10. Klasse Geometrie – Kannst du es lösen?

hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Aufgabe mitgebracht die mir eine Schülerin aus der zehnten Klasse am Gymnasium zugeschickt hat gehen wir einfach mal gemeinsam rein bei der abgebildeten Figur wurde eine symmetrische trapezfläche durch eine Dreiecksfläche ergänzt schauen wir uns das mal hier unten an hier unten haben wir dieses Trapez liegen das soll symmetrisch sein sehen wir hier auch schön an den 75° Winkeln auf beiden Seiten und ansonsten liegt da drauf ein Dreieck und zwar hier an der Seite so dass das hier an der Stelle ohne Knick übergeht also diese Seite ist hier mit 3,8 m gegeben diesen 15° Winkel bekommen wir noch gegeben und die Länge von dieser Seite und es war's so mit Angaben Teil A berechnet die fehlenden Längenangaben ja genau da sind ja noch ein paar die fehlen d a H1 H2 und die Höhe dann insgesamt wir haben auf jeden Fall einiges zu tun gehen wir mal rein Dreieck ist natürlich eine gute Sache besser wä es wenn es ein rechtwinkliges Dreieck wäre können wir uns auch eins rauspicken denn wir wissen ja dass die Höhe in einem Dreieck senkrecht auf der dreieckseite hier unten liegt und damit hätten wir hier ein rechtwinkliges Dreieck gefunden direkt mal anfangen von dem eine Seite bekannt ist und ein Winkel eine Seite ein Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck da können wir sinus cosinus oder Tangens anwenden um die weiteren Seiten berechnen zu können und das würden wir jetzt auch mal tun um H1 zu bestimmen dieser Winkel ist gegeben das heißt gegenüber von dem Winkel ist die Seite gesucht das ist die Gegenkathete die gegenüber von diesem Winkel liegt und die Seite die gegenüber vom rechten Winkel hier liegt die da das ist die Hypotenuse die ist gegeben das heißt wir können den Sinus von 15° verwenden denn der benutzt die gegenkthete also die Seite die gegenüber von 15° liegt H1 und da teilt man das einfach durch die Länge der Hypotenuse die hier mit 7,4 gegeben wird also einfach den Sinus an diesem rechtwinkligen Dreieck anwenden und das ist eine Gleichung in der H1 vorkommt und die können wir nach H1 umstellen indem wir hier dieses durch 7,4 auflösen indem wir also mal 7,4 rechnen dann haben wir direkt die Gleichung nach H1 umgestellt indem man diesen Sinus von 15° einfach mit 7,4 multipliziert das in den Taschenrechner eintippt und dann bekommt man für H1 eine Länge von 1,92 m rausgerundet auf zwei Nachkommastellen H1 haben wir also gefunden das habe ich hier mal eingetrag Fragen und wir haben jetzt das linke rechtwinklige Dreieck hier verwendet wir haben ja aber auch hier noch ein kleineres rechtes rechtwinkliges Dreieck ne ist ja auch rechtwinklig und von diesem könnten wir vielleicht die Länge von dieser Seite hier berechnen denn wir wollen ja auch D finden und dadurch dass das Trapez hier ja symmetrisch ist wiederholt sich d auch auf dieser Seite hier wir bekommen mit 3,8 m die Länge von der kompletten Seite gegeben wenn wir wüssten wie lange das Stück hier oben ist dann könnten wir auch D berechnen also das ist mal so unser Plan wir wollen die Länge von dieser Seite hier bestimmen die nenne ich einfach mal x von diesem kleinen Dreieck ist ja wirklich nur diese Seite hier bekannt wie sieht's dann mit Winkeln aus seht ihr dass man diesen Winkel hier angeben kann denn diese Seite hier verläuft ja parallel zu dieser Seite hier und wird von der geschnitten das heißt dieser 75° Winkel der wiederholt sich hier als sogenannter stufenwinkel und von daher können wir direkt angeben dass der genauso groß sein muss und dann haben wir in unserem kleinen Dreieck auch einen Winkel gegeben zusätzlich zu unserer Seite und dann können wir wieder sinus cosinus oder Tangens anwenden äh um x bestimmen zu können X ist die Seite die gegenüber von dem rechten Winkel liegt das heißt das ist