Inégalité de concentration - Maths - Terminale - Les Bons Profs

[Musique] dans cette vidéo nous allons parler analyser ensemble l'inégalité de concentration et l'appliquer à un exemple concret pour appliquer l'inégalité de concentration nous avons besoin d'un échantillon de variaable aléatoire donc X1 X2 jusqu'à xn d'espérance MU et de variance V et on va considérer la moyenne la variable moyenne de cet échantillon donc j'ai rappelé ici hein c'est la somme des variables divisées par leur nombre et donc pour tout réel Delta strictement positif inégalité de concentration nous dit que la probabilité que la valeur absolue de mn mu donc l'écart entre la variable moyenne et l'espérance donc que cette probabilité soit supérieure à Delta est infé égale à la variance divisé par N FO Delta au carré donc on peut le reformuler autrement ça c'est la même chose que dire que la probabilité que MN n'appartienent pas à l'intervalle mu- Delta mu + Delta toujours pour tout Delta réel euh et cette probabilité euh est donc inférieure à la variance divisé par N Delta au car j'ai oublié une parenthèse et donc on va appliquer ça tout de suite concrètement vous allez voir c'est pas très difficile il faut juste trouver toute les variances l'espérance bien analyser le problème et après on l'applique donc déjà concrètement qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire qu'en fait on sent que plus n va être grand plus l'écart entre la variable moyenne et l'espérance va être petit donc la valeur moyenne va se rapprocher de l'espérance plus l'échantillon la taille de l'échantillon est grande alors un exemple concret donc on a 100 personnes qui jouent indépendamment à un même jeu dans la variable aléatoire associée au gains en euro à pour espérance 11 et variance 2 donc l'énoncé nous demande une majoration de la probabilité que la moyenne des gains de ces 100 personnes soit comprise entre 9 et 13 € voilà une situation bien concrète quand on au casino ou dans les jeux de de de grattage pour voilà faire des choses qui sont favorables à celui qui crée le jeu bien évidemment pour faire cet exercice on a besoin déjà d'un échantillon de variable aléatoire donc on va considérer XI pour i varier entre 1 et 100 le gain du im joueur euh et on a alors X1 jusqu'à X2 jusqu'à xn un échantillon associé à une loi d'espérance 11 et de variance 2 donc m sa moyenne et nous ce qu'on veut je l' écris vraiment comme dans l'énoncé on cherche la probabilité que M appartienne à l'interval 913 donc maintenant à partir de ça il va valoir le retranscrire sous cette forme là et là en fait c'est l'inverse parce que regardez nous ce qu'on a dans l'inégalité de concentration c'est la probabilité que la moyenne n'appartienne pas alors que là on veut qu'il appartienne pas de problème on utilise juste l'événement contraire donc la probabilité que M appartienne à l'intervalle 913 c'est la probabilité que de la valeur absolue de m- 11 c'est-à-dire mu je vous rappelle l'espérance soit inférieur à 2 donc là on a du inférieur alors que là on a du supérieur cette probabilité est donc on passe aux évement contraire supérieur à 1 - v/ N Delta car donc 1 - v la variance c'est 2 divis par n n c'est la taille de l'échantillon c'est 100 et Delta Delta on a vu que c'était 2 ici n Carr euh après un rapide calcul on a donc 1 - 2/ 400 c'est-à-dire 1 - 1/ 200 on obtient donc 1 - 005 c'est-à-dire 0,995 donc la probabilité que le gain se situe dans l'intervalle enfin que le gain soit entre 9 et 13 € vaut 0 995 [Musique]