RÉSOUDRE UN SYSTÈME INÉDIT... ou pas 😅

un système un peu inédit mais très accessible je compte sur toi pour le faire avec moi allez viens le système à résoudre x² - y² = 5 et XY autrement dit X X Y = 6 détermine la valeur de x et de y comment faire quand le système un peu inédit comme ça avec des x² bah comme d'hab avoir un réflexe ici en fait moi le premier réflexe que j'ai eu c'est bah en haut x²- y² bah c'est précisément une identité remarquable a²- B car donc moi sur un brouon j'ai juste écrit ce que ça valait pour voir si ça me mène quelque part quand on factorise X ² - y² voilà ce qu'on obtient x - y facteur de X + y donc moi j'aiécris ça sur mon brouillon et je me suis dit est-ce que c'est utile j'ai regardé l'autre ligne X X Y = 6 je me suis dit bah pas vraiment j'ai pas de X X Y qui est apparu je peux pas l'utiliser là-dedans donc même si c'était peut-être le réflexe que tu as eu comme moi parce qu'il sautait aux yeux bah en fait il est pas vraiment utile comment est-ce qu'on pourrait faire alors bah généralement quand le système n'est pas linéaire tu vois quand tu as des racines carrées quand tu as des X carré quand tu as des éléments en plus que le système classique j'ai envie de dire général privilégie la méthode par substitution c'est-à-dire tu isoles une de tes quatre variables tu isoles une de tes quatre lettres la plus gentille et ensuite tu injectes sa valeur dans l'autre équation comme ça la deuxième équation bah tu auras plus qu'une seule lettre et tu sauras faire là déjà quelle ligne tu vas utiliser pour isoler X ou Y bah dans la première on on pourrait avoir x² é= quoi encore une fois on se pose x² é= et B 5 + y² mais c'est pas x² je voudrais isoler c'est x ah donc c'est embêtant faudrait que je mette la racine carrée et ensuite comme ça j'aurais X mais tu auras X avec une racine que tu injectes dans l'autre équation c'est très embêtant j'espère que tu vois que c'est très embêtant c'est pour que c'est pas celle-ci qu' fallait utiliser pour isoler mais celle-là donc que vos y par exemple allez on change comme ça on garde X Y é= quoi si je veux conserver le y bah c'est le X qui passe de l'autre côté X il multiplie donc de l'autre côté il va diviser donc y = 6 sur X ben voilà ça c'est la valeur de y 6 sur X ça vaut y ah ouais ici a du y donc je remplace 6/ X dans la première équation et ben voilà j'aurais une équation avec une seule inconnue et je pourrais la résoudre quand tu as un système tu as le droit d'intervertir les lignes donc moi j'ai réécrit la première ligne ici une fois que j'ai isolé y ce qu'on a fait ensemble y = 6/ X et donc dans l'autre ligne je vais remplacer donc le y par 6/ X donc j'ai x² moin en fait bah 6/ X au carré parce que c'est y² donc je mets le carré ce que j'ai trouvé é=al 5 ou je me suis pas trompé sur les valeurs ok donc qu'est-ce que ça donne quand tu as une fraction au carré en fait c'est que tout le monde prend du carré le suici prend du carré et le X également tu vois là si tuétais sur une copie et que tu voulais être parfaitement rigoureux il faudra à chaque fois réécrire les deux lignes avec la colade moi c'est pas ce que je vais faire je vais récupérer que la première ligne je vais la travailler au corps et ensuite je trouver X et une fois qu'on aura x on pourra remplacer ici pour trouver y d'accord donc moi jeécris qu'une ligne et donc comme je t'ai dit une fraction au carré tout le monde prend du carré le numérateur prend du carré et le le dénominateur prend du carré une fois qu'on est ici tu vois il y a plus qu'une seule inconnue c'est ce que je t'ai dis mais tu tu as des X Carr en haut et en bas c'est pas très joli mais tu as plus que du X donc ne te plains pas qu'est-ce qu'on pourrait faire bah un des réflexes ici bah ce serait de mettre tout le monde sur un même dénominateur ces deux réflexes cousins factorisés ou mettre au même dénominateur bah suivant le cas de figure tu y penses x² à l'URE on parle il est sur 1 pareil pour 5 donc je vais mettre tout le monde sur x² parce que je suis visionnaire quand tout le monde sera sur x² je pourrais les enlever bah parce que si a sur b = c/ b avec B différent de 0 oups je l'ai oublié ici alors qu'est-ce qu'on peut dire en fait si tout le monde est divisé par B c'est comme si personne ne l'était donc on peut dire que A = C et ben c'est le même principe ici je vais mettre tout le monde sur x² comme ça je vais enlever les dénominateurs et donc juste maintenant je prends le temps de préciser j'aurisu préciser x doit être différent de 0 bah sinon ça ne fonctionne pas d'ailleurs on peut le voir directement parce que si x = 0 0 FO quelque chose ne m'amènera jamais à 6 donc X est bien différent de 0 et même y d'accord on peut même préciser allez si ça nous fait plaisir y différent 0 ok donc maintenant jeis MRE tout le monde sur x² donc lui je fais X x² en haut et en bas et lui également je fait X x² en haut et en bas la stratégie c'est de ressembler à ça à la fin donc ici j'ai qu'un seul trait de fraction tout le monde en bas va être sur x² qu'est-ce que j'ai au numérateur ah oui x² x x² on arrive à combien on arrive à puissance 4 ça fait x pu 4 36 é= bah 5x² sur x² et là c'est du bon je peux enlever les dénominateurs donc ça veut dire qu'on a X4 - 36 = 5x² bah une fois qu'on est là bah on a qu'à mettre tout le monde d'un côté et ordonné c'est par puissance décroissante de X donc X4 je lui amène 5x² qui devient - 5x² On A - 36 = 0 comment est-ce qu'on fait pour résoudre cette équation là bah c'est pas une équation du secondde degré avec Delta on peut pas la résoudre directement mais on l'a fait souvent sur la chaîne tu as un élément et son carré c'est hyper fréquent quand tu as un truc et son carré il faut faire un changement de variable et dire ah ouais en fait c'est quand même un peu une équation du second degré sauf que mon inconnu c'est pas juste X mais ça va être une nouvelle lettre parce que ça fonctionne quelque chose et son carré donc on va appeler t T = x² pour changer des grands x ma nouvelle variable et qui est bien mon truc et comme ça j'aurais T et son carré t au Carr donc que devient l'équation voilà si t é= x² on va aller ici pas trop vite ça fait x² je remplace par T donc on a - 5t - 36 = 0 ok mais si t = x² bah X4 c'est son carré pour la 8e fois donc c'est donc c'est t au carré ok donc tuas finalement résoudre cette équation qui va nous permettre d'aller chercher X et une fois qu'on a x entre les mains tac on le remplace ici et on aura y d'accord c'est ce qu'on est en train de faire pour aller chercher x l'équation on peut pas y aller frontalement on sait pas faire on fait un pas de côté on pose une nouvelle variable qui est égale à T et en fait ah ouais il faut maintenant résoudre ça et ça ça va c'est une équation du second degré et on utilise Delta Delta c'est b² - 4 AC B c'est - 5 donc b² - 5 au² on est à 25 ensuite - 4 x a X c là on voit que - 4 x 1 x - 36 donc déjà ça fait + 4 x 36 d'accord parce que x 1 ça fait pas grand-chose donc ça fait 25 plus combien comment est-ce qu'on multiplie par 4 et ben c'est le double du double le double de 36 bah tu es à 72 le double de 72 on est à 144 donc finalement que vos Delta on est à 160 69 cool pourquoi parce que 169 c'est un carré parfait dis-moi que tu l'as 13 au carré 13 au Carr 169 donc on va trouver les deux solutions ici qu'on va appeler T1 T2 bah vont être faciles à calculer parce que Racine de Delta ne va pas nous embêter tu connais la formule ou pas pour la première B- r√ Delta sur 2A B c'est - 5 donc B ça fait + 5 donc ça fait 5- √ Delta √ 169 ben je te l'ai dit 169 c'est 13 au Carr donc sin de 169 c'est 13 sur 2A 2 x 1 2 ok donc que vaut la première solution 5 - 13 on est à - 8 - 8 / 2 ça fait - 4 donc la première solution c'est - 4 la deuxème en fait il suffit de regarder ici parce que c'est juste le signe du milieu qui change donc on ne réfléchit même pas 5 + 13/ 2 5 + 13 ça fait 18 18/ 2 ça fait 9 et donc on a trouvé la deuxème solution mais qu'est-ce que c'est T1 T2 en fait c'est sont les deux solutions de cette équation là mais c'est pas vraiment t que je veux t en fait j'en ai eu besoin pour aller chercher la vérité ce que je veux ce que je veux c'est x ah oui en fait t c'était la variable tampon finalement qui est égale à x² ah oui donc les valeurs trouvées c'est x² donc il a deux petites équations à résoudre or x² = t je l'ai même écrit dans le bon sens x² c'estta donc quand on a trouvé deux valeurs de t bah les deux équations c'est x² = - 4 qui est une valeur de T et x² = 9 mais ici don dans R ah je l'ai pas précisé et dans R en fait les carrés sont positifs un nombre au carré également 4 pas possible donc cette petite équation n'admet pas de solution donc en fait pour la valeur T1 = - 4 on s'arrêtait là en revanche x² = 9 il y a de deux solutions d'ailleurs x = 3 ou x = - 3 ah oui 3 au Carr ça fait également 9 ah oui bah j'ai trouvé deux candidats deux solutions pour X c'est terminé ou pas non c'est un système et donc il faut aller chercher y qui est dans cette égalité là est-ce que tu comprends un pourquoi j'ai mis en rouge comme ça tac on la retrouve directement et de pourqu en fait j'ai pas écrir les deux lignes à chaque fois tu vois sinon il m' fallait h tableaux tu vois donc voilà une fois que j'ai trouvé les X tac ce que je t'ai dit on peut réécrire or y = 6/ x donc en fait il y a deux solutions pour y y = quoi 6/ 3 je vais directement 6/ 3 ça fait 2 ou y = 6/ - 3 ça fait - 2 et on peut vérifier que ça fonctionne voà on va prendre le premier couple solution qui est 3 2 x = 3 y = 2 vérifions si ça marche combien ça fait X X au Carr bah X au Carr ça fait 9 combien ça fait y au Carr 2 au Carr ça fait 4 9- 4 ça fait bien 5 yes et ensuite le produit est-il égal à 6 3 x 2 ça fait 6 on a gagné vérifions si la deuxème solution fonctionne c'est x = - 3 combien ça fait - 3 au Carr ça fait 9 ça pas changé et - 2 au car ça fait également 4 9 - 4 on retombe bien sur 5 et là tu vois venir le produit des deux - 3 x - 2 bah moins et moins plus quand on les multiplie ça fait bien 6 on a donc bien vérifié que ces deux solutions fonctionnent c'est un truc que je fais rarement vérifier donc il y en a pas mal qui me mettent dans les commentaires et ça me permet d'y penser donc merci à vous voilà j'ai bien aimé ce système qui est certes un petit peu long mais qui se faisait avec voilà des réflexes que l'on fait limite une vidéo sur deux donc j'espère vraiment que tu l'as fait ou que tu as parfaitement compris toutes les étapes et que le prochain tu le feras seul j'espère que ça t'a plu