unsere Hypotenuse die ist gesucht wir haben den Winkel und wir haben die Seite gegenüber von dem Winkel also schon wieder die Gegenkathete damit können wir schon wieder den Sinus verwenden Sinus von 75° diesmal ist die Gegenkathete also die 1,92 geteilt durch die Hypotenuse die in unserem Fall diesmal x heißt diese Gleichung wollen wir nach X umstellen dafür muss das X aus dem Nenner raus also wir multiplizieren einmal mit X dann wird dieser Sinus auf der linken Seite mit unserem x multipliziert und auf der rechten Seite steht nur noch die Zahl aus dem Zähler um nach X aufzulösen teilen wir noch durch den Sinus dann steht unser x auch alleine und wir tippen in den Taschenrechner 1,92 geil dur von 75° rein und sollten einen Wert von 1,99 met erhalten wenn wir das wieder auf zwei nachkomm Stellen Runden und damit haben wir unseren Wert für X herausgefunden mit 1,99 und können dann auch den Wert für unser D berechnen hier unten dazu müssen wir einfach die Länge der ganzen Seite also 3,8 m das Stück hier oben rechnen also die 1,99 und kommen dann auf einen Wert von 1,81 m für unser D das habe ich jetzt mal hier auf der Seite eingetragen und dann können wir uns auch schon um unser Trapez mal kümmern weil davon kennen wir jetzt zumindest mal eine Seite und da ist ja noch H2 als Unbekannte drin H2 muss ja nicht hier eingezeichnet sein wir können das ja auch verschieben hierhin damit wir hier ein kleines Dreieck gebastelt haben was auch schon wieder rechtwinklig ist ich zeichne das mal hier unten hin damit es ein bisschen deutlicher wird hier haben wir den rechten Winkel ja der darf ruhig auch eine Rundung haben und der 75° Winkel hier an der Seite eingezeichnet H2 wie gesagt wiederholt sich hier auf der rechten Seite und die 1,81 für unser D haben wir gerade berechnet damit haben wir ein rechtwinkliges Dreieck ein Winkel ist gegeben die Gegenkathete ist gesucht und die Hypotenuse ist gegeben also können wir schon wieder den Sinus anwenden um H2 berechnen zu können der Sinus von 5° ist damit also die gegenkthete also H2 geteilt durch die Hypotenuse also 1,81 eine Gleichung die wir nach H2 umstellen können wir müssen dazu nur mit 1,81 multiplizieren dann ergibt sich für H2 schon ein Wert von Sinus von 5 75° mal 1,81 und das ergibt 1,75 für H2 das habe ich jetzt mal hier eingetragen und damit können wir auch die Länge von H insgesamt berechnen denn dazu müssen wir die beiden einfach nur zusammenrechnen und erhalten für H einen Wert von 3,67 sehr gut dann fehlt nur noch die Länge von A damit wir Teil A abschließen können wie sieht's da aus das ist eine Seite von unserem Trapez Berechnung in Trapezen ist meistens nicht so angenehm aber dieses Stück hier oben das ist ja ein Teil von A ne das ist ja dieses Stück hier das wäre zumindest mal ein Teil von der kompletten Länge von A das könnten wir mal berechnen das nenne ich einfach mal y und da gibt's jetzt verschiedene Varianten vielleicht rechnen wir mal den letzten Winkel hier aus in diesem großen in dem Dreieck das hier eingezeichnet ist wir haben 15° und 75° also zusammen 90° das heißt das hier muss ein rechter Winkel sein damit insgesamt eben 180° in dem Dreieck zustande kommen das ist sehr gut denn dann haben wir hier ein rechtwinkliges Dreieck und können schon wieder sinus cosinus oder Tangens anwenden um diese Seite hier auszurechnen die liegt gegenüber vom rechten Winkel ist also die Hypotenuse suchen wir uns einfach mal den 15° Winkel hier raus und diesmal nehmen wir mal die 7,4 hier das ist die Seite die an dem Winkel anliegt also diesmal nicht gegenüber sondern am Winkel dran das ist die ankaathete und deshalb können wir mal den Cosinus von 15° diesmal verwenden um unsere Berechnung zu machen und nicht immer nur den Sinus der Cosinus von 15° ist nämlich die Ankathete also die 7,4 m geteilt durch die Hypotenuse die wir y genannt haben diese Gleichung wollen wir nach y umstellen dazu müssen wir erstmal mal y rechnen damit es hier aus dem Nenner rauskommt das heißt wir haben den Cosinus von 15° auf der linken Seite der einmal multipliziert wird mit unserem y und dann steht nur noch die 7,4 auf der rechten Seite damit wir nach y umstellen letztendlich müssen wir durch den Cosinus teilen also die 7,4 nehmen wir und Teilen durch den Cosinus von 15° die Strukturen sind immer dieselben und wenn wir das Ausrechnen kommen wir auf einen Wert von 7,66 m das ist also die Länge von diesem Stückchen hier und damit auch die Länge von unserem y das haben wir jetzt hier ausgerechnet das habe ich jetzt noch mal hier eingezeichnet das ist jetzt aber noch nicht ganz a denn wir haben ja gesagt ja da fehlt ja noch das Stückchen hier auf der Seite und das Stückchen hier auf der Seite das sind die die hier in diesen Dreiecken hier unten liegen wenn ich das Z nenne auf der linken Seite dann wiederholt sich das Z auch auf der rechten Seite dadurch dass unser Trapez ja symmetrisch aufgebaut war also zum Vorteil von uns müssen wir jetzt nur noch Z berechnen um insgesamt dann a zu haben schnappen wir uns einfach mal hier das linke Dreieck ich zeichne das mal noch mal hier unten hin von dem kennen wir den 75° Winkel wir wollen z berechnen wir wissen es ist ein rechtwinkliges Dreieck wir kennen sogar diese Seite hier also die 1,75 wir kennen auch die Seite hier aber wisst ihr was wir nehmen jetzt einfach mal die beiden denn wir haben einen Winkel die gegen Kathete und suchen die Ankathete wir können zur Abwechslung einfach mal den Tangens verwenden damit der auch mal drin vorkomment also Tangens von 75° ist damit nämlich die Gegenkathete also 1,75 geteilt durch die Ankathete das Z und um die Gleichung nach Z umzustellen multiplizieren wir mit Z damit der Tangens erstmal mit Z hier auf der linken Seite multipliziert wird und die 1,75 alleine stehen und dann teilen wir durch den Tank Tangens damit das Z alleine steht und wenn ihr 1,75 durch den Tangens von 75° in den Taschenrechner eintippt kommt ihr auf einen Wert von 0,47 m für unser Z und damit ist unser a insgesamt 7,66 + 0,47 + 0,47 und a ist dann 8,6 m lang und damit haben wir alles gefunden von unserer Figur und haben Teil A erledigt Teil B berechne den Flächeninhalt der Figur okay Flächeninhalt nennen wir einfach mal a der setzt sich ja zusammen aus dem Flächeninhalt von dem Trapez das nenn ich mal a Trapez plus dem Flächeninhalt von dem Dreieck was ich als AD bezeichne wir starten mal mit dem Flächeninhalt für das Trapez wie ist da die Formel für ein/b mal und jetzt addiert man die Längen der beiden Seiten die sich parallel gegenüberliegen das sind diese hier also 8,6 in unserem Fall wird addiert zu 7,66 und jetzt sind wir noch nicht fertig das ganze muss noch mit der Höhe des Trapezes multipliziert werden die hier mit 1,75 gegeben war all das rein in den Taschenrechner und ihr haltet einen Wert von 14,23 für den Flächeninhalt des Trapezes ähnlich gehen wir vor für den Flächeninhalt von unserem Dreieck das fehlt ja noch da ist die Formel ja 1/2b mal die Grundseite mal die Höhe wir können als Grundseite hier diese Seite nehmen und die Höhe haben wir auch schon berechnet das heißt 7,66 wird einfach multipliziert mit 1,92 und wenn wir das Ausrechnen erhalten wir einen Wert von 7,35 für den Flächeninhalt von unserem Dreieck und dann müssen wir die beiden einfach nur noch zusammen rechnen und erhalten diesen Wert insgesamt für den Flächeninhalt von unserer Figur von der Einheit war hier alles in Metern gegeben das heißt dieser Flächeninhalt hier ist in Quadratmetern angegeben wow da war auf jeden Fall einiges drin ich hoffe es hat euch geholfen ihr habt gut durchgehalten bis zum Schluss ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächst Video macht's gut