Vecteur ♦ Montrer une égalité avec Chasles ♦ MA+MC=MB+MD ♦ Méthode 2 ♦ Seconde ♦ Un classique !

bonjour et bienvenue sur jcompris.com pour un exercice très classique sur les vecteurs on nous demande de démontrer que pour tout point M on a cette égalité et ce type de question et bien souvent ça déstabilise les élèves alors qu'en fait vous allez voir ça n'est pas difficile et donc cette égalité et bien on va la démontrer donc pour tout pointme du plan par deux méthodes différentes donc maintenant comme d'habitude appuyer sur pause cherchez bien cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y on nous demand de démontrer cette égalité et je vous l'ai rappeler ici il y a deux méthodes très classiques pour montrer une égalité quand on veut démontrer par exemple que A = B et bien première méthode on calcule a - B et on montre que ça fait 0 c'est justement la méthode qu'on a utilisé dans la précédente vidéo pour montrer cette égalité on a calculé ça moins ça et on a montré qu'on tombait sur le vecteur nul alors si vous l'avez pas fait je vous conseille de le faire et vous avez la solution dans la vidéo précédente maintenant il y a une deuxième méthode au lieu de calculer la différence et de montrer que ça fait zéro la deuxième méthode ça consiste à partir d'un côté de l'égalité par exemple du côté gauche on part du côté gauche qu'on va transformer on va le transformer jusqu'à obtenir l'autre côté c'est ce qu'on va faire maintenant donc ici j'ai recopieré la partie gauche et maintenant cette partie gauche je vais la transformer pour faire apparaître la partti partie droite et regardez ce qu'on veut à droite on veut du MB mais le problème c'est qu'ici on n pas du MB et bien comment on va faire et bien ici grâce à la relation de Châ on va introduire le point B et donc ma on va le décomposer en MB + ba MB + ba grâce à la relation de chal ça fait bien ma on a rien changé mais regardez ici on a fait apparaître du MB donc voilà maintenant ici on a du MB ce qu'on voulait mais on voudrait également du MD et bien comment on va faire et bien dans MC on va faire pareil on va introduire le point d et donc MC MC grâce à la relation de Châ ça s'écrit MD MD + DC MD + DC ça fait bien MC on a rien changé mais regardez maintenant ici on a du MD exactement ce qu'on voulait donc le MB je l'ai ici et le MD je l'ai là donc déjà je vais commencer par les recopier devant donc ça me donne MB plus MD ce que je voulais mais il me reste en plus il me reste en plus ba + DC donc ici on a bien ce qu'on veut MB + MD MB + MD mais regardez ici on a ça entre qu'on a pas là donc ceci on aimerait bien sans débarrasser et bien justement il y a un truc qu'on n'a pas utilisé on nous dit que aBCD est un parallélogramme et ça on l'a pas encore utilisé alors faisons un petit schéma on fait un parallélogramme à main levée ABCD et dire que aBCD est un parallélogramme ça signifie que les côtés opposés forment des vecteurs égaux autrement dit le vecteur DC et le vecteur AB et bien ce sont des vecteurs égaux puisque AB CD est d' un parallélogramme donc ça veut dire que ici j'efface un tout petit peu ici le vecteur DC le vecteur dc je peux le remplacé par le vecteur AB et du coup si je recopie donc ça me fait MB plus MD + BA et quel est l'intérêt de remplacer le vecteur DC par le vecteur AB le vecteur DC par le vecteur AB regardez ici ce vecteur là il finit par a et celui-ci il commence par a et donc du coup on va pouvoir appliquer la relation de Châ et donc tout ceci ba + AB d'après la relation de Châ c'est égal au vecteur BB c'est égal au vecteur b b et le vecteur BB c'est quoi ça veut dire qu'on part de B et qu'on finit en B autrement dit on n pas bougé autrement dit c'est égal au vecteur nul donc ça veut dire que ce gros vecteur et bien il est égal au vecteur nul et rajouter le vecteur nul c'est comme rajouter zéro ça ne change rien donc ceci ça va s'éliminer et donc du coup qu'est-ce qui reste à droite et bien il reste ceci exactement ce qu'on voulait et donc on a bien démontré que la partie gauche la partie gauche est bien égale à la partie droite en fait ce qu'il faut comprendre c'est que ici on a le vecteur ba le vecteur ba il part de B et il finit en a il part de B et il finit en a le voilà et on additionne le vecteur DC le vecteur DC le voilà et regardez ces deux vecteurs ils sont opposés et donc si on les additionne bien quand on additionne deux vecteurs opposés on tombe bien sur le vecteur nul voilà pourquoi ici tout ceci ça fait le vecteur nul donc voilà ici je vous ai remis au propre le calcul qu'on vient de faire au brouillon et deuxièmement quand j'ai remplacé ici le vecteur DC par le vecteur AB il faut expliquer pourquoi on a le droit de le faire on a le droit de remplacer le vecteur DC par le vecteur AB parce que aBCD est un parallélogramme c'est ce que j'ai écrit ici dernière chose cette égalité on doit la démontrer pour tout point M du plan et donc c'est important avant de faire ce calcul d'écrire qu'il est valable pour tout point M du plan c'est ce que j'ai écrit ici et donc voilà maintenant on a terminé cette démonstration donc voilà cette vidéo est terminée j'espère que vous avez bien compris et n'hésitez pas si vous l'avez pas encore fait à démontrer cette égalité avec la première méthode vous avez la solution dans la vidéo précédente et comme d'habitude si vous avez apprécié cette vidéo n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos