BAC TUNISIE 2024 - section mathématiques- session contrôle - Corrigé Ex4 partie A analyse

[Musique] bonjour à tous Aujourd'hui on s'attaque donc au bac de Tunisie la session contrôle c'est donc sur section mathématique ici avec un bel exercice d'analyse en deux parties A et B aujourd'hui on va s'attaquer uniquement à la partie A on fera la partie B bien sûr un peu plus tard et on va étudier une fonction la fonction d'expression donc exponentielle 1- r√ x on est sur 0 plus l'infini donc il y a beaucoup de travail intéressant donc étude des variations un dérivé dérivabilité ensuite donc étude donc tracer de la courbe et là bijection réciproque donc toujours un petit peu difficile ça avec tracer de la bijection de la courbe de bijection réciproque expression donc cette bijection réciproque intégration et on fait une partie B avec ici donc une suite d'intégrale avec ici donc un paramètre dans l'intégrande donc t^iss n F de T car avec en plus une composée donc c'est sujets pour des sujets contrôle ici ça reste déjà quand même des beaux sujets on a reçu des récurrences qui nous attend donc on est parti tout de suite il y a beaucoup de travail donc première partie étude de cette fonction toutabord on regarde alors l'expression donc exponentiel de 1-√ X effectivement il faut que X soit supéri ou égal à 0 donc il y a pas de problème de définition donc on va d'abord vérifier que la droite d'équation y = 0 est une asymptote à la courbe C donc ça c'est une question de limite forcément ici en plus l'infini alors là il y a pas beaucoup difficulté parce que déjà x ça n'apparaît qu'une seule fois dans notre expression donc ça c'est vraiment des cas simples la limite de Racine caré de X en plus l'infini effectivement c'est plusini vraiment je détaille he donc la limite de 1- r√ car x on multiplie par - 1 et on rajoute 1 donc il y a pas de problème ça c'est moins l'infini on va composé par contre or la limite de l'exponentiel quand la variable t vers moins l'infini ça fait 0 donc par composé par composition la limite donc de F en plus l'infini est égal à 0 donc effectivement la courbe C la courbe de f admet donc une asymptote horizontale en plus infini et comme la limite c'est 0 donc elle sera d'équation y é= 0 et donc c'est et bien l'axe horizontal première question on va dire très simple deè question là on a fx- sur X donc là on voit bien un taux d'accroissement limite d'un taux d'accroissement on est donc sur un nombre dérivé certainement donc ça c'est l'étude de la dérivabilité de F en 0 donc comment procèdeon donc on est toujours sur la question question 1 mais 1 B donc déjà on sait que Al F0 vaut combien donc exponentiel de 1-√0 donc ça fait exponentiel de 1 donc ça fait e ça veut dire qu'ici bien quand on étudie FX F0 sur X - 0 alors ça évidemment pour tout x su strict 0 et bien ça si ça admet une limite bien ça montrera que la fonction f est dérivable en 0 donc ça ça donne fx- e sur X donc on va étudier cette limite quelle est cette limite alors regarder donc on va on prend soit X suprie ou ég à 0 strictement positif FX e sur X ça donne donc exponentielle 1 X- e sur X et là comment est-ce qu'on va régler ce problème parce qu'on une for 0/ 0 et bien là regardez en haut on a 1 ici et bien on va utiliser les propriétés de l'exponentiel ça c'est fait exponentiel de 1 c'est-à-dire e FO exponentiel de √ X e on voit que E1 ça fait e donc je peux factoriser par e donc j'obtiens e m par E2 -√ x - 1 sur X d'accord alors en haut on a r√ X en bas on a du X donc l'idée je vous le dis c'est qu'on va faire apparaître un taux d'accroissement donc ce X en bas je vais le séparer en r√ X X r√ X effectivement X est positif pour tout x positif quand on a x on peut dire c'est r√ X X RAC x parce que X est positif ici donc j'obtiens ceci multiplié par quoi par exponentielle r√ x - 1 sur √ X - 0 d'accord et bien là on va poser on va s'intéresser à ce quotient ici d'accord et là on va poser grand x ég RAC de petit x ça veut dire que je me retrouve avec exponentiel de X - 1 sur grand X et bien ça c'est un taux d'accroissement c'est le taux d'accroissement de la fonction KX associé exponentiel X en Z0 d'accord et donc comme ça c'est dérivable la dérivée c'est Mo- exponentiel - x ça çaattend vers - exponentiel - 0 grand X en ver 0+ d'accord et donc ça veut dire qu'ici par composé la limite quand Petit x t vers 0 + l'exponentiel r√ x - 1 sur √x et bien c'est la limite quand grand x t vers 0+ l'exponentiel grand x - 1 sur grand x c'est-à-dire 1 puisque exponentiel de 0 c'est exponentiel 0 ça ça fait -1 donc on a trouvé -1 donc ici ceci tend vers -1 quand Petit x tend vers 0 plus donc ensuite et bien la limite d'exponentielle de enfin de e sur r√ X ce premier facteur ici hein et bien ça de façon assez évidente hein le dénominateur tend vers plus l'infini en haut c'est fixe ça tend vers e ça tend donc vers ici plus l'infini par multiplication on a le premier facteur qui t vers plus infini le deuxième vers -1 donc par produit la limite FX e sur X quand x 0+ Mo l'infini donc ici ça veut dire on avait dit c'est Lim du T d'acroissement 0 c'est Mo l'infini donc F n'est pas dérivable en0 mais comme la limite c'est quand Mme moin l'infini et bien sa courbe C admet une tangente admet une tangente verticale au point au point donc d'abscisse je vais l'appeler a au point d'abscisse donc 0 et F de0 on avait dit c'est e donc c'est le point de coordonné 0e donc tangente verticale au point donc on est même vers le haut vers plus l'infini au point donc de de questional l'expression de la D pour X strictement positif alors ici je rappelle que pour tout x strictement positif F c'estonti 1 mais ça veut direici onit que la fonci plus vite xettectionrivable sur 0 plus l'infini parce que c'est la fonction racine carré d'accord alors si je l'appelle le G et pour tout x strictement positif g Prim c'est donc la dérivée de 1 c'est0 donc moins la dérivée de Racine c'est 1/ 2 x on a ceci donc par composition parce qu'on est de l'exponentiel aucun problème de composition avec l'exponentiel par composition bien pour tout x strictement positif donc on a F qui est dérivable sur donc 0 + infini hein si vous VZ être vraiment jusqu'au bout exponentiel et dérivable sur R donc on a vraiment aucun problème et pour tout x strictant positif F Prim x c'est donc alors f c'est exponentiel de GX donc ça sera donc g prime fois exponentiel donc de GX on trouve donc - 1/ 2 r√ car x exponentielle de 1 - r√ car x question de B on déduire que f est strictement décroissante sur 0 plus l'infini alors tout d'abord on a F prime uniquement pour X strictement positif donc faudra régler le problème en é0 donc déjà on remarque quel que soit x strictement positif 1/ 2√ car X est strictement positif donc alors on va être très précisin et l'exponentiel de 1 r√ car X est strictement positif he parce qu'on sait que quel que soit x exponentiel de X est strictement positif donc on a F Prim X qui est toujours strictement négatif ensuite on sait de plus que f est continue sur 0 plus l'infini F Prim X est strictement négatif pour tout x strictement positif donc et bien on pour dire que f est strictement décroissante sur donc le fermer 0 + infini c'est très important vraiment l'argument là c'est un argument de Contin continué dont on a besoin continuité en z0ro on peut même faire un petit tableau pour clarifier tout ça x donc FX en fonction de x on a 0 fin on a dit que F0 c'était e elle est strictement décroissante la limite en plus l'infini on avait une asymptote donc ici et donc c'était 0 donc voici hein le tableau de variation de f sur 0 plus l'infini maintenant question C montrer que le réel 1 est l'unique solution donc dans 0 + infini de l'équation FX = x alors FX = x ça équivaut à FX - x = 0 donc je vais prendre une fonction h j'avais déjà utilisé g donc je prend h donc défini sur 0 + infini à valeur d' r KX associ donc FX x on sait que F et l'application que X associ x plus infini sont toutes les de décroissante strictement sur 0 + inf F parce qu'on vient de le montrer l'application qui X- parce que c'est évident fonction infine strictement décroissante donc par somme donc par somme de deux fonctions strictement décroissantes h est aussi strictement décroissante sur 0 plus l'infini le tableau de variation il est très simple on a celui de F x donc FX - X en 0 ça fera e - 0 donc E et iciin en plus l'infini on aura donc F qui tend vers 0 et X qui tend donc vers moin on a ceci vous voyez et eu c'est strictement plus grand que 1 donc vous voyez ici on va utiliser corelire du théorème des valeurs intermédiaires autrement dit ce qui s'appelle le théorème de la bijection hein et ici comme 1 est entre e et moins l'infini hein 1 il est ici vous avez ici une une solution he qu'on peut appeler Alpha qui est alors on va la rédiger et en plus alpha on le connaît parce que si on regarde f1 - 1 ça vaut et bien 0 parce que F1 c'est exponentiel de 1 - 1 - 1 ça fait exponentiel 0 - 1 ça fait 0 donc ici il y a pas de suspense solution en fait il y a pas de Alpha dans le texte tout simplement parce que on connaît déjà alpha alpha vaut 1 donc voyez c'est encore plus simple que prévu on va même éviter le théorème de la bijjection parce que là on va se placer par sur alors sur 1 plus l'infini donc h est strictement décroissante h 1 est égal à 0 donc pour tout x strictement plus grand qu'un comme on a stricte décroissance il y a conservation des égalités strictes ça veut dire que HX est donc strictement plus grand h donc strictement plus grand que 0 et sur moins l'infini donc 1 pardon sur 0 je dis des bêtises c'est sur donc 0 1 on a la même chose pour tout x entre donc 0 et 1 HX est donc strictement plus petit que H1 plus petit que 0 donc regardez ça nous donne bien tout le signe pour tout x plus grand strictement on est strictement positif pour tout X plus petit strictement on est strictement négatif et H1 est égal à 0 d'accord donc là vous pouvez faire un tableau de signe assz évident de H donc HX en 1 ça vaut 0 avant c'est positif après c'est négatif et comme HX c'est FX - X et bien FX - x = 0 n'a qu'une seule solution et x = 1 on peut donc conclure en disant que FX - x = 0 ça admet une 1 comme unique solution sur 0 + infini et donc F x ad aussi 1 comme uneique solution sur 0+ infini donc on a terminé cette question de C 3è peesser le tableau de variation de f alors fait plusieurs fois donc ici onci FX e décroissance la limite avec notre asymptote ici 0 plus infini on peut même faire une petite précision non pour X on va pas s'embêter on sait aussi que ici en F1 ça fait 1 mais bon pas très important dans un tableau de variation mais bon vient de le faire donc maintenant tracer la courbe donc de cette fonction alors je vais chercher la calculatrice les images des enti entre 0 et 5 j'obtiens ceci je place les points et maintenant je n'ai plus qu'à tracer la courbe ça donne ceci j'ai tracé aussi la première bissectrice donc la droit d'équation y = x parce qu'on a résolu donc FX - X x é= 0 donc ici vous retrouvez la solution qu'on a trouvé c'est-à-dire x = 1 voilà donc j'ai bien respecté important sur votre donc peut-être mettre cette demi-tangente donc verticale vers moins l'infini au point de coordonnée donc 0e ici la tangente horizontale il faut la respecter on s'approche progressivement voilà on passe à question 4 petit j'ai pris un graphique avec une partie plus haute he ici parce que on va étudier donc la bijection réciproque de F et vous savez certainement qu'on va avoir à faire une symétrie par la première bissectrice du plan donc comme ça j'aurais déjà place donc montrer que f réalise une bijection de 0 plus infini sur un intervalle j que l'on déterminera donc je rappelle ce petit tableau de variation qu'on a fait précédemment qui dit que sur l'interval 0 + infini la fonction f est strictement décroissante et ici on a ceci donc la fonction f elle est continue est strictement décroissante et les deux donc sur 0 + infini donc c'estd que F réalise effectivement une bijection de son ensemble d'arrivéensemble de départ donc de 0 pardon plus infini dans 0e d'accord et donc ça veut dire qu'il y a F- 1 ça sera donc une fonction qui ira de 0e dans donc 0 plus l'infini alors ici la limite en zé pardon j'ai fermé mais ici il va falloir la limite en plus Z0 donc là on va ouvrir voilà ici donc laabction réciproque sera donc de 0 ouvert à e fermé dans 0 + infini et à X elle associera bien sûr F-1 de X voilà donc l'interval J il faut bien faire attention c'estinral donc semi-ouvert donc en 0 0 e pour la courbe donc on est en a fait donc ici la question 4 mant tracer la courbe de C prime enfin c prime la courbe de F-1 donc et bien c'est simple ça vous savez une fonction réciproque là pour à qui vous faites une symétrie par rapport à la droite d'équation y é= x la première bissectrice donc vous prenez chaque point la courbe verte la courbe donc ici c et vous prenez son symétrique et vous formerez la courbe C prime VO ici comme F1 = 1 ce point se trouve sur les deux courbes et même sur l'axe de sur l'axe donc de symétrie donc la droite d'équation y = x donc la Symptote ici donc horizontale se transforme en une asymptote verticale d'accord et la tangente ici vertical va se transformer ici au point ici vers là au point de coordonnée e0 en en tangente demi-tangente horizontale donc maintenant 5e question montrer que pour tout x appartenant à J F-1 x = 1- n2x au Carr donc on va prendre soit x appartenant à J J je rappelle que c'est donc l'interval 0 e d'accord qu'est-ce qu'on sait et bien on va prendre donc soit y donc appart à 0 + infini tel que y = F- 1 2x d'accord on sait que y = F-1 2 x ça équivaut donc à X = fy c'est-à-dire x = exponentiel de 1 -y donc là on va inverser cette relation donc on on passe au logarithme LNX on peut parce que X est strictement positif ln X est donc égal à 1 - √ Y qui équivaut à donc alors je vais mettre √ y à gauche r√ y égale donc à 1- L N x d'accord or y est strictement est supérieur ég à 0 pardon ça veut dire que y ici c'est équivut euh on met au carré ça fait donc 1 - ln X au carré effectivement on met au carré il y a pas de problème il y a bien équivalence parce que y est supéri ou égal à 0 0 et donc vous voyez qu'on a trouvé y = 1 - ln x ça veut dire que donc F- 1 x est donc égal à 1- ln X au Carr c'est exactement ce qu'on voulait montrer 5e question B une intégral donc ça ça devrait pas nous poser beaucoup de problème intégral de 1 de 1 - ln X au carré DX comment va-t-on faire et bien ici on va faire une intégration par partie hein on a du logarithme donc on va faire technique classique ici on va dériver donc le 1- n x² là on a 1 1 ici celui-ci on va intégrer en fait donc je vais poser alors en terme de technique on va dériver ceci d'accord donc ça ça va jouer le rôle de U et le 1 on va donc le c'est lui qu'on va ça veut dire que c'est V et 1 joue le rôle de V prime donc on pose u x = 1 - L N x²r d'accord donc u prime on dérive c'est donc du u²r de fois la dérivée de Mo de 1- NX c'est - 1/ x 1- ln x ensuite on a dit que v' c'est 1 donc on peut prendre VX é= à X U et V sont continu et dériva même u prime V Prim U V sont continu dérivables sur interval 1 il y a pas de problème voyez a que le ln 1 sur X on est sur des nombres strictement positifs il y a pas de souci donc on peut intégrer par partie j'obtiendrai ici le produit UV donc X X 1- n X au carré prix entre donc 1 et E moin intégral entre 1 et 2 donc nous on avait euh V Prim u donc ça sera u Prim V donc on aura x FO ceci alors le 1/ X et le X vont se simplifier il y a un moins par contre qui va traîner qui va changer ce moins ici en plus j'aurai donc 2 FO 1- L N x DX donc entre crochet je remplace d'abord par e ça fait E x 1- ln qui vaut 1 ah ça va faire 0 moins la valeur en 1 donc j'aurais une FO 1- ln qui vaut 0 au carré plus deux fois donc l'intégrale de 1- n x DX donc pour l'instant il me reste ici en cas ça fait 1 - 1 + 2 fois l'intégral de 1 à e de 1- ln X X alors la question c'est est-ce que vous connaissez une primitive de ln si oui on va le faire tout de suite sinon je vous montrerai comment on fait donc primitive de 1 c'est donc on va prendre X et primitive de l on va prendre x he donc c'est x ln X- x ça c'est une primitive c'est la plus connu voilà et donc vous prenez ça entre 1 e il vous reste deux fois donc en e ça fera e Mo e LN2 qui vaut un e donc ça ça fait encore 0 moins la valeur en 1 donc j'aurais - 1 moins moins donc plus fait très attention je remplace ici ça fera 1 n 1 donc ça fera 0 - 1 donc on aura donc + - 1 voilà donc il me reste - 1 + 2e donc ça ça se simplifie là j'ai - 2 x 2 ce qui me fait 4 on obtient 2e - 5 est-ce que c'est ce qu'on voulait c'est parfait très bien donc ça c'est pour ceux qui connaissent une expression d'une primitive 2 ln x sinon ben vous refaites une deuxème intégration par partie alors je vais la faire rapidement c'est toujours le même principe ici vous considérez qu'il y a 1 le 1 va être intégré qui donnera x le 1 x va être dérivé ça fera 1/ x donc ça c'est u x u Prim x VX V U V u Prim V Prim sont continue dérivable a pas de problème sur l'intervalle et donc j'auraisci entrecrochet les de U et V donc j'auris X X 1- ln x moin l'intégral il y a le moins ici ça fera plus de donc x x 1 sur X ça fera ça fera 1 que j'ai déjà considéré le moins pour changer le signe il me reste donc -1 + deux fois ici je remplace par e on aura un 0 je remplace par 1 donc - 1 voilà il me reste à faire donc l'intégrale attention elle sera deux fois Inal de 1 c'est une constante entre 1 et E ça fait e - 1 j'obtiens - 1 - 2 + 2e - 2 ce qui fait 2e - 5 c'est parfait et maintenant dernière question de C par calculer l' de la partie limité du plan limité par Labe C droit d'équation x = 0 X = Y c'est certainement li à l'intégrale qu'on vient de calculer alors sur notre figure donc on est entre 0 et 1 et c'est pour la courbe C donc ça veut dire que là on demande en fait l'air de cette partie Hur donc les deux verticales ici j'ai bien les signifier donc on a équation x = 1 x = 0 y = 0 et là y = FX donc c'est l'air en fait de ce domaine alors il faut rappeler que sur ce domaine la fonction est positive donc sur 01 FX est supérie ég à 0 de toute façon FX est toujours supériur ég c'est un exponentiel donc ça veut dire que l' R a correspond donc à l'intégrale de 0 à 1 de FX DX c'est-à-dire l'intégral 2 0 à 1 d'exponentiel 1 - √x DX donc là là il va falloir revenir à l'intégral précédent on vaêre très rusé parce que là on a une symétrie par symétrie je vais prendre le symétrique de cette zone rose ici et voyz par symétrie ça va me ramener sur la courbe de F-1 parce que symétrique ici on ceci voilà jusqu'à exactement e puisque on va de 0 à E par symétrie là on ira de 0 à e ici on aura cette forme là et donc ça veut dire que notre zone rose elle est la même que cette zone bleue d'accord cette zone bleue et bien il y a une partie qui correspond ici un domaine calculé avec la fonction F-1 et vous avez ici un carré le carré unité donc c'est que par symétrie notre r c'est donc l'air du carré unité plus l'intégral ici parce que la fonction sur 1 e F-1 de X est supé égale à 0 c'est simple c'est par symétrie par rapport à donc la première bissectrice du plan donc ça veut dire que ce domaine il correspond à l'intégrale de 1 à e de F-1 de X DX l'air du car unité c'est 1 plus cet intégrale qui est exactement l'intégral de 1 de 1- n x²r DX qu'on vient de calculer la question précédente c'était 2e - 5 donc là j'ai 2e - 5 ce qui me donne 2e - 4 unités d'air on a terminé ce joli exercice petite astuce graphique à la fin très Simp sympa pour ceux qui ça intéresse on fera très prochainement la suite donc la partie B avec ici une suite d'intégrale FN x = intégral de 0 à X de t^iss NF de t² DT donc des démonstrations des limites relation de récurrence sans de variation il y a beaucoup de travail encore donc ça va être intéressant à très bientôt