Mathe Abitur Analysis Beispiele rechnen - Mathe by Daniel Jung LIVE

Ist gut. Guck mal, tatsächlich. Ja, der braucht immer ein bisschen. Okay. So. Ah ja, ist ja das Gute, ne? Ich geb immer so ein bisschen, weil der braucht immer so 30, 40 Sekunden. Und dann schneide ich dann hinterher den Anfang nämlich weg. So, hey, moin! LOL. Dann. Daniel Jung testet mal wieder, wie immer. Nach über 3.000 Mathe-Tutorials, die natürlich auch weitergehen, habe ich ja gesagt, ich möchte verstärkt Live-Streams machen. Mathe, Aufgaben rechnen. Ich fange heute mal an. Ist ein Test. Haut den Chat gerne voll. Ja, cool. Da sehe ich dich mal. Live. Genau. Live ist live. Gerne auch Fragen rein. Ich versuche alles zu handeln. Köln ist, wie gesagt, völlig neue Umgebung. Ich bin jetzt gerade bei der INU hier in Köln. Für die, die es nicht wissen, sei kurz erwähnt, ich bin bei der INU mit im Universitätsrat dabei. Coole neue Uni. Könnt ihr euch mal anschauen. Top ausgestattet hier vor Ort. Denn der Live-Stream soll ja auch für euch bestmöglichst abgewickelt werden. Haut gerne in den Chat, dass ich im Nachgang reingehen kann. Wofür braucht ihr Aufgaben? Analysis, Stochastik, lineare Algebra, analytische Geometrie. Ihr seht, hier wird gewunken. Es ist live. Es ist alles ganz easy. Vielleicht schreie ich gleich mal raus. Can macht einen Vlog hier heute draus. Gero ist jetzt schief hinten dran. Ich gucke einfach mal. Ich fange jetzt einfach mal an. Werde zwischendurch vielleicht mal eine kleine Q&A-Session machen. Stelle den Live-Stream natürlich im Nachgang auch parat. Und wie gesagt, wie oft ich dann live gehe. Welche Themen schauen wir einfach mal. Vielleicht machen wir einfach den größten Mathe-Live-Stream ever. Who knows? Ich fange jetzt einfach mal an, ein bisschen durchzurechnen. Ich habe jetzt mal hingeschrieben. Analysis. Ich gucke jetzt mal. Zack. Ist das schön. Mensch, wenn alles einfach technologisch klappt. Ich habe direkt mal. Jetzt teste ich mal direkt weiter. Kannst du mal zurückgehen? Ganz leicht hier gedroppt hier. Aus meinen Vorbereitungsheften. Ich gehe mal so ein bisschen durch. Zu den Videos habt ihr ja dort alles. Sowohl nochmal die ganzen Erklärungen selbst. Aber auch Aufgabentrainer. Auch mit Originalprüfungsaufgaben. Ich gehe jetzt mal so ein paar Sachen durch. Und schaue mal immer, ob mir was einfällt. So Krimskrams, wie ich ihn immer nenne. So x hoch 2 mal x hoch 3. Das sind jetzt kleine Sachen am Anfang. Ihr könnt ja im Nachgang gerne auch vorspulen. Wenn ich gleich Ableitungen vorrechne. Wenn ich auf Funktionen in Anwendung gehe. Steckbriefaufgaben. Das ist so ein Klassiker. Potenzgesetze, sei nur kurz erwähnt. x hoch 2 mal x hoch 3. Könnt ihr ja selber mal eben mitrechnen. Was ist das? Das wäre x hoch 5. Warum? Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert. Indem die Exponenten addiert werden. Das sind so Klassiker. Oder so Umschreibesachen. Da habe ich ja so eine extra Übersicht gemacht. Sowas wie 1 durch x hoch 2. Was ist das? Das ist x hoch minus 2. Warum? Zum Ableiten ist das nicht so schön. Sondern das wäre ein bisschen schöner. Dann sehe ich jetzt hier Funktionen. Nochmal ganz kurz aufgewühlt. Mit welchem Funktionstyp habt ihr damals angefangen? Wenn ich das jetzt aufzeichne hier. Was ist das? Das ist eine lineare Funktion. Von Typ y gleich m mal x plus b. Da startet es schon. Keine Panik, wenn da y gleich m mal x plus n steht. Oder y gleich a mal x plus b. Wichtig ist zu erkennen. Ich glaube die gängigste, die ihr vorfindet, ist vielleicht die hier. Mit Steigung und y-Achsenabschnitt. Also so ein Klassiker. y ist gleich 2x plus 1. Vielleicht so in etwa, wie ich es hier eingezeichnet habe. y-Achsenabschnitt bei 1. 1 nach rechts, 2 nach oben. Ungefähr genau. Die Steigung ist m gleich 2. Warum ist das wichtig? Das werdet ihr vorfinden wieder bei Sekantengleichung oder Tangentengleichung. Kurzer Ausblick nochmal. Wenn ihr hier eine Funktion habt. Ihr solltet hier zum Beispiel die Gleichung der Tangente bestimmen. Oder die Gleichung der Sekante. Mache ich auch gleich mal wahrscheinlich ein Beispiel vor. Was kam als nächstes? So ein typisches Beispiel. Wenn ich das hier einzeichne, solltet ihr direkt sehen. Okay, Parabelformen. Was haben wir da für eine Funktion? Eine quadratische Funktion. Typ ist dann gleich ax² plus bx plus c. Ihr seht jetzt schon, warum quadratisch. Hier die höchste Potenz. Basis hoch Exponent. Höchster Exponent ist 2. Gibt es ja oftmals auch eine Aufgabe. Bestimme jetzt die Gleichung für die entsprechende Funktionsgleichung. Auch da viele Übungsvideos. Wenn man jetzt zum Beispiel sagt, man hat drei Punkte. Ich sage jetzt einfach mal p über 1, 2. q ist 3, 5. pqr ist 10, 20. Hier kommt schon was dazu. Nämlich woraus besteht ein Punkt. x-Wert, y-Wert jeweils. Das wäre der erste x-Wert, der erste y-Wert. Zweiter x-Wert, zweiter y-Wert. Dritter x-Wert, dritter y-Wert. Was könnt ihr dann eben entsprechend verwerten? Punkt 1 wäre, y-Wert ist 2. Für y eingesetzt gleich. a kenne ich nicht. x-Wert ist 1 eingesetzt hoch 2. Plus b kenne ich nicht. Mal x eingesetzt 1 plus c. Das wäre römisch 1. Und römisch 2 und 3 kriegt ihr entsprechend mit den anderen beiden Punkten raus. Dann habt ihr ein Gleichungssystem zu lösen. Ich reiße es jetzt erstmal an, um auch so ein bisschen auszuloten. Ich lese schon übrigens hier parallel mit. Wir lesen auch mit, auch im Nachgang. Ich lese jetzt Vektoren. Das fällt ja unter analytische Geometrie. Vielleicht kannst du jetzt mal eben auf mich schwenken wieder. Das ist ja wie gesagt ein Test heute. Ich lese jetzt mit. Wie gesagt, wenn es um Stochastik geht, würde ich dann einen einzelnen Livestream machen. Lineare Algebra, analytische Geometrie. Einen einzelnen Livestream, vielleicht mehrere Livestreams. Dazu entsprechend auch Aufgaben rechnen. Vielleicht terminiere ich die auch in den nächsten Wochen. Wie gesagt, heute Analysis. Viel aus dem Bereich. Alles rund um Funktionen. Nachher noch ableiten. Vielleicht mal eine Steckbriefaufgabe. Habe ich ja gerade schon angerissen. Klassiker. E-Funktion. Integralrechnung. Heute einfach mal alles durch. Und es ist wie gesagt ein Test. Wie gehen wir hier mit Livestream um? Bauen wir auf Dauer noch irgendwie jemanden mit ein, der eure Fragen beantwortet parallel? Ihr könnt auch auf mathefragen.de parallel gehen. Ist ja immer online. Könnt ihr immer Fragen zwischendurch stellen. Genau. Jetzt wieder zurück. Ganz spannend. Immer wieder ein Neues testen. Also wir hatten jetzt, kurz angerissen, lineare Funktionen. Parabelform, quadratische Funktionen. Und dann ging es eigentlich in Richtung, man nennt es immer noch ganzrationale Funktionen, eigentlich Polynomfunktionen. Und hier, das werdet ihr ja häufig sehen, so etwas hier. Wenn wir dann nicht mehr y gleich mx plus n haben. Hier nicht y gleich ax hoch 2 plus bx plus c. Sondern y gleich, schlanke Version, ax hoch 3 plus bx quadrat. Ich nehme die. Plus cx plus d. Lasst euch nicht verwirren. Manche haben auch in den Skripten y gleich. Struktur, x hoch 3, x hoch 2, x. Und dann hinten plus a0. Hier plus a1 mal. Hier plus a2 mal. Und hier a3 mal. Das sind die Koeffizienten, sollen a sein, die zu bestimmen sind. Ich baue das so ein bisschen so auf, dass ihr auch, wenn es jetzt um Steckbriefaufgaben geht, dass man versteht. Lasst euch davon nicht verwirren. a, b, c, d ist eigentlich der Klassiker. Die sind oftmals gesucht. Dieses Konstrukt von Polynomfunktionen. Jetzt mal ein paar Beispiele dazu. Von mir aus mit f von x dann ist gleich. x hoch 3 minus 4x. Das wäre die erste. Die zweite als Beispiel. x hoch 4 plus x quadrat plus 4. Oder eine dritte Möglichkeit. x hoch 5 plus 2x hoch 3 plus 4x plus 8. Da seht ihr so eine Struktur von Polynomfunktionen, ganz rationalen Funktionen. Wo es dann üblicherweise um die Kurvendiskussion geht. Ist es eine Funktion in Anwendung? Darum herum wird gebastelt. Das ist hier so ein Funktionspacken. Und wahrscheinlich werdet ihr dann den anderen noch haben. Richtung Exponentialfunktionen. Ganz kurz angerissen. Exponentialfunktionen. Da gab es ja die eine besondere. y gleich e hoch x. Nochmal im Nachgang im Chat werde ich dann reingucken. Wollt ihr mehr über E-Funktionen? Wollt ihr mehr über Polynomfunktionen? Wo braucht ihr noch Ableitungsübungen? Haut rein, kommentiert gerne. Hier so eine klassische. Das war ja eigentlich das Faszinierende, wie ich immer sage. Das Besondere. Wenn ihr so etwas habt hier. Von mir aus auch als f von x dann. Dann ist ja f' von x die Ableitung gleich e hoch x. Das war ja unglaublich. Und dann f von x ist gleich. So eine typische Abwandlung. Mal e hoch x als erstes Beispiel. Oder zweites Beispiel. f von x gleich. x minus 1 mal e hoch minus 4x. Und da seht ihr schon so. Irgendwo steckt das e drin. Das sind ja so zwei Klassiker. Hier nochmal. Polynomfunktionen. Und hier entsprechend Exponentialfunktionen mit der besonderen Basis e. Aber auch das Verständnis. Was ist eine Exponentialfunktion? Ich gehe jetzt mal hier auch so ein bisschen das Buch durch. So ein Klassiker ist natürlich Ableiten. Das Verständnis war ja okay. Wir haben f von x gleich. x hoch 3 minus 4x. Die erste Ableitung ist gleich 3x quadrat minus 4. Was gibt die erste Ableitung an? Das ist das eigentlich Entscheidende. Gleich m. Also die Steigung. Ich habe dazu extra eine Playlist gemacht. Weil der Gedanke war ja damals. Ihr habt hier eine Funktion. Und ihr sucht jetzt hier an einer besonderen Stelle die Steigung. Angelegterweise ist das die Tangente. Und wie kommt ihr dort an eine Steigung? Weil man kam ja. Und auch das ist Grundlage. Man kam ja von m ist gleich y2 minus y1. Durch x2 minus x1. Und das war das Berechnen einer Steigung. Durch zwei Punkte. Für eine lineare Funktion. Und nichts anderes ist ja die Tangente. Aber das Problem am Anfang. Bevor man das schneller Ableiten kennengelernt hat. War ja okay. Ihr könnt euch natürlich jetzt einen zweiten Punkt hier suchen. Aber wenn ihr dadurch das hier zeichnet. Dann ist das eine Sekante. Ihr wollt aber auf die Tangente. Das mache ich jetzt nicht zu ausführlich. Man hat dann angefangen. Zum Beispiel mit der H-Methode. Um dann irgendwann auf das schnelle Ableiten zu kommen. Auch hier könnt ihr in den Chat schreiben. Braucht man nochmal so den Hintergrund. Um von Sekantensteigung auf Tangentensteigung zu kommen. Wichtig aber. Was gibt die erste Ableitung an? Die Steigung. Jetzt vielleicht so ein paar Beispiele zum Ableiten. Ich mache ja da am häufigsten immer. f von x. Und dann f' von x. Gestartet ist man mit. Zum Klassiker. x² ist abgeleitet 2x. x hoch 3 ist abgeleitet 3x². Was steckt dahinter? Da steckt hinter das allgemeine. x hoch n. Ist gleich n mal. x hoch n minus 1. Klingt kompliziert. Heißt aber nichts anderes als das was hier oben steht. Der Exponent nach vorne multipliziert. Und oben im Exponent. Einer abgezogen. Was ist wenn davor noch etwas steht? Wie zum Beispiel 20 mal x hoch 3. Was ist das? Warum ist das 60 mal x hoch 2? Die 60 ergibt sich aus. 3 mal 20. Warum? Das war dann die Regel. c mal x hoch n. Das ist ein konstanter Faktor. Also multipliziert. Der ist dann eben. Der bleibt beim Ableiten erhalten. n mal c mal x hoch n minus 1. Ist gar nicht so wild. Von daher bastel ich jetzt weiter. 4x hoch 5 plus 8. Was ihr jetzt hier seht. Dieses plus 8. Diese Zahl ist jetzt nicht multipliziert. Sondern hockt da mit plus und minus. Völlig alleine. Hier vorne haben wir. 5 mal 4 sind 20. x hoch 4. Und die plus 8 fällt dann. Beim Ableiten weg. Was wäre wenn wir haben 8x. Das wäre ein konstanter Faktor. Multipliziert mit x. 8 mal x abgeleitet ist 8. Jetzt kann man immer weiter zusammen basteln. x Quadrat. Minus 8x plus 9. Hier vorne ist 2x. Minus 8 mal x abgeleitet. Ist minus 8. Und die plus 9 fällt weg. Da sollte man irgendwann. Eigentlich mit den ganzen Beispielaufgaben. So viele Übungen haben. Jetzt kann man das alles ein bisschen. Verkomplizieren. Wie manche dann sagen. 7 durch x hoch 3. Leite ich jetzt x hoch 3 ab. Hier ist wie am Anfang erwähnt. Umschreiben angesagt. Das wäre 7 mal x hoch minus 3. Durch dieses Umschreiben. Hier oben haben wir Zähler. Unten den Nenner. Wie bekomme ich hier unten die Potenz nach oben. Indem ich hier den Exponent. Von plus 3 zu minus 3 mache. Jetzt kann ich beim Ableiten sagen. Exponent nach vorne multipliziert. Mal x hoch. Und jetzt im Exponent eine abgezogen. Achtung! Minus 3 minus 1. Viele sagen immer 3 minus 1 ist doch 2. Minus 3 minus 1 ist minus 4. Das ist vielleicht noch so ein Klassiker. Ansonsten kann man auch. Wurzel x umschreiben. Zu x hoch 1 halb. Dann ist man wieder bei. 1 halb mal x hoch. Und 1 halb minus 1 ist minus 1 halb. Was haben wir noch. Was ist wenn da zum Beispiel steht. 20 mal Klammer auf. x hoch 4 minus 3x. Da könnt ihr entweder draus machen. Die 20 rein multiplizieren. Minus 60x. Und dann ableiten. Dann hätten wir 80x hoch 3. Minus 60. Oder die 20 hier vorne. Als konstanter Faktor bleibt erhalten. Multipliziert mit. Und dann in der Klammer. Hätten wir 4x hoch 3. Minus 3. Hier jetzt wieder rein multipliziert. Kommen wir auch da drauf. Also da nicht in Panik geraten. Wenn es ums Ableiten geht. Das sollte eigentlich easy sein. Kleiner Ausblick dann jetzt. Auf Exponentialfunktionen. Also e hoch x. Das war das Unglaubliche. Das Unglaubliche ist e hoch x. Dann e hoch 4x. Warum ist das nicht nur e hoch 4x. Einfach wieder so hingeschrieben. Sondern noch multipliziert mit 4. Das ist die Ableitung. Vom Exponent. Das kann man jetzt auch nochmal testen. e hoch 20. x hoch 3. Wäre e hoch 20. x hoch 3. Bleibt so. Aber warum noch multipliziert. Ich schreibe es jetzt direkt vorne hin. Mit 60x². Das ist die Ableitung. Vom Exponent. Was steckt dahinter? Es steckt dahinter das Prinzip der Verkettung. Das sieht man echt gut. Kommt immer ein bisschen versetzt. Ich teste immer Leute. Guckt mir den Chat auch hinterher an. Sorry, dass ich nicht immer direkt reinschauen kann. Taylor Polynom wäre not bad. Ihr kennt die Playlist. Wo gehst du pumpen? Du hast schon umgeswitcht. Ich gehe mal eben in den Chat rein. Konvergenzkriterien. Minorantenkriterium. Ich habe es jetzt ein bisschen aufs Abi gemünzt. Die Playlist ist schon am Start. Lese ich aber raus. Auch für die Zukunft. Taylor. Von McLaurin zu Taylor. Wird der Stream online bleiben? Ja, wird er bleiben. Könnt ihr im Nachgang angucken. Auch im Nachgang kommentieren. Was ist noch gewünscht? Abi-Phase, eher zur Uni, eher zu Stochastik. Eher zu lineare Algebra, analytische Geometrie. Morgen Mathe vor Abi, schon mal viel Erfolg. Partielle Integration. Vielleicht mache ich auch mal einen Livestream, wo ich einfach sage, okay, schnappen wir uns mal eben und machen die partielle Integration. Ich gehe es jetzt gerade mal eben von vorne durch. Eigentlich wollte ich gar nicht so lange machen, aber jetzt sind wir auch schon wieder 20 Minuten oder so dran. Also läuft, finde ich, ist eine ganz interessante Erfahrung. Daniel Jung, dank deiner Videos verstehe ich endlich Mathe. Super, jetzt rechne ich noch so ein bisschen Aufgaben vor und teste mal, was geht. Alles klar. Also, wieder zurück. Also, Verkettung steckt dahinter. Was heißt Verkettung? Wir haben eine äußere Funktion U von X und eine innere Funktion V von X. Und die Ableitung von dem ganzen Paket ist die äußere Funktion abgeleitet, die innere bleibt erhalten, multipliziert mit der inneren Ableitung. Klingt super kompliziert, ist aber total einfach. Das ist so eine Basis. Könnte ich jetzt auch mal eben ein Beispiel zu machen. Ein Klassiker ist 2 mal Klammer auf X Quadrat minus 4 hoch 7. Ja, wäre eine Funktion. Na, zack, zack, zack. F von X. So, was ist jetzt die Ableitung? Ihr könnt es euch einzeln rausschreiben, dass man hier die äußere, das Konstrukt erkennt, das wäre 2 mal irgendetwas hoch 7. Und da seht ihr hier, das ist das äußere Paket und das, was hier steht, X Quadrat minus 4, das ist die innere Funktion, das wäre V von X. Das wäre dann, ich schreibe dann immer extra nicht X hin, aber das wäre die äußere Funktion U von X. Und dann haben wir nach der Kettenregel, F Strich von X wäre das äußere Paket abgeleitet, 7 nach vorne multipliziert. Die innere Funktion bleibt erhalten. Oben eine abgezogen, aber multipliziert mit der Ableitung hier der inneren Funktion und die Ableitung wäre 2X. Und dieses Prinzip steckt dann eben auch neues Blatt hinter, was haben wir, wenn wir haben F von X gleich 20 mal E hoch X hoch 3 minus 4 X. Ihr solltet hier erkennen, das ist das äußere Konstrukt, nämlich Zahl, konstanter Faktor, mal E hoch und da steckt die innere Funktion. Also leite ich erst das äußere ab. Das äußere ist 20 mal E hoch X hoch 3 minus 4 X. Aber ich multipliziere mit der Ableitung hier von der inneren Funktion, das wäre mal 3X Quadrat minus 4. Und das schreibt man da noch ein bisschen hübscher hin. Gleich 20 mal 3X Quadrat minus 4 mal E hoch X hoch 3 minus 4 X. Jetzt kommen wir eigentlich schon an den nächsten Punkt. Was ist, wenn ihr das ableiten müsstet? Jetzt habt ihr auf einmal hier nicht nur eine Zahl multipliziert mit dem E-Teil, sondern hier etwas mit U und hier etwas mit V, also grundsätzlich die Produktregel. Wo aber wiederum hier die Verkettung drin steckt. Keine Sorge, ist ja nicht so kompliziert, sondern erstmal ist die Struktur, wenn ich eine Funktion habe mit U von X mal V von X, dann ist die Ableitung dafür U Strich mal V plus U mal das soll ein U sein U mal V Strich. Das als Basis. Ich nehme jetzt mal eine etwas schlankere Version, auch wieder als Beispielrechnung. Wir haben jetzt mal X Quadrat mal E hoch 4X. Dann haben wir hier den U-Teil und hier den V-Teil und F Strich ist dann als Konstrukt U Strich mal V plus U mal V Strich So, U Strich, das abgeleitet ist 2X mal V übernommen, E hoch 4X plus U übernommen mal und jetzt den V-Teil abgeleitet wäre E hoch 4X, aber noch multipliziert mit 4. Ich habe jetzt hierhin geschrieben, also die 4, ich hätte es ja auch hinten dran schreiben können und so werdet ihr es nicht in den Überprüfungsergebnissen sehen, sondern den E-Teil noch ausgeklammert E hoch 4X, bleibt dann 2X Achso, ah super! Leute, guck mal, ich teste das ist super, dass einer mitdenkt Sorry Leute, schreibt es auch gerne in den Chat, wenn ich über mein Bild schreibe, das habe ich ja so noch nie gemacht 2X plus 4X Quadrat So und jetzt, so gehen die Ableitungen auch weiter, ihr könntet jetzt auch schreiben 2X plus 4X Quadrat mal E hoch 4X, damit ihr dann wieder hier den U und hier den V-Teil habt oder nehmt hier U und hier V So, das war mal so ein kleiner Einblick in das Thema Ableiten Dann habe ich ja vorhin schon gesehen Thema Stammfunktionen Vielleicht nehme ich da mal folgendes, ich nehme mal noch grafisches Ableiten, das ist auch richtig so XY Pass auf, wenn das der Graph seiner Funktion von F und X wäre dann ist das ein Klassiker, zeichnet doch jetzt mal den Ableitungsgraph ein. So und jetzt kommen Farbenspielereien, haben sich ja viele schon immer gewünscht Das ist ein guter Punkt, dass ich auf die Kamera gucke, dass ich nicht hier hinter schreibe. Was haben wir für besondere Punkte? Schaut hier Was ist an diesen markanten Stellen da sind wir direkt bei einer Vokabel Dort ist M gleich 0 und dort haben wir eine waagerechte Tangente Waagerechte Tangente, Steigung 0, heißt beim Ableitungsgraph eine Nullstelle Das ist ja auch der Hintergrund, warum ihr für potenzielle Extremstellen die erste Ableitung 0 setzt. Da habe ich viele Videos zu gemacht grafischer Zusammenhang So, was ist hier? Hier kraxelt ihr den Berg hoch, habt also eine positive Steigung Hier fahrt ihr den Berg unter, zum Beispiel Ski, negative Steigung und hier kraxelt ihr positiver Weise den Berg wieder hoch Plus. Deshalb, wenn ihr die Steigung genau ausrechnen würdet haben wir Ich gehe mal hier so runter, so ungefähr genau Vorher hättet ihr ein Kreuzchen im Positiven Hier ein Kreuzchen im Negativen, hier im Positiven. Jetzt, damit man hier den Zusammenhang kennt, hier ist der Ableitungsgraph Ja Dass man jetzt schaut, okay, wenn wir jetzt den Ableitungsgraph von F' zeichnen würden Ja, und da würde ich mir wirklich auch immer mal für den Zusammenhang immer ein paar Minuten geben. F' ist zwar die zweite Ableitung von F aber es ist natürlich auch die erste Ableitung von F', das müsst ihr mal wirklich sacken lassen Denn dann könnt ihr wieder sagen, jetzt guckt ihr euch den hier mal an, den wieder jetzt so angeschaut, okay, hat er, dieser Graph, die Steigung 0, das heißt F' hätte hier eine Nullstelle, hier fahrt ihr Ski runter, negative Steigung hier plus hoch und in der Schnellversion möchte ich drauf hinaus Was ist, wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle hat? Dann wandern wir mal zurück Dann hat die erste Ableitung hier eine Extremstelle und der Ausgangsgraph hat hier was? Ein Wendepunkt Ja, ein Krümmungswechsel in dem Fall hier von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung Wahnsinn, grafischer Zusammenhang und so könnte man dann jetzt auch sagen, alles klar Ich gehe hier eine Etage runter Erste Ableitung, noch eine Etage runter Zweite Ableitung, genauso gut kann ich dann wieder zurückgehen und das Zurