Welche Zahlen fehlen? – Gleichung lösen

hallo ihr Lieben heute habe ich euch folgende Aufgabe mitgebracht finde den Wert von X + y wenn X und Y natürliche Zahlen echt größer 0 sein sollen und es gilt X + XY + y = 54 okay unsere beiden Zahlen X und Y sollen also natürliche Zahlen echt größer als 0 sein das heißt es geht bei der 1 Los 1 2 3 4 5 diese positiv ganzen Zahlen kommen für x und y in Frage genauso sollen sie diese Gleichung hier erfüllen und wir suchen dann letztendlich die Summe von x und y also schnappen wir uns mal unsere Gleichung und schauen wie wir die lösen können wie wir unsere Werte für x und y hier finden können wir haben ja nur eine einzige Gleichung aber zwei Unbekannte hier drin das ist schon mal eine schlechte Voraussetzung aber das Gute ist dass wir ja gesagt bekommen dass es sich bei unseren unbekannten um natürliche Zahlen handeln soll das macht das Lösen von dieser Gleichung dann um einiges einfacher da wir diese Einschränkung hier haben da geht man nämlich normalerweise dann so vor dass man die Zahl auf der einen Seite stehen lässt und die andere Seite versucht in ein Produkt umzuschreiben also das ist das was wir gleich machen werden wir versuchen hier aus dieser Summe ein Produkt von zwei Faktoren zu machen also irgendwas mal irgendwas das so umzuschreiben und dann würde man auch die andere Seite in ein Produkt zerlegen und dann guckt man einfach von der Zahl 54 welche Zerlegungen gibt's da das ist ja sowas wie 2 x 27 z.B oder einmal 44 oder auch rumgedreht 54 x 1 und guck dann wie viele Varianten davon finden wir in der Hoffnung dass es nicht allzu viele sind und Vergleich dann beide Seiten guck dann welche machen Sinn welche führen zu Widersprüchen und so weiter und so fort also das wäre jetzt mal unser Plan dass wir die linke Seite in ein Produkt zerlegen ja wir haben hier drei Teile wir könnten uns vielleicht erstm nur um diese beiden Teile kümmern wir haben hier eine Summe in beiden kommt ein X vor dann lasst uns doch das X mal aus dieser Summe ausklammern also wenn wir x hier rausziehen was bleibt in der Klammer übrig hier vorne hatten wir 1 x wenn wir das X rausziehen bleibt nur die 1 übrig dann kommt das Plus und hier hinten wenn wir das grüne x rausziehen bleibt nur das Y übrig dann haben wir hinten dran noch das + y und auf der rechten Seite unsere 54 okay jetzt haben wir hier ein Produkt aber hier ist ja noch dieses + y also letztendlich ist das eine große Summe immer noch auf der linken Seite wir wollen ein Produkt hinbekommen also müssen wir noch mal schauen können wir was ausklammern aus dieser Summe hier aber wenn wir uns den Teil anschauen und den Teil anschauen dann haben die nichts gemeinsam was wir hier ausklammern können hier ist halt nur y und hier zu dem y ist ja noch ein +1 mit dabei also wir können nicht einfach nur y ausklammern wir könnten nur y + 1 ausklammern na dann fügen wir doch einfach auf beiden Seiten der Gleichung eine ein Hinz können wir machen ist eine Gleichung wir dürfen + 1 auf beiden Seiten rechnen dann hätten wir bei unserem y nämlich ein + 1 mit dabei machen wir das mal also dann steht hier vorne der Teil da mit der Klammer dann kommt das Plus dann kommt unser y und dann fügen wir eben auf beiden Seiten ein hinzu auf der anderen Seite eben auch 54 + 1 sind dann 55 okay jetzt haben wir hier unser y + 1 oder 1 + y wenn ihr wollt könnt das auch einfach rumdrehen falls es euch besser gefällt damit es eher die Struktur hat von hier vorne wir können auch eine Klammer drum rum machen falls wir uns damit wohler fühlen ist alles erlaubt wir sehen auf jeden Fall in dieser Summe hier haben wir hier vorne einmal diese Klammer und hier hinten einmal diese Klammer na dann klammern wir die doch einfach aus damit wir ein großes Produkt auf der linken Seite stehen haben dann mal los Klammer wird rausgezogen also dieser grüne Ausdruck einmal raus was bleibt dann in der Klammer übrig das Plus hier kann ich schon mal hier hin schreiben hier vorne aus dem Teil wenn wir da das grüne rausziehen bleibt nur das X übrig und hier hinten in dem Teil hatten wir ja nur einmal diese Klammer wenn wir die Klammer rausziehen bleibt dann eben diese 1 übrig auf der rechten Seite haben wir unsere 55 okay das habe ich jetzt mal noch mal hier hingeschrieben wir haben es geschafft unsere linke Seite in ein Produkt zu zerlegen irgendwas mal irgendwas soll jetzt 55 ergeben und wir haben ja gesagt jetzt wollen wir die rechte Seite auch noch in ein Produkt zerlegen und zwar in alle möglichen Produkte die dafür in Frage kommen könnten wir könnten mal die Primfaktorzerlegung der Zahl 55 machen denn dann finden wir alle Faktoren die hier drin stecken die Zahl ist ja durch 5 teilbar also 5 x 11 können wir da draus machen dann haben wir die Primfaktorzerlegung schon gefunden das sind beides Primzahlen weitere Faktoren gibt es nicht also gibt's hierfür die Möglichkeit dass wir 5 mal 11 das Ganze eben zerlegen können oder umgedreht auch noch 11 x 5 könnte ja sein dass das ein Unterschied macht von den Ergebnissen was man aber nicht vergessen darf es könnte ja auch nur einmal 55 sein also das die Kombination gibt's ja immer oder umgedreht 55 x 1 weitere Kombination kann es es nicht geben können die jetzt alle in Frage kommen also wenn wir uns die hier mal anschauen einmal 55 das würde bedeuten hier vorne der Teil muss 1 ergeben und hier hinten der Teil muss 55 ergeben kann das hier vorne sein wir haben 1 + y und da sagen wir das muss 1 sein wir rechnen zu einer 1 eine natürliche Zahl hinzu die größer als ull ist also unsere Menge hier startet bei der 1 2 3 und so weiter und so fort das heißt wenn wir zu der 1 die kleinste Zahl nur dazu rechnen die 1 dann sind wir hier schon bei 2 also eins kann dafür die Klammer überhaupt nicht rauskommen deswegen ist diese Kombination hier gar nicht möglich genauso die 55 x 1 ist auch nicht möglich wegen hier der zweiten Klammer selbst wenn unser x die kleinste Zahl hier ist die 1 sind wir hier schon bei 2 also diese Kombination macht auch auch keinen Sinn dann können nur noch diese beiden Kombinationen vorkommen das heißt entweder meine erste Klammer ist 5 und meine zweite Klammer ist 11 oder umgekehrt meine erste Klammer ist 11 und meine zweite Klammer ist 5 starten wir mal mit der ersten Kombination das heißt entweder 1 + y ergibt 5 und X + 1 ergibt 11 das ist ein erstes kleines Gleichungssystem das wir gleich lösen können oder schreiben wir direkt die zweite Variante auch noch auf oder 1 + y ergibt in der zweiten Variante 11 und die andere Klammer X + 1 ergibt die 5 dann lösen wir diese Gleichungssystem jetzt mal hier können wir direkt nach y umstellen indem wir -1 rechnen also ist unser y 5- 1 sind 4 und hier können wir direkt nach X umstellen indem wir -1 rechnen 11 -1 für unsere x kriegen wir hier 10 raus hier ähnlich schnell wenn wir nach y umstellen wollen müssen wir einfach nur -1 rechnen 11 - 1 sind 10 und für unser x hier in der zweiten Gleichung kriegen wir den Wert 5- 1 4 raus also einfach nur die Zahlen umgedreht gesucht war letztendlich ja einfach nur X + y also wenn wir die beiden zusammenrechnen kommen wir hier auf 14 hier genauso kommen wir auch auf 14 also 14 ist unsere Lösung für diese Summe hier und damit haben wir die Aufgabe gelöst ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut