Raisonnement par récurrence ♦ Inégalité ♦ 2^n ⩾ n+1 ♦ Terminale spécialité mathématiques

bonjour et bienvenue sur jcompris.com pour un nouvel exercice sur le raisonnement par récurrence on vous demande de démontrer donc par récurrence cette inégalité et du coup l'intérêt de cet exercice il est double d'abord s'entraîner sur le raisonnement par récurrence et également revoir les règles sur les inégalités ce qui peut parfois poser problème donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause essayer de faire tout seul cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y corrigeons cet exercice on nous demande de démontrer par récurrence cette inégalité et la première chose à faire quand on fait un raisonnement par récurrence c'est de donner un nom à la propriété qu'on veut démontrer et donc cette propriété qu'on va démontrer on va l'appeler PN voilà c'est ce que j'ai écrit ici et donc maintenant on peut attaquer la première étape du raisonnement par récurrence l'initialisation il faut vérifier que cette propriété qu'on va démontrer elle est vraie pour la plus petite petite valeur de n possible et comme n c'est un entier naturel c'est un entier positif la plus petite valeur pour n possible c'est 0 donc maintenant on va remplacer tout simplement n par 0 dans PN et vérifier que ceci est vrai donc on y va je remplace N par 0 donc pour le moment je suis au brouillon donc ça me fait P0 de points donc 2^iss 0 supérieur ou égal je remplace partout n par 0 donc supérieur ou égal à 0 + 1 et maintenant il y a plus qu'à calculer la partie gauche et la partie droite alors 2 exposant 0 2 exposant 0 ça vaut 1 et 0 + 1 bah ça fait 1 également et donc ça nous donne 1 supérieur ou égal à 1 1 supérieur ou égal à 1 c'est vrai et donc ça veut dire que P0 est vrai donc ce qui termine l'initialisation et maintenant il y a plus qu'à mettre au propre ce qu'on vient d'expliquer au brouillon et pour rédiger je remplace donc n par 0 mais je calcule séparément la partie gauche et la partie droite c'est ce que j'ai fait ici et comme à chaque fois j'obtient 1 et bien donc je peux dire que 2 expos 0 c'est bien supérieur ou égal à 0 + 1 puisque ça vaut 1 et donc ceci est vrai c'estàdire que P0 et vrai donc ça termine l'initialisation donc maintenant on peut passer à la deuxième étape l'hérédité il s'agit de démontrer que si cette propriété est vraie au rang n alors elle est encore vraie au rang d'après autrement on dit que PN + 1 est vrai alors PN elle est écrite ici mais PN + 1 on l'a pas écrite et donc le conseil que je voudrais vous donner c'est d'écrire PN + 1 au brouillon c'est ça qui va vous donner des idées donc j'écris au brouillon ici PN + 1 alors comment on fait pour avoir PN + 1 quand on a PN et bien partout où on a n on met n + 1 donc là où j'ai N et ben je mets n + 1 et là aussi je mets n + 1 et donc ça nous donne quoi ça nous donne 2 2 expos n + 1 supérieur ou égal à n + 1 + 1 donc ça fait n + 1 + 1 ça fait + 2 donc ça fait n + 2 donc maintenant j'enlève les plus1 que j'avais rajouté voilà pour qu'on a ici à nouveau PN et donc la question maintenant c'est comment faire pour passer de PN à PN + 1 de PN à PN + 1 comment faire pour passer de là à ceci et bien regardez comme on a écrit PN + 1 ici on voudrait arriver à 2 exposant n + 1 et là on a 2 exposant N et donc la question c'est comment faire pour passer de 2 exposant n à 2 expos n + 1 bah il suffit de multiplier par 2 donc je commence pour le moment je suis au brouillon par recopier PN sur mon brouillon donc je recopie ceci 2 expos n supérieur à N + 1 et moi je veux arriver ici donc avoir 2 à la puissance n + 1 et donc je répète quand on a 2 à la puissance n pour avoir 2 à la puissance n + 1 et bien on va multiplier on va tout multiplier par 2 et donc ça nous donne 2^ n x 2 mais attention si je multiplie à gauche je dois multiplier à droite et donc à droite ça me fait 2N je multiplie tout par 2 donc ça fait 2n + 2 et quand on multiplie par un nombre positif ça change pas l'ordre donc ça reste supérieur ou égal et là faites attention sur le calcul avec les puissances parfois il y a des élèves qui disent 2^ n x 2 ça fait 2 x 2 4^ N ça c'est complètement faux quand on a le même nombre ici et là et bien quand on multiplie les exposants s'additionnent ici l'exposant c'est N et 2 c'est sous-entendu exposant 1 et donc ça fait bien quand on multiplie les exposants s'additionne ça va faire 2 exposant n + 1 et donc à droite il reste ben 2n + 2 et donc déjà à gauche on a bien ce qu'on voulait 2 expos n + 1 maintenant à droite il nous faudrait non pas 2n + 2 mais n + 2 et maintenant ce qu'il faudrait montrer c'est que ce qu'on a ici notre 2n + 2 il faudrait montrer que c'est plus grand que le N + 2 et bien on va le vérifier à part 2n + 2 2n + 2 on va vérifier on va regarder si c'est plus grand que N + 2 et bien on va tout simplement résoudre cette petite inéquation déjà on va enlever de de chaque côté et maintenant on va regrouper les n à gauche et donc pour regrouper n on va enlever n donc ça fait 2N - N ça fait n supérieur ou égal à 0 autrement dit ça cette inégalité elle est vraie lorsque n est supérieur ou égale à é0 et c'est bien le cas puisque que N c'est un entier naturel et donc comme n est supérieur ou égal à 0 bien on a bien 2n + 2 qui est supérieur ou égal à n + 2 et donc on peut bien rajouter que 2n + 2 2n + 2 c'est bien supérieur ou égal à n + 2 voilà et donc regardez ce qu'on a obtenu 2 à la puissance n + 1 c'est bien la partie gauche c'est bien supérieur à N + 2 la partie droite et donc regardez ici on a exactement obtenu PN + 1 ce qui termine l'hérédité et donc faut comprendre ce qu'on a démontré on a démontré que si ceci est vrai ceci c'est PN alors et bien ceci est vrai 2 à la puissance n + 1 c'est supérieur ou égal à n + 2 exactement ce qu'on voulait et ça c'est PN + 1 on a bien démontré que si PN est vrai alors PN + 1 est encore vrai et donc maintenant il y a plus qu'à remettre au propre ce qu'on a expliqué au brouillon et donc j'écris so un entier j'insiste bien un entier n supérieur ou égal à é0 alors pourquoi 0 parce qu'on veut montrer cette propriété à partir du rang 0 ensuite j'annonce que je vais faire supposons PN vrai et montrons que PN + 1 est vrai donc ici j'ai écris PN que j'ai supposé vrai et comme j'ai fait une hypothèse j'ai supposé PN vrai je mets par hypothèse et ensuite j'ai remis exactement le calcul qu'on avait fait et donc on en déduit que si PN si ceci est vrai alors p PN + 1 est vrai donc on n pas démontré que PN + 1 est vrai on a démontré que si PN est vrai alors PN + 1 est encore vrai et ce qui est important d'avoir en tête qu'est-ce qui m'a donné l'idée de multiplier par 2 c'est d'avoir écrit PN + 1 sur mon brouillon et donc j'insiste pour réussir l'hérédité pensez à écrire PN + 1 au brouillon c'est ça qui va vous donner des idées pour passer de PN à PN + 1 et là faut comprendre qu'en fait on a terminé on a démontré que P0 est vrai et on vient de démontrer ici que la propriété elle est héréditaire autrement dit qu'elle se transmet Durang n au rang d'après et donc comme P0 est vrai et que la propriété est héréditaire elle va se transmettre au rang d'après et donc P1 est vrai et puis elle va se transmettre au rang d'après par hérédité et donc P2 est vrai et ainsi de suite et donc cette propriété en fait elle est tout le temps vrai et donc maintenant il y a plus qu'à faire une phrase de conclusion que j'ai faite ici j'écris que P est vrai et que PN est héréditaire donc par récurrence c'est le raisonnement qu'on est en train d'utiliser et bien pour tout entier n supérieur ou égal à zé et bien notre propriété PN est vrai donc ce qui termine la démonstration de cette propriété donc voilà cette vidéo est terminée j'espère que vous avez bien compris et comme d'habitude si vous avez apprécié cette vidéo n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos