théorème des valeurs intermédiaires TVI et son corollaire - cours + exercices - fonction continue

Alors, l'objectif de cette vidéo, c'est d'abord d'expliquer ce que c'est que le théorème des valeurs intermédiaires et surtout, d'expliquer comment l'utiliser dans les exercices. Alors, prenons un exemple concret. Disons qu'on a une fonction f qui vérifie ces deux conditions. Alors déjà, comment ça va se traduire graphiquement ? Si f de 1 égale 3, ça veut dire qu'en abscisse 1, on est à 3 en ordonnée. Ça veut dire que la courbe de la fonction f passe par ce point. Et si on sait de plus que f de 4 égale 5, ça veut dire que la courbe passe par le point de coordonnée 4, 5. Donc 1, 3, 4 et 5, 2, 4 et 5. Elle passe donc par ce point-là. Et maintenant, on va considérer que cette fonction f est continue sur l'intervalle 1, 4. Ça veut dire qu'elle ne fait pas de saut sur l'intervalle 1, 4. Et le raisonnement qu'on va faire va s'appuyer sur la continuité de cette fonction. Si la fonction n'est pas continue, on ne va pas pouvoir faire le raisonnement qu'on va expliquer maintenant. Donc ici, j'ai deux points qui appartiennent à la courbe. Si je veux obtenir la courbe vu que je ne connais pas la fonction, quelle est la règle que je vais respecter ? Comme la fonction est continue, je vais donc tracer une courbe qui ne fait aucun saut de 1 à 4. Par exemple, disons, cette courbe-là est une courbe possible. Et vu que la courbe ne fait aucun saut et qu'on part de 3 pour finir en 5, ça veut dire que la fonction va prendre toutes les valeurs intermédiaires de 3 jusqu'à 5. Et j'insiste encore une fois parce que c'est très important. C'est le fait que la fonction soit continue qui implique qu'il n'y a aucun saut ici et donc que la fonction va prendre toutes les valeurs intermédiaires de 3 jusqu'à 5. Parce que regardez ici, si j'avais pris une fonction non continue, j'aurais donc eu un saut et donc il y aurait un certain nombre de valeurs comme ici qui n'auraient pas été prises. C'est le fait que la fonction soit continue qui fait que toutes les valeurs vont être prises. Alors revenons à notre fonction continue. Il faut bien se rendre compte que non seulement toutes les valeurs entre 3 et 5 vont être prises, mais elles peuvent être prises plusieurs fois. Donc on dit qu'elles vont être prises au moins une fois. Parce que voyez qu'ici, mettons, on est à 3,4. Cette valeur-là va être prise trois fois. Une fois là, une fois là et une fois là. Et si maintenant je me donne un nombre de cas compris entre 3 et 5 ? Donc quelque part ici, je vais le placer là. Je me donne un nombre de cas compris entre 3 et 5. Et je vais m'intéresser à l'équation f de x égale k. Alors vous vous souvenez comment on résout une équation du type f de x égale k ? Eh bien on cherche là où la courbe coupe la droite, cette droite-là, qui n'est pas très belle, d'équation y égale k. Pour résoudre cette équation f de x égale k, on regarde où la courbe coupe cette droite. Alors regardez, je vous ai fait un petit schéma pour qu'on y voit mieux. Si on fait varier k entre 3 et 5, qu'est-ce qu'on observe ? Eh bien on observe que la droite coupe toujours au moins une fois la courbe. Et donc ça voudra dire que cette équation, elle a toujours au moins une solution, et même parfois plusieurs. Regardez si je me place ici, ça coupe trois fois, il y aura donc trois solutions. Et ce que vous devez retenir, c'est que comme la fonction est continue, sa courbe ne va pas faire de saut, et donc la fonction va prendre toutes les valeurs intermédiaires au moins une fois entre 3 et 5, d'où le nom du théorème qu'on va donner maintenant. Et donc si on généralise, au lieu de mettre ici 1 et 4, j'aurais mis a et b, et donc ici j'aurais eu f de a et ici f de b. Et donc si on résonne avec a et b et donc f de a et f de b, si on prend une fonction f continue sur l'intervalle a-b, ça veut dire qu'il n'a pas de saut sur l'intervalle a-b, qu'on prend k compris entre f de a et f de b, eh bien l'équation f de x égale k admet au moins une solution sur l'intervalle a-b. Ça veut dire graphiquement que la courbe de f sur l'intervalle a-b va couper au moins une fois la droite y égale k. Voilà ce que dit ce théorème graphiquement. Alors une autre façon de dire exactement la même chose, au lieu de dire que l'équation f de x égale k admet au moins une solution sur a-b, ça veut dire qu'il existe un nombre de l'intervalle a-b qui, quand on le remplace dans f, donne k. Autrement dit, ça veut dire qu'il existe un nombre qu'on va appeler alpha, tel que f de alpha égale k. Dire ça ou ça, c'est exactement pareil. Donc dire que l'équation f de x égale k admet au moins une solution sur l'intervalle a-b, c'est exactement la même chose que de dire qu'il existe un nombre alpha de l'intervalle a-b tel que f de alpha égale k. C'est très important de comprendre ces deux façons de dire la même chose. Alors au passage, ici vous voyez que la fonction f de x va en dessous de f de a et elle aurait pu aller au-dessus de f de b. Mais ça, ça va dépendre des cas. Ce dont on est sûr, c'est que quand on prend une fonction continue et donc la courbe n'a pas de saut et qu'en a, on est à la valeur f de a et qu'en b, on est à la valeur f de b, et bien la fonction va prendre toutes les valeurs intermédiaires entre f de a et f de b. Elle ira peut-être en dessous de f de a ou au-dessus de f de b. Ça, on n'en sait rien, ça dépendra des cas. Ce dont on est sûr, c'est qu'elle prendra toutes les valeurs au moins une fois entre f de a et f de b. Alors la question qu'on peut maintenant se poser, c'est quelle est la contrainte supplémentaire qu'on peut rajouter à ce théorème pour que cette équation n'ait pas au moins une solution sur l'intervalle a-b mais ait exactement une solution sur cet intervalle. Alors vous voyez que si on prend k par ici, vous voyez que la courbe va couper trois fois la droite y égale k. Pourquoi ? Parce qu'ici la fonction est croissante, puis devient décroissante, puis revient croissante et donc risque de couper plusieurs fois cette droite parce que les variations de f changent. Alors quelle contrainte faut-il rajouter pour que cette équation admette exactement une solution, c'est-à-dire que la courbe coupe qu'une seule fois cette droite ? Eh bien vous l'avez sans doute deviné, on va rajouter ici comme contrainte supplémentaire que la fonction soit continue et strictement croissante. Et si on avait f de a plus grand que f de b, on aurait rajouté comme condition strictement décroissante. Donc ici la condition qu'on va rajouter, c'est la stricte monotonie. Dire qu'une fonction est strictement monotone sur un intervalle, c'est dire qu'elle est soit toujours strictement croissante, soit toujours strictement décroissante. Et donc si on rajoute comme ici sur le graphique que f est strictement décroissante, donc de manière plus générale strictement monotone, eh bien alors l'équation f de x égale k admet exactement une solution sur l'intervalle a, b. Voilà une variante du théorème des valeurs intermédiaires. Alors remarque très importante, ici on est sur l'intervalle a, b, mais ces théorèmes se généralisent, c'est-à-dire s'étendent à tout type d'intervalles, par exemple 2 plus l'infini. Et donc dans ces cas-là, vous allez remplacer f de a et f de b par leurs limites en a et b. On va faire tout de suite un exemple. Alors imaginons que vous ayez obtenu ce tableau de variation. Ça veut dire que vous avez trouvé que la fonction est strictement décroissante, que la limite en moins l'infini c'est plus l'infini, et que la limite en plus l'infini c'est 4. Ça veut donc dire, d'après ce tableau de variation, en supposant qu'on ait démontré que la fonction était continue sur r, et bien donc que la fonction va prendre toutes les valeurs de l'intervalle 4 plus l'infini. Mais attention, 4 exclut, parce qu'ici c'est une limite. Donc j'insiste bien, f de x va prendre toutes les valeurs de l'intervalle 4 plus l'infini. Et non seulement f de x va prendre toutes les valeurs de cet intervalle, mais comme la fonction est strictement décroissante, elle va les prendre une fois et une seule. Et si, par exemple, vous vous intéressez à l'équation f de x égale 5, 5 c'est bien dans cet intervalle, c'est bien dans l'intervalle 4 plus l'infini. Donc quelque part ici, il y a 5, et bien le théorème des valeurs intermédiaires, il vous dit que quelque part, en alpha, la fonction va être égale à 5. C'est-à-dire que cette équation, elle admet une solution unique sur l'intervalle r. Et cette solution, on ne sait pas combien elle vaut, on l'appelle donc alpha. Donc ici, je suis en train d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, mais au lieu d'être sur l'intervalle ab, je suis sur l'intervalle moins l'infini plus l'infini, c'est-à-dire r, mais ça s'applique exactement de la même façon. La fonction est continue, strictement décroissante, elle prend toutes les valeurs de l'intervalle 4 plus l'infini, donc quelque part, elle va prendre la valeur 5. Alors maintenant qu'on a expliqué les deux versions du théorème des valeurs intermédiaires et qui peut s'appliquer à tout type d'intervalles, on va expliquer maintenant comment, concrètement, dans les exercices, il faut rédiger. Alors premier cas, imaginons que la question soit démontrer qu'une équation du type f du x égale k admet au moins une solution sur un intervalle i. La première chose à faire, c'est de vérifier que cette fonction que vous avez là est continue sur l'intervalle i. Alors pour justifier que la fonction est continue, on l'a expliqué dans la précédente vidéo, mais je le rappelle, il suffit de dire que la fonction, elle est le produit, le quotient, ou la somme, ou la composée de fonctions qui sont continues. Donc si vous voulez plus d'informations, regardez la précédente vidéo. Alors ensuite, comme vous vous intéressez à l'équation f de x égale k, vous allez chercher deux nombres a et b de l'intervalle i, tel que en a, on soit plus petit que k, et qu'en b, on soit plus grand que k. Donc d'un côté, on est en dessous de k, d'un autre côté, on est au-dessus de k, et comme la fonction est continue, elle va prendre toutes les valeurs entre f de a et f de b, et donc elle va prendre quelque part la valeur k, Et ensuite, il n'y a plus qu'à conclure, vous écrivez que f est continue sur i, que f de a est plus petit que k, que f de b est plus grand que k, et donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f de x égale k admet au moins une solution sur l'intervalle indiqué. Alors en général, pour trouver a et b, tel que f de a soit plus petit que k, et f de b soit plus grand que k, on utilise sa calculatrice. Qu'est-ce que vous faites ? Vous faites le tableau de valeur de la fonction, et vous regardez quand est-ce qu'on est en dessous de k, et quand est-ce qu'on est au-dessus de k. Alors, remarque fondamentale, la plupart du temps, dans les exercices, l'équation ne se présentera pas sous la forme f de x égale k, où k est une constante. Alors, imaginons qu'on vous demande de démontrer que cette équation admet au moins une solution sur R. Voyez bien que cette équation n'est pas de la forme f de x égale k. Et bien, qu'est-ce que vous allez faire ? Vous allez tout ramener dans le membre de gauche. Autrement dit, vous allez soustraire cos x. Et donc, cette équation est équivalente à x moins cos x égale 0. Et c'est ce x moins cos x que vous allez appeler f de x. Et du coup, vous vous êtes ramené à f de x égale 0, c'est-à-dire à bien une équation du type f de x égale k. Donc ça, c'est extrêmement classique. La plupart du temps, dans les exercices, ça ne se présentera pas de la forme f de x égale k, où k est une constante. Mais souvent, ça sera plutôt de la forme f de x égale g de x, exactement comme ici. Qu'est-ce que vous faites ? Vous ramenez tout dans le membre du gauche. Et du coup, vous aurez 0 à droite, c'est-à-dire que vous travaillerez avec k égale 0. Et cette partie gauche, vous l'appellerez f de x. Et ensuite, vous n'aurez plus qu'à vérifier que f est continue et à faire exactement ce qu'on a dit au deuxièmement et au troisièmement. Alors, deuxième type de question, ça sera, au lieu de démontrer que l'équation admet au moins une solution sur un intervalli, ce sera démontrer que l'équation admet exactement une solution, ou deux solutions, ou trois solutions, voire aucune solution sur l'intervalli. Voilà le deuxième type de question. Eh bien, cette fois-ci, il faudra utiliser cette variante du théorème des valeurs intermédiaires qui vous donne exactement le nombre de solutions sur l'intervalle AB. Alors, avec ce type de question, vous procédez en trois étapes. D'abord, il faut justifier que la fonction est bien continue sur l'intervalle indiqué. Deuxièmement, vous allez chercher le tableau de variation. Et ensuite, vous allez conclure. On va voir ça tout de suite dans un exemple. Alors, imaginons qu'on vous demande le nombre de solutions de l'équation f de x égale 1. Donc, ça veut dire qu'on veut le nombre de solutions exact. Donc, on va utiliser cette méthode. Premièrement, vous justifiez que f est continue. Ensuite, vous cherchez le tableau de variation en général à l'aide de la dérivation. Et imaginons que vous avez obtenu ce tableau de variation. Alors, comment on procède ? On se met sur des intervalles où la fonction est strictement monotone. C'est-à-dire, soit toujours strictement croissante, soit toujours strictement décroissante. Donc déjà, ici, dans ce tableau de variation, il va falloir procéder en deux temps. Sur cet intervalle où la fonction est strictement croissante, puis sur cet intervalle où la fonction est strictement décroissante. Après, vous faites dans l'ordre que vous voulez, mais il faut forcément casser le tableau de variation sur des intervalles où la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante. Ça, c'est très important. Alors, déjà, vous voyez que si on se place sur l'intervalle 3 plus l'infini, la fonction, ici, est toujours plus grande que 2. Et donc, si la fonction est plus grande que 2, elle ne peut pas être égale à 1. Et donc, l'équation f de x égale 1 ne peut pas avoir de solution parce que f de x est toujours plus grande que 2. C'est ce que j'ai écrit ici. Sur cet intervalle 3 plus l'infini, la fonction est toujours supérieure ou égale à 2. Elle peut atteindre 2 ou pas, ça on ne sait pas, ça dépend de la limite si elle est atteinte ou pas. Mais elle est supérieure ou égale à 2 et donc, elle ne sera jamais égale à 1. Donc, l'équation n'a pas de solution. Alors, maintenant, on va supposer dans notre exemple que notre fonction f est continue sur r et donc a fort sur i sur l'intervalle moins l'infini 3. Et donc, comme notre fonction, ici, vous voyez qu'elle est strictement croissante et comme elle est en plus continue, et bien, elle va prendre toutes les valeurs, une fois et une seule, de cet intervalle moins l'infini 4. Et comme nous, on s'intéresse quand est-ce qu'elle prend la valeur 1, bien, justement, 1, vous voyez bien que c'est dans cet intervalle, c'est dans l'intervalle moins l'infini 4, 1, c'est bien dans cet intervalle. Donc, quelque part, elle va prendre la valeur 1 et cette valeur où elle va prendre la valeur 1, on va l'appeler alpha. Alors, maintenant, pour rédiger et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, il faut, avant de l'appliquer, vérifier que les conditions sont bien réunies. Première condition, d'abord, il faut donner l'intervalle sur lequel on se place. Nous, on se place sur l'intervalle moins l'infini 3 et ensuite, vous précisez que sur cet intervalle, la fonction est continue, donc il n'y aura pas de saut et qu'elle est strictement croissante. Si vous oubliez de préciser ici qu'elle est strictement croissante, si vous oubliez le strictement, eh bien, ce sera faux. Ensuite, vous rappelez la limite en moins l'infini qui est moins l'infini, vous rappelez la valeur de f en 3 qui est 4 et comme on s'intéresse à l'équation f de x égale 1, vous vérifiez bien que 1 est dans l'intervalle moins l'infini 4, c'est ce que j'ai rappelé ici. Alors, une fois qu'on a vérifié que les conditions étaient bien réunies, je rappelle qu'il y en a 5, continuité, strictement croissante ici, la limite en moins l'infini, la valeur en 3 et le fait que 1 soit dans l'intervalle moins l'infini 4. Cela fait 5 choses à dire. Une fois qu'on a dit ces 5 choses, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui dira que comme la fonction prend toutes les valeurs une fois et une seule de l'intervalle moins l'infini 4, elle prendra en particulier une fois et une seule la valeur 1 qui est bien dans cet intervalle. Et donc, on peut écrire comme toutes les conditions sont réunies que d'après le TVI, l'équation f de x égale 1 admet donc une unique solution sur l'intervalle moins l'infini 3. Et ensuite, il faut rajouter que comme il y a une seule solution sur moins l'infini 3 et qu'il n'y en a pas sur 3 plus l'infini, au final, sur r, il n'y en a qu'une seule puisqu'elle est dans cet intervalle. Et donc, je rajoute, et qu'il y en a aussi une seule sur r. Ce qui termine de traiter cette question. Alors, qu'est-ce qu'il faut retenir de cette vidéo ? D'abord, il faut comprendre que la continuité, le fait d'être continu, ça va impliquer qu'il n'y aura pas de saut, qu'on ne pourra pas sauter d'une valeur à une autre. Et donc, que ça va prendre toutes les valeurs au moins une fois entre f de a et f de b. Ça, c'est la première chose à comprendre. Deuxième chose à comprendre, si on rajoute en plus le fait qu'elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante, ça va impliquer que la fonction, elle va prendre une seule fois chaque valeur. Elle ne pourra pas les prendre deux fois. Parce que si elle prend la valeur une fois, comme elle va soit augmenter, soit diminuer, elle ne reprendra pas cette valeur. Et ensuite, vous aurez deux types de questions liées au théorème des valeurs intermédiaires. Premier type de question, montrer qu'une équation admet au moins une solution. Pour justifier ça, pas besoin d'utiliser le fait qu'elle soit strictement croissante ou pas. On utilise juste le fait qu'elle est continue. Si maintenant, on vous demande de montrer que l'équation admet exactement une solution ou deux solutions, et bien là, il faudra faire comme on a fait dans le deuxième exemple. Il faudra, en plus de la continuité, utiliser le fait que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante, et toujours décomposée sur des intervalles où elle est strictement monotone, exactement comme on l'a fait ici. Et surtout, avant d'appliquer l'ETVI, vérifiez bien que toutes les conditions sont réunies et il faut l'écrire sur sa copie. Donc voilà, j'espère que cette vidéo vous a permis de mieux comprendre le théorème des valeurs intermédiaires et comment l'utiliser en exercice. Et comme d'habitude, si vous l'avez apprécié, n'hésitez pas à la partager et à la liker.