Culture mathématique - Illustration graphique de propriétés célèbres dont le Théorème de Nicomaque

Bonjour à tous ! Alors aujourd'hui, on va illustrer graphiquement des propriétés célèbres. L'objectif étant d'illustrer et d'expliquer le théorème de Nicomac. Ce théorème de Nicomac, il est très très beau, très simple. Pensez à l'écure, la somme de k égale à n des cubes, donc la somme des cubes, et bien c'est la somme de k égale à n des entiers au carré. Donc la somme des cubes, c'est la somme des entiers au carré. C'est vraiment magnifique, et ça s'illustre graphiquement. Mais avant de passer au théorème de Nicomac, je vous propose, puisque c'est l'idée, d'aller voir quelques sommes, quelques formules qu'on peut illustrer comme ça, avec une figure simple. On commencera par a plus b au carré, avec quatre rectangles comme ça, le calcul d'air. Ensuite, la même idée a plus b au cube, qu'on illustrera avec un cube, un cube qui tourne en bas à droite. Et après, deux sommes très classiques, la somme des entiers de n, en comptant les cases dans un carré, vous allez voir, en comptant avec la zébranale, supérieure, inférieure. Ensuite, une illustration de la somme des nombres impaires, si vous faites 1 plus 3 plus 5 plus 7, etc., et bien vous tombez toujours sur un carré. Et graphiquement, c'est très simple à constater. Et après, ce fameux terrain de Nicomac, alors évidemment, il est un peu plus dur à voir directement, mais je vais vous expliquer. Ici, c'est une figure, comme ça, qu'on forme, et à chaque fois, pour l'agrandir, c'est un peu comme pour les impaires, mais là, on ne va pas rajouter les nombres impaires, on va rajouter des cubes. La seule chose à démontrer, ce sera de bien montrer qu'on rajoute à chaque fois des cubes. On est parti donc avec l'identitaire marque A. Evidemment, vous savez tous que a plus b au carré, c'est a carré plus 2ab, donc deux fois le produit ab, plus b carré. Graphiquement, il suffit, je vais le refaire devant vous, il suffit d'un rectangle, même un carré, pardon, un carré, dans lequel, ici, on coupe avec a et b, on fait pareil ici, a et b, on obtient, ici, un carré d'air parfois a carré, ensuite, on coupe, en tout cas on prend ici, là, de façon à avoir la longueur a ici, la longueur b ici, la longueur a ici, la longueur b, et vous regardez les airs. On a découpé notre air global, alors l'air global, c'est un carré de longueur de côté a plus b, donc l'air total, c'est a plus b au carré, et elle est découpée en quatre petits airs, donc a carré, ici, là, vous reconnaissez b carré, d'accord, on a deux autres rectangles qui sont les mêmes, il y en a un qui a, donc, côté a, côté b, côté a, côté b, donc on a deux rectangles qui ont une aire chacun de a fois b, donc ici, on trouve deux a fois b, donc l'identité remarquable, quand on développe, ici, a plus b au carré, c'est donc a2 plus 2 fois b, donc deux rectangles plus b carré, et voilà une illustration graphique de cette propriété, alors il existe la même pour a moins b, maintenant, je vous propose l'illustration graphique de a plus b au cube, alors l'idée est la même que pour a plus b au carré, mais cette fois-ci, on se place donc en 3D, et en 3D, on aura un cube qui est divisé en huit solides, donc je vous l'ai fait sur géobras, ici, on a bien les huit solides, ce qu'on peut remarquer, quand on fait ce petit découpage en solide, eh bien, on a donc ici, vous voyez, j'ai découpé en a et b chaque arête, et donc ici, en bas à gauche, on dessine un cube de côté a, donc c'est ce fameux a cube, donc ici, a plus b au cube, c'est l'air du cube que vous avez devant vous, qui est découpé en huit solides, le premier ici, donc c'est un cube de côté a, ensuite, vous avez, exactement à l'opposé, un cube de côté b, et ensuite, il nous reste six solides, qui vont être en fait un paquet de trois, on retrouve trois fois les mêmes à chaque fois, alors regardez bien ici, on a celui-là, celui-ci, et celui-là, là on voit les trois qui sont identiques, alors ces trois, c'est des pavés droits, ils ont comme côté a, b et b, donc volume ab², et ensuite, vous en avez trois autres, qu'on pourrait regarder par l'autre côté, donc c'est celui-ci, celui-ci et celui-ci, qui ont comme côté a, a et b, donc ils ont tous trois, une aire de a²b, a fois a fois b. Conclusion, c'est donc l'air total, qui est divisé en a³ plus b³, plus trois fois mes a²b, c'est exactement la formule du binôme, pour n égale 3, a3, plus trois a²b, plus trois a²b, plus b²b, donc, voici déjà, vous voyez, deux démonstrations assez géométriques, assez visuelles. Maintenant, ici, vous voyez cette figure avec toutes ses couleurs, regardez l'air coloré ici, ici, c'est pour mettre en évidence la somme 1, plus 2, plus 3, plus 4, etc., jusqu'à n, alors, on remarque, en fait, quand on fait ça, on peut se placer dans un carré de côté n, donc imaginez, on est ici, n colonnes, on est n lignes, donc au total, on a n carrés cases, donc au total. Alors, il y a trois types de cases, et on retrouve ça, d'ailleurs, quand on calcule ces fameuses sommes triangulaires, sommes rectangulaires, c'est dans les premiers chapitres de prépa, vous avez la diagonale, d'accord, donc la diagonale, on a un carré n, et on a n cases sur la diagonale, et après on a autant de cases au dessus qu'on en a en dessous, donc si je veux calculer un plus 2, plus 3, etc., jusqu'à n, et bien je vais découper en deux zones la diagonale et ce qu'il y a sous la diagonale, donc l'idée, c'est de savoir ce que j'ai sous la diagonale, donc je vais appeler ça sous la diagonale, on va plutôt mettre bas, ici, et haut, donc on fait n carré, ça vaut bas, c'est égal à bas plus haut plus la diagonale, bas plus haut plus la diagonale, on a dit qu'il y avait n cases, bas plus haut, il y a autant de cases, donc n carré vaut deux fois ce qu'il y a en bas, plus n, donc conclusion, et bien les cases qu'il y a en bas, ça veut dire qu'on a n carré moins n égal à 2b, et donc, en bas, ici, j'ai n carré moins n sur deux cases, et j'en ai donc n carré moins n sur deux, au dessus, conclusion, et bien ma somme, 1 plus 2 plus 3 plus n, ça sera donc ici mes n cases, plus celles qui sont en dessous, c'est à dire n carré moins n sur deux, en mettant tout sur deux, n carré plus 2n moins n, vous reconnaissez, n fois n plus 1 sur deux, une petite démonstration géométrique assez simple. Autre possibilité, vous faites un grand carré, ici j'ai rajouté une ligne et une colonne, donc c'est un carré avec n plus une colonne et n plus une ligne, et là on a juste le dessous dont je vous ai dit, on a au total n plus 1 au carré des cases, mais qui sont séparées en diagonales, donc ici n plus 1, plus deux fois la somme qu'on cherche, donc plus deux fois la somme qui est appelée S, et on a déjà terminé, ça veut dire qu'ici il y a bien deux S, c'est donc n plus 1 au carré moins n plus 1, n plus 1 au carré moins n plus 1, donc la somme qu'on cherche c'est, en factorisant par n plus 1, n plus 1 facteur de n plus 1 moins n plus 1 moins 1 sur 2, et donc on retrouve n plus 1 fois n sur 2, vous voyez, une autre vision des choses. Autrefigura, qu'est-ce que je veux mettre en évidence? Alors, regardez, première zone en bas, j'ai une case, ensuite deuxième zone, j'ai trois cases, puis cinq cases ici en bleu clair, ici sept cases, en neuf cases, j'ai des nombres impaires, onze cases, treize cases, qu'est-ce qu'on remarque? Eh bien que toutes ces figures emboîtées les unes dans les autres, ça forme un carré. Un carré qui a pour côté, ici par exemple, sept. Conclusion, un plus trois plus cinq, la somme des impaires de 1 à 13 va donner sept au carré. On compte les cases. Au carré, on a sept fois sept cases, 49 cases, ça sera la somme de tous les nombres impaires. Donc la somme des nombres impaires, eh bien, c'est en fait un carré. Et ça va se reproduire. Donc, ici, eh bien, ça veut dire que si vous faites un plus trois, plus cinq, etc. jusqu'à ici, il faut un nombre de deux n moins un, d'accord? Eh bien, ça va me donner n au carré. On écrira somme de i égal, donc, alors, de i égal à 1 à n des deux i moins un est égal à n carré. Et vous remarquez bien que si on vient en bas ici, au niveau de n, eh bien là, j'aurai n en hauteur, n en ligne, et donc au total, si je m'arrête juste avant, j'en ai donc n moins un dessous, j'en ai n moins un à gauche, et j'en ai une qui est commune aux deux, donc au total, j'ai deux fois, on va garder deux fois n moins un plus une carré, et ça fait bien deux n moins un. Donc quand on rajoute comme ça, deux n moins un, on rajoute un nombre impaire et on forme un carré d'une unité plus grande. Voilà pourquoi la somme des impaires c'est un carré. Alors je ne vous fais pas une démonstration rigoureuse, vous avez compris l'idée, c'est vraiment très intuitif tout ça. Alors maintenant, on va passer au terrain de Nicomac. Voici ce que je vous propose pour illustrer ce terrain de Nicomac. Ici à gauche, donc un carré, ici de côté 1. Après, vous voyez des chevrons. Je vous explique un petit peu comment je les ai fabriqués. A droite, une vision dans l'espace de tout ça. C'est juste ça pour le plaisir. On va vraiment regarder ce qu'il se passe à bout. Et ce que je vais vous demander de regarder, c'est l'axe des abscisses. Regardez bien mon premier carré. Ici, donc un carré de côté 1. Ensuite, j'ai rajouté ici un polygone avec ici le nombre 2 et aussi le nombre 4. Le suivant. J'ai rajouté quelque chose de nombre 3. Vous voyez qu'ici, pour l'instant, on a 1 plus 2 plus 3 au niveau des abscisses. Puis après, j'ai fait 4. Après, j'ai rajouté 5. C'est la somme des entiers qui va apparaître. Le suivant, ça serait 6. Donc 15 et 6, 21. J'ajoute jusqu'ici. Donc après, en haut, 15. Je rajouterai donc 6. Et en dessous, 24. Donc 21. A la fin, le suivant, 6. Et on descend jusqu'à 24. Normalement, on fait ça jusqu'à n. Ça veut dire que le carré global, eh bien, il a pour côté 1 plus 2 plus 3 plus 4, etc. jusqu'à n. Comme c'est un carré, on compte son R. Ça sera donc un R équivalent à n carré. 1 plus 2 plus 3 plus 4, etc. jusqu'à n carré. On a donc la somme des entiers de 1 à n au carré. Et maintenant, on va regarder quel est l'R de chacune de ces formes. Alors la première, évidemment, c'est 1. La deuxième. Alors cette figure-là, il faut vraiment la détailler. Vous allez voir qu'en fait, c'est 2 au cube, l'R. La surface, enfin l'R de la surface en vert, bien regarder. Si je prends le grand carré, c'est donc, en bas, une base de 3, hauteur de 3, c'est un carré, donc 3, 3, 9, moins mon carré du début, j'ai bien 8. D'accord ? Donc ici, j'ai 8. Et ici, j'ai 1. Donc j'ai effectivement, quand j'ai 1, 8. La somme, c'est bientôt 1 au cube, et plus 2 au cube. Et on continue. L'R de cette surface est à côté. Comment je vais estimer cet R ici ? Bien regarder. On va déjà estimer l'R du carré qui est ici. D'accord ? Donc ici, on a dit que c'est 1 plus 2. Alors je vais avoir besoin d'une formule, parce qu'après je vais généraliser. La somme de k égale R des k, c'est-à-dire n pour n plus 1 sur 2. Donc mon carré avec mon R, c'est donc ici, c'est la somme, de mon côté c'est 1 plus 2, donc c'est ça, la somme de k égale 1 à 2 des k, comme c'est un carré, pour avoir l'âge numéro k. Donc ici, vous voyez, le repos. Alors cette somme que j'applique, pour un égale 2, ça fait 2 fois plus un 3, donc 2 au carré. Evidemment, ça fait 3 au carré, ça fait 1. Maintenant, je vais prendre un carré plus grand. Un carré rajoute en fait 3. On obtient un grand carré. Ici, donc dans le grand carré, vous avez le carré vert. L'air du carré vert et rouge, c'est donc un carré. Deux côtés, la somme de k égale 1 à 3, puisque vous voyez qu'ici, j'ai 1 plus 2 plus ces 3, que j'ai en rajouté. La somme de k égale 1 à 3, au carré, mais cette fois-ci, ça me fera donc 3.4 sur 2 au carré. Vous voyez qu'on arrive après si je veux l'air de ma zone rouge ici, je dois faire mon carré rouge moins mon carré. Ici, ça fera donc 9 au carré vert. Ici, 3 fois 2, c'est 36. 36 moins 9, ça fait 20. Et encore une fois, c'est un cube, c'est trop. Maintenant, on va se généraliser en imaginant qu'on a été jusqu'à n. Imaginez, ici, on a donc fait 1 plus 2 plus 3, etc. jusqu'à n. On a donc un grand carré. Et on rajoute n plus 1. Encore plus grand, en rajoutant n plus 1. Ce qui nous intéresse dans l'exercice, c'est combien j'ai rajouté ici. Et donc, vous avez compris, ça sera l'air du grand carré moins l'air du petit. La zone qui m'intéresse, ça sera l'air du grand carré. Le grand carré, c'est somme de k égale 1 à n plus 1 et k, on met au carré, moins l'air du petit, qui va donc de la somme jusqu'à n. Donc c'est somme de k égale 1 à n, et k au carré. L'avantage, c'est que ce sont deux formules qu'on connaît à l'intérieur des carrés. J'applique la formule pour n plus 1. Vous voyez là-haut, ça me fait n plus 1 pour n plus 2 sur n, qu'on va mettre au carré, moins la même formule, mais en rajoutant n pour n plus 1 sur 2 au carré. Et on va essayer de voir et montrer que ça, ça fait tout simplement n plus 1 au cube. Plutôt que de développer tout ça, on va peut-être regarder d'abord, vous avez assez. Évidemment, une factorisation par n plus 1 au carré. Il y a du n plus 1 ici, du n plus 1 ici, et il y a le sur 2. Donc je ne vais pas me factoriser par n plus 1 au carré sur 4. Qu'est-ce que je retrouve ici ? Je retrouverais n plus 2 au carré, moins ici n carré. On développe ça. On obtient ici donc n2 plus 4n plus 4 moins n2. Les n2 se simplifient et là, miracle, regardez ce qu'il me reste, 4 fois n plus 1. 4 fois n plus 1 et comme on avait une division par 4, les 4 se simplifient et il me reste n plus 1 pour n plus 1, c'est-à-dire n plus 1 au cube. Vous avez compris, dans mon dessin du départ, à chaque fois que je rajoute ici, je rajoute le bleu, j'ai rajouté 4. Je vais donc avoir ici 4 au cube. Ici, 4 au cube. 1 au cube, 2 au cube, 3 au cube, 4 au cube, donc 4, 3, 4, 6, 3, 4, 64. Le suivant, je rajoute 5, donc là je vais trouver 5 au cube, la zone jaune, c'est 5 au cube, c'est-à-dire que j'ai rajouté 5 au cube. 5 au cube, c'est donc 5 x 5, 25 x 5, 125, et bien le suivant, on va rajouter 6, donc on va rajouter 6 au cube, 6 au cube, 6 x 6, 36 x 6, 216, en reproduisant ça, on a bien la somme de 1 à n des entiers au carré va donner la somme des cubes de 1 à n, c'est ça justement ce que permet le théorème de Nitomac. Donc ça s'illustre assez bien, évidemment l'explication n'est pas si simple que ça, mais dans l'idée, c'est quand même formidable de pouvoir le représenter de façon si élégante, vraiment simple, implacable, on peut quand même arriver à démontrer que chaque petit chevron, vous rajoutez à une r² qui est un cube, et ça c'est la démonstration ici, en faisant cette petite subtraction de 2², vous pouvez développer ce que vous voulez, moi j'ai choisi de factoriser par n² sur 4, mais très vite on obtient n² au cube. Petite remarque, on a terminé l'aspect graphique, la relation qu'on a trouvé ici qui donnait le plus grand cube, si je l'écris, en remplaçant n par k, à moins 1, ça donne ceci. D'accord ? Et ça, ça sera 4k sur 4 égale à 1. Et bien, ça peut être une démonstration. Ça veut dire que si vous voulez calculer la somme des cubes de k égale à n, vous pouvez utiliser ceci, vous allez voir, c'est que nous sommes télescopiques, c'est-à-dire qu'ici, vous avez une expression qui dépend de k, et l'autre, parce qu'il est en subtraction avec la même expression, mais pour k moins 1. D'accord ? Si vous appelez un polynome qui a la forme px, qui serait x 3x plus 1 sur 2, vous pouvez bien sûr regarder p2x moins 1, c'est x moins 1 3x sur 2. Donc ici, vous avez p2x et p2x moins 1 x égale k. Et quand on écrit tout ça, bien ça s'appelle une somme télescopique, pour en voir la partie du code qui parle de ça, les termes vont s'annuler 2 à 2, il va vous rester le premier terme ici de la subtraction, donc pour k égale 1, on fera 0, et il restera le dernier terme pour n ici, il ne restera juste n. 3n plus 1 sur 2 au carré. Je l'évite parce que ce n'est pas l'objet, mais ceci c'est une somme télescopique. Vous voyez que l'aspect graphique rejoint l'aspect algébrique. Et donc, on va s'arrêter là. Alors il reste les démonstrations du terminal qu'on n'a pas encore faite, et que je ferai intérieurement Sur ce, vous faites une bonne fin de journée à tous, et à bientôt.