique qui est souvent très efficace, c'est d'utiliser les projetés orthogonaux. Imaginons qu'on vous demande de calculer le produit scalaire ABAC. Et bien vous pensez à projeter le point C orthogonalement sur la droite AB. Et donc du coup, le produit scalaire ABAC, il ne change pas si vous remplacez, au lieu de travailler avec le vecteur AC, si vous remplacez le vecteur AC par son projeté orthogonal sur le vecteur AB. Mais justement, si ici vous projetez C orthogonalement sur le vecteur AB, et bien C tombe pile en B. Donc le projeté orthogonal du vecteur AC sur le vecteur AB, c'est le vecteur AB lui-même. Et donc ça fait AB scalaire AB. J'insiste encore une fois, c'est quoi le projeté orthogonal de C sur la droite AB ? C'est le fait, si on faisait une analogie, de faire tomber le point C verticalement sur la droite AB. Et bien, comme ici on est dans un cube, si on fait tomber C verticalement sur la droite AB, et bien C tombe pile en B. Autrement dit, et A tombe où ? Et bien A, il est déjà sur la droite AB, donc A reste en A. Donc le projeté orthogonal du vecteur AC, A en projeté orthogonal, C correspond à B. Et donc le projeté orthogonal du vecteur AC sur la droite AB, c'est le vecteur AB. Et quand on remplace un vecteur par son projeté orthogonal, attention, sur le vecteur AB, et bien ça ne change pas le produit scalaire. Donc le produit scalaire AB AC, c'est le même que le produit scalaire AB x AB. J'ai juste remplacé AC par son projeté orthogonal. Et ensuite, il faut bien comprendre que quand vous faites le produit scalaire d'un vecteur x lui-même, et bien ça veut dire la longueur du premier x la longueur du premier x la longueur du second x l'angle qu'il y a entre les deux. Mais ici, l'angle qu'il y a entre AB et AB, l'angle ici, c'est 0. Le vecteur AB avec lui-même, l'angle ici, c'est 0. Donc ça fait cosinus 0 et cosinus 0, ça fait 1. J'ai repris cette formule. Si on fait le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, ça veut dire que l'angle α, il vaudra 0. Et si l'angle vaut 0, et bien le cosinus vaut 1. Donc ici, ça fait x1. Mais on retient directement que quand on fait le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, et bien ça fait AB x AB, c'est-à-dire la longueur AB². Ça, c'est quelque chose qui revient très souvent en exercice. Alors, il y a encore une technique qui est très souvent efficace, c'est d'utiliser une décomposition. C'est-à-dire qu'on va décomposer les vecteurs, et pour cela, il faut penser à faire apparaître des angles droits. Alors, imaginons qu'on vous demande de calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs représentés en rouge ici. On va essayer de décomposer ces deux vecteurs à l'aide d'angles droits. Allons-y, prenons le premier vecteur. Comme ici, on est dans un cube. Regardez ce vecteur rouge, on va le décomposer comme ceci, plus ce vecteur-là, plus ce vecteur-là. Ce vecteur rouge, c'est la somme de ces trois vecteurs. Et là, j'ai bien à chaque fois des angles droits parce que j'utilise les arêtes du cube. Alors maintenant, je vais faire pareil, je vais décomposer ce vecteur rouge en faisant apparaître des angles droits. Et donc, ce vecteur rouge, je peux le décomposer avec ce vecteur, plus celui-là, puisqu'ici, il y a un angle droit. Alors, imaginons que sur votre figure, il y ait des points que j'ai donnés ici. En fait, ce qu'on vous demande, c'est de calculer le produit de ce vecteur rouge, c'est-à-dire du vecteur AD, avec le vecteur CF. Et donc, AD, je le remplace par quoi, le vecteur AD ? Eh bien, AB, plus BC, plus CD. D'après la relation de Schall, si j'additionne ces trois vecteurs, ça me fait bien AD. Et pareil pour CF, je dis que c'est le vecteur CE, plus le vecteur EF. Et maintenant, qu'est-ce qu'on va faire ? Eh bien, on va tout simplement développer. On va faire AB que multiplie CE, plus AB que multiplie EF, plus BC que multiplie CE, plus BC que multiplie EF, etc. Et ensuite, on va regarder quand est-ce que les produits scalaires sont égaux à zéro ou pas. Alors, je vais écrire le début du développement. Ça fait AB scalaire CE, plus AB scalaire EF, et j'écris le troisième, plus BC scalaire CE. Et puis, je mets des petits points. En exercice, évidemment, vous continuerez. Et vous allez voir que soit dans cette somme de produits scalaires, soit les deux vecteurs vont être collinéaires de même sens ou de sens opposés, soit les deux vecteurs vont être orthogonaux. Quand les deux vecteurs sont orthogonaux, le produit scalaire vaut zéro. C'est ce que je rappelle ici. Si je veux calculer le produit scalaire UV et qu'ici, il y a un angle droit, eh bien, ça veut dire que c'est la norme de U que multiplie la norme de V que multiplie le cosinus. Mais si, cette fois-ci, α, la mesure de l'angle, ici, vaut π sur 2, vous savez que cosinus π sur 2 sur le cercle trigo, si vous faites un cercle trigo, ici, vous avez π sur 2. Le cosinus, c'est l'abscisse de ce point. Cosinus π sur 2, ça vaut zéro. Donc, vous aurez la norme du premier fois la norme du second fois cosinus π sur 2. Mais j'insiste bien, cosinus π sur 2, ça vaut zéro. Comme ce facteur, ici, vaudra zéro, le tout vaudra zéro. Donc, retenez bien que quand vous avez deux vecteurs orthogonaux, le produit scalaire vaut zéro. Et, dans la même idée, si les deux vecteurs sont collinaires et de même sens, le produit scalaire UV, il vaut norme du premier, norme de U, que multiplie norme de V, que multiplie le cosinus de l'angle, c'est-à-dire, ici, le cosinus de zéro parce que l'angle, ici, mesure zéro. Et cosinus zéro, vous savez que ça fait 1. Donc, dans ce cas-là, quand les deux vecteurs sont collinaires et de même sens, le produit scalaire vaut la norme du premier fois la norme du second. Et, vous devez savoir également que si, cette fois-ci, les deux vecteurs sont collinaires, U et V sont collinaires, mais deux sens opposés, l'angle qu'on aura ici mesure rapide. Donc, le produit scalaire, si on applique toujours la même formule, norme de U que multiplie norme de V que multiplie le cosinus, mais cette fois-ci, l'angle mesure en pi, ça fait cosinus pi. Et vous savez que cosinus pi, si on prend le point qui correspond à pi, il est là, le cosinus, c'est l'abscisse de ce point, il vaut moins 1. Donc, cosinus pi, c'est moins 1. Et donc, cette fois-ci, le produit scalaire, il vaudra la norme du premier fois la norme du second fois moins 1. Autrement dit, moins norme de U fois norme de V. Et donc, regardez ici maintenant, on revient à notre exemple, les vecteurs AB et CE, ils sont bien collinaires, mais deux sens opposés. Donc, le produit scalaire, il serait égal à la longueur, à la norme du premier, c'est-à-dire la longueur AB que multiplie la longueur CE, mais comme ils sont collinaires deux sens opposés, on est dans cette situation, il y aura un moins devant. Puis, je continue, plus AB scalaire EF. AB scalaire EF, voyez qu'ici, il y a un angle droit, que je travaille avec le vecteur AB ou avec le vecteur EC, c'est pareil, le vecteur EF et le vecteur EC, ça forme un angle droit. Donc, ce produit scalaire sera égal à 0. Et on peut continuer ainsi, le produit scalaire BC avec CE, BC avec CE, voyez qu'ici, il y a à nouveau un angle droit entre ces deux vecteurs, et donc, ce produit scalaire vaut 0. Donc, en fait, quand vous utilisez une décomposition et que vous utilisez les arrêts du cube, quand vous allez développer, vous allez obtenir soit des vecteurs collinaires, soit de même sens, soit deux sens opposés, et donc, ce sera facile de calculer le produit scalaire, soit vous allez obtenir des vecteurs orthogonaux comme ici, et donc, dans ce cas-là, le produit scalaire vaudra 0. Voilà comment on fait une décomposition. Alors ensuite, il y a une dernière technique, c'est en général celle que vous préférez, c'est d'utiliser les coordonnées. Mais attention, pour utiliser les coordonnées pour calculer un produit scalaire, il faut impérativement être dans un repère orthonormé. Alors, comment on procède quand on est dans un repère orthonormé ? Eh bien, on trouve les coordonnées du premier vecteur que je vais appeler U, ces coordonnées, je les appelle XYZ, on trouve les coordonnées du deuxième vecteur, que je vais appeler X'Y'Z', et le produit scalaire, ensuite, il est très simple à calculer, c'est XX', plus YY', comme dans le plan, plus la dernière coordonnée, puisqu'on passe dans l'espace, plus Z, Z'. Voilà comment on calcule un produit scalaire avec les coordonnées, mais j'insiste bien, il faut absolument être dans un repère orthonormé. Alors, souvent, dans les exercices, il n'y aura pas de repère, mais si, par exemple, comme ici, vous avez un cube, un cube, ça permet d'avoir un repère orthonormé. Donc, si dans l'énoncé, il n'y a pas de repère, rien ne vous empêche d'en créer un, mais pour cela, il faut choisir un repère orthonormé. Donc, si vous avez un cube, pensez à introduire un repère orthonormé, et ensuite, ce sera très simple, on le verra dans les exercices, de calculer un produit scalaire. Donc, j'insiste bien, s'il n'y a pas de repère, mais que, par exemple, il y a un cube, pensez à introduire, à créer votre propre repère, mais qu'il soit bien orthonormé. Le problème, c'est que, si, par exemple, vous êtes dans un tétraède, comme ici, vous ne pourrez pas créer un repère orthonormé qui soit pratique. Ça veut dire quoi, qu'il soit pratique ? Qu'il permette de calculer rapidement les coordonnées des points de la figure pour avoir les coordonnées des vecteurs. Parce que, si on a un cube, on a facilement un repère orthonormé, et on trouve facilement, en utilisant les arrêtes du cube pour créer notre repère, on trouve facilement les coordonnées des points, puis les coordonnées des vecteurs. Mais si on a un tétraède, comme ici, c'est difficile de créer, et c'est souvent même impossible, d'avoir un repère orthonormé qui soit pratique pour trouver, par exemple, les sommets du tétraède. Ici, si vous avez un tétraède, sans doute vous n'utiliserez pas un repère orthonormé, et donc pas les coordonnées pour calculer le produit scalaire, mais vous utiliserez les autres techniques. Voilà ce qu'il faut savoir sur le produit scalaire dans l'espace. Première idée à retenir, pensez à représenter les deux vecteurs dans un même plan. Et ensuite, pour calculer le produit scalaire, ça revient à calculer le produit scalaire des deux vecteurs dans le plan. N'oubliez pas que si les deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire qu'ils forment un angle droit, le produit scalaire vaut 0. Pensez aussi que si les deux vecteurs sont collinéaires et de même sens, le produit scalaire vaut la norme du premier fois la norme du second, mais que s'ils sont collinéaires deux sens opposés, le produit scalaire vaut la norme du premier fois la norme du second, avec un moins devant qui vient du cosinus π. Ensuite, n'oubliez pas que si vous connaissez l'angle, la mesure de l'angle entre les deux vecteurs, vous pensez à cette formule. Si vous êtes capable de calculer les trois longueurs ici, pensez à calculer le produit scalaire avec cette formule. Pensez également à utiliser les projetés, mais c'est souvent plus subtil. Quelque chose qui revient très souvent, c'est d'utiliser une décomposition. Pour cela, pensez à utiliser les angles droits de la figure et ensuite à développer. Enfin, une technique très utile, si vous avez un repère orthonormé ou si vous pouvez en créer un, pensez à utiliser les coordonnées pour calculer le produit scalaire. Voilà ce qu'il faut savoir avant d'attaquer les exercices. Comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la partager et à la liker.