Studieren in den USA? – Aufnahmetest Uni

hallo ihr Lieben heute habe ich euch eine Aufgabe aus dem Sat Sat Test mitgebracht das ist ein Aufnahmetest den man an vielen amerikanischen Universitäten ablegen muss wenn man dort studieren möchte also schauen wir mal ob wir diese Aufgabe lösen können die Koordinaten XY aller Punkte auf dem gezeichneten Kreis erfüllen die Gleichung x² + y² = 25 die Gerade g verläuft im Punkt C tangential zum Kreis wenn die x-Koordinate des Punktes C = 3 ist wie lautet dann die Steigung der Geraden g okay einige Informationen hier im Text wir gehen das Schritt für Schritt gemeinsam durch wir bekommen hier auch eine Zeichnung in der wir uns ein bisschen was erklären können wir haben hier ein Koordinatensystem gezeichnet die Achsen können wir mal mit X und Y bezeichnen und dann haben wir hier einen Kreis gezeichnet die Kreis Gleichung wird uns gegeben aber hier wird auch ein Punkt eingezeichnet der auf dem Kreis liegt die -5 0 der Ursprung ist eingezeichnet und der Punkt C soll auf diesem Kreis liegen aber genauso soll C auch auf dieser Geraden liegen und zu dieser Geraden bekommen wir die Information dass die im Punkt C tangential zum Kreis verlaufen soll also diese gerade hier ist eine Tangente an diesem Kreis das heißt diese gerade berührt diesen Kreis hier im Punkt C das sind alle Angaben die wir haben dann schauen wir mal wie wir hier die Steigung unserer Geraden g bestimmen können das ist letztendlich das was gesucht ist die Steigung hiervon vielleicht starten wir mal mit der Kreisgleichung wir müssen irgendwo starten also schnappen wir uns mal die Kreisgleichung und schauen was die uns sagt so eine Kreisgleichung ist ja immer so aufgebaut dass aus ihr den Mittelpunkt des Kreises ablesen kann und den Radius des Kreises für einen Kreis reicht es den Mittelpunkt zu kennen und den Radius und diese beiden Angaben die findet man in dieser Gleichung hier vom Mittelpunkt findet man die Koordinaten die nenne ich einfach mal x die x-Koordinate nenne ich mal XM vom Mittelpunkt und die y-Koordinate ym die finde ich hier auf dieser Seite die x-Koordinate finde ich bei dem X die ykoordinate finde ich bei dem y ich habe da jetzt keine Zahlen markiert weil da halt keine Zahlen sichtbar sind das bedeutet für uns dass die x-Koordinate 0 ist und die ykoordinate auch 0 ist also in unserem Fall ist der Ursprung so wie es hier eben auch aussieht ist der Ursprung unser Mittelpunkt des Kreises aber nur für euch als Info wie das hätte aussehen müssen damit da andere Koordinaten vom Mittelpunkt sichtbar gewesen wären dann hätte man hier bei dem X z.B noch eine eine Zahl abziehen müssen und dann erst quadrieren dann wäre die 3 unsere x-Koordinate vom Mittelpunkt und bei dem yteil wenn da z.B noch eine Zahl abgezogen wird und dann erst quadriert dann wäre die 7 die ykoordinate vom Mittelpunkt aber nur so grundsätzlich aber bei so einer Kreisgleichung steht auf der rechten Seite ja noch eine Zahl und die hilft uns den Radius zu finden das ist eine Quadratzahl und auf der rechten Seite bei dieser Kreisgleichung steht nämlich der Radius zum Quadrat das heißt wenn ich diese 25 jetzt in die quadratschreibweise bringe nämlich 5 zum Quadrat ist 25 dann sehe ich direkt den Radius von meinem Kreis das ist nämlich einfach die fün und dann würde ich mal sagen tragen wir den Radius hier auch mal ein der läuft ja immer vom Mittelpunkt zum Kreisrand die Frage ist nur wo soll ich den hier einzeichnen ich habe ja viele Möglichkeiten diese berührp hier sind immer ganz spannende Punkte wenn man mit solchen Aufgaben arbeitet deswegen würde ich vom Mittelpunkt zum Kreisrand den Radius hier einzeichnen dass wir mit dem arbeiten und der hat die länge 5 okay dann machen wir hier mal noch mal alles weg die Kreisgleichung haben wir benutzt wir haben eine Information hier bekommen dann standen ja aber noch weitere Infos im Text nämlich dass die x-Koordinate von unserem Punkt C 3 sein soll also tragen wir das hier mal ein als x-Koordinate können wir 3 eintragen zu ykoordinate wurde nichts gesagt also nenne ich die einfach mal y die kennen wir noch nicht aber wenn wir hier dann mal unser steigungsdreieck einzeichnen dann wissen wir dass dieses Stückchen auf der x-Achse eben unserer x-Koordinate entspricht also dass das 3 lang ist und das Stück auf der yachse das nach oben läuft ist halt y lang kennen wir noch nicht aber das macht nichts denn wir haben uns jetzt hier ein rechtwinkliges Dreieck gebastelt in dem y vorkommt und die anderen beiden Seiten sind bekannt also können wir y ausrechnen mit dem Satz des Pythagoras der sagt ja guck erstmal wo deine Hypotenuse ist also gegenüber vom rechten Winkel hier die Seite das ist die Hypotenuse und dann nimm die anderen beiden Seiten also die dre erstmal und quadriere die plus die andere Seite also das Y und quadriere die und dann kommt da die Hypotenuse zum Quadrat raus also 5 zum Quadrat diese Gleichung können wir nach y umstellen vielleicht berechnen wir erstmal hier 3 zum Quadrat sind 9 und auf der anderen Seite 5 zum Quadrat sind 25 dann bringen wir die mal rüber indem wir -9 rechnen dann steht das y²adrat alleine da auf der anderen Seite 25 - 9 sind 16 und um nach y aufzulösen muss das Quadrat verschwinden also ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten dadurch erhalten wir zwei Lösungen eine erste positive Lösung und eine zweite negative Lösung die Wurzel von 16 ist erstmal 4 und dann noch die Wurzel von 16 also -4 als zweite Lösung die Frage ist macht -4 hier Sinn in unserem Beispiel wir haben hier unser y läuft nach oben in den positiven Bereich von daher ist unser y als Seitenlänge auch hier in dem Fall positiv den negativen Wert können wir einklammern wir arbeiten nur mit der vier können wir hier dann eintragen für unser y dass das den Wert 4 hat und auch hier für unser y dass das den Wert 4 hat und in schön habe ich das jetzt mal noch mal hier hin gezeichnet okay dann haben wir jetzt einiges benutzt die Kreisgleichung haben wir verwendet die x-Koordinate vom Punkt C haben wir verwendet was wir noch nicht verwendet haben ist dass unsere gerade um die es hier ja eigentlich geht von der wollen wir ja die Steigung berechnen ne nur mal so zur Erinnerung mal noch mal was wir eigentlich wollen aber wir haben eben noch nicht verwendet dass diese gerade eine Tangente an diesen Kreis ist was bedeutet das denn für uns diese Tangente berührt diesen Kreis ja in diesem Punkt C dann weiß man immer automatisch und das ist immer so dass diese Tangente dann senkrecht steht zu diesem Radius den man hier eingezeichnet hat vom Mittelpunkt zu diesem Berührpunkt die stehen senkrecht das ist für Steigungen mega praktisch denn von zwei Geraden die senkrecht aufeinander stehen weiß man etwas über ihre Steigung ich nenne die Steigung von dem radiusteil einfach mal Mr das ist die Steigung von unserem Stück hier und die Steigung von unserer geraden nenne ich mal mg für m gerade und da gilt folgender Zusammenhang wenn die senkrecht aufeinander stehen das nämlich Mr also die Steigung von dem radiusstückchen wenn man die multipliziert mit der Steigung von der Geraden dann muss da immer -1 rauskommen das heißt für uns wenn wir die Steigung von unserem radiusstückchen berechnen können dann können wir mit dieser Gleichung die Steigung von unserer geraden finden was letztendlich gesucht war also es ist nicht mehr lang wir suchen jetzt nur noch die Steigung von unserem radiusstückchen aber die haben wir hier in einem steigungsdreieck drin und mit einem steigungsdreieck kann man natürlich die Steigung ausrechnen man muss nur den y teil nehmen die vi und den Teilen durch den X Teil durch die 3 und schon haben wir hier unsere Steigung gefunden es war jetzt nicht mehr schwer wir haben viel vorgearbeitet vier Drittel setzen wir dann also hier ein für die Steigung von unserem radiusstück und diese Gleichung müssen wir nur noch nach der Steigung unserer geraden auflösen indem wir die vier Drittel auf die andere Seite bringen also durch 4 Drittel teilen oder mit dem Kehrwert multiplizieren also mal 344 rechnen dadurch löst sich der Bruch hier auf unsere gesuchte Steigung steht alleine da und -1 x 3/4 sind -344 und damit haben wir die Aufgabe gelöst ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare ansonsten hab noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut