Corrigé brevet mathématiques 2024 métropole ♦ Exercice 5 ♦ PGCD ♦ Décomposition en facteur premier

bonjour et bienvenue sur jcompris.com alors l'objectif de cette vidéo c'est de corriger cet exercice qui est tombé au brevet 2024 c'est un exercice qui est très classique ici on a 330 autocollants et 132 drapeau et avec ça on veut faire des sachets qui soient tous identiques c'est-à-dire que dans chaque sachet et bien il y a le même nombre d'autocollants et le même nombre de drapeau et l'objectif de l'exercice et bien c'est de savoir combien on peut faire au maximum de sachets donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause cherchez bien cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y première question on nous demande pourquoi il est pas possible de faire 15 sachets alors toujours pareil faisons un schéma pour bien visualiser la situation donc je fais un sachet deux sachets et cetera donc ici j'ai met 15 sachets et maintenant mes autocollants je vais les répartir dans mes sachets et pour qu'il ait le même nombre d'autocollant dans chaque sachet et bien je prends le nombre d'autocollants 330 et je vais le diviser par le nombre de sachets donc ça fait 330 divis par 15 donc voilà combien il faudra mettre d'autocollant par sachet et si vous faites le calcul 330 330 divis par 15 et bien ça fait 22 donc ça veut dire qu'il faudra mettre 22 autocollant par sachet dans chaque sachet il faudra mettre 22 autocollants et maintenant on fait pareil avec les drapeaux pour avoir le même nombre de drapeaux par sachet et bien il faut prendre nos drapeau 132 et prendre 132 et le diviser par le nombre de sachets par 15 et regardez faites le calcul 132 132 divis par 15 bah regardez ce que ça donne ça ne donne pas un nombre entier et donc c'est pas possible de répartir les 132 drapeaux parmi les 15 sachets avec le même nombre de drapeaux dans chaque sachet parce qu'il faudrait en fait en mettre 8,8 et 8,8 ça n'est pas un nombre entier donc ça n'est pas possible de faire qu'un sachet et maintenant il y a plus qu'à le rédiger et donc j'écris que 132 drapeau divisé par 15 sachet ça fait 8,8 ça voudrait dire qu'il faut mettre 8,8 drapeau par sachet et ça ça n'est pas possible on peut mettre qu'un nombre entier de drapeau donc j'ai écr que 8,8 n'est pas un nombre entier et donc ça n'est pas possible de faire qu'un sachet ce qui termine cette question passons à la question suivante on nous demande de décomposer 330 et 132 en produit de facteur premierers donc allons-y 330 il faut le décomposer sous la forme d'un produit c'est-à-dire à l'aide de multiplication et bien on y va 330 comment on peut l'écrire à l'aide d'une multiplication bah par exemple 33 x 10 33 x 10 ça fait bien 330 et maintenant il faut ici que ce soit des nombres premiers donc il faut continuer jusqu'à ce qu'on ne puisse plus décomposer mais là on peut encore décomposer 33 c'est 3 x 11 3 x 11 ça fait bien 33 et 10 on peut l'écrire 2 x 5 et maintenant regardez les nombres qu'on a obtenu 3 2 11 et 5 bien tous ce sont des nombres premiers donc on a terminé de décomposer 3 130 en produit de facteur premier donc maintenant on fait pareil avec 132 et comme 132 ça finit par 2 et bien c'est un nombre pair on peut le diviser par 2 donc 132 on peut l'écrire de fois quelque chose et si vous êtes pas à l'aise et bien on prend sa calculatrice et on fait 132 132 divis par 2 et ça donne 66 et on peut vérifier que 2 x 66 ça fait bien 132 et maintenant est-ce qu'on peut encore continuer et bien oui 66 on peut encore le décomposer donc ça nous fait 2 et 66 on peut l'écrire 6 x 11 6 x 11 ça fait bien 66 et là est-ce qu'on peut encore continuer et bien oui le 6 on peut encore le décomposer et donc ça va nous donner 2 et le 6 on peut le décomposer en 2 x 3 ça fait bien 6 il reste x 11 et regardez maintenant ce qu'on a obtenu 2 2 3 et 11 tout t tous ces facteurs ce sont bien des nombres premiers et donc on a terminé on peut pas décomposer davantage dernière chose souvent quand on donne la décomposition on met les facteurs dans l'ordre en partant du plus petit donc ici le plus petit c'est 2 ensuite c'est 3 ensuite c'est 5 et enfin C1 et là les facteurs sont déjà du plus petit au plus grand et donc on a terminé cette question passons à la question C on nous dit en déduire le plus grand nombre de sachets qu'on pourra faire alors si le nombre de sachets qu'on va faire on l'appelle n donc n c'est le nombre de sachets et bien N doit diviser 330 et n doit diviser 132 je l'écris n doit diviser n divise 330 et 132 rappelez-vous à la première question on a expliqué qu'on pouvait pas faire 15 sachets parce que justement 15 ne divise pas 132 donc le nombre de sachets il doit diviser à la fois 330 et 132 c'est ce qu'on appelle un diviseur commun ça doit être le diviseur commun de un diviseur commun à 330 et 132 et en plus n il doit être le plus grand possible le plus grand possible donc finalement ça doit être le plus grand diviseur commun à 330 et 132 autrement dit le plus grand diviseur commun c'est ce qu'on appelle le PGCD donc n n le nombre de sachets c'est donc le PGCD de 330 et 132 et maintenant pour avoir le PGCD de 330 et 132 c'est très facile on prend leur décomposition et on regarde quels sont les facteurs premiers commun bah regardez 2 il est commun donc je le prends ensuite ce de là je peux plus le prendre puisqu'on a déjà pris ce deux là ensuite le 3 il est commun donc je le prends le 5 il est pas commun et le 11 il est commun et donc voilà le PGCD je l'ai entouré c'est 2 x 3 x 11 2 x 3 x 11 2 x 3 x 11 et maintenant il y a plus qu'à calculer 2 x 3 ça fait 6 et 6 x 11 ça fait 66 donc le PGCD vaut 66 ça veut dire concrètement que le nombre maximum de sachet qu'on pourra faire c'est 66 et maintenant il y a plus qu'à le rédiger et pour rédiger j'ai remis les deux décompositions j'ai entouré en rouge les facteurs premiers commun et donc le PGCD de 330 et 132 c'est 2 x 3 x 11 c'est-à-dire 66 et j'ai fait une phrase de conclusion donc le plus grand nombre de sachets qu'on pourra faire et donc 66 ce qui termine cette question donc au maximum on peut faire 66 sachets et donc dernière question on nous dit dans ce cas-là combien on mettra d'autocollant et de drapeau dans chaque sachet et bien bien pour le savoir on prend le nombre d'autocollant 330 et on le divise par le nombre de sachets 66 et pour savoir combien ça fait pas besoin de prendre sa calculatrice on le voit directement ici le 66 c'est ce qui correspond à ce que j'ai entouré en rouge 2 x 3 6 x 11 66 et donc quand on divise 330 parce que j'ai entouré en rouge et bien ça fait ce que j'ai pas entouré ça fait 5 on le voit directement ici et on peut le vérifier à la calculatrice 330 330 divis par 66 bah regardez ça fait bien 5 et donc ça veut dire qu'il faudra mettre 5 autocollants par sachet et maintenant pour savoir combien de drapeaux on va mettre par sachet et bien on prend le nombre de drapeau donc 132 et toujours pareil on divise par nombre de sachets 66 et là toujours pareil pas besoin de calculatrice pour savoir combien ça fait on a la réponse ici c'est ce qu'on a pas entouré en rouge c'est donc deux et donc ça voudra dire qu'il faut mettre deux drapeaux par sachet et donc voilà on a terminé cet exercice donc voilà cette vidéo est terminée j'espère que vous avez bien compris et comme d'habitude si vous l'avez apprécié n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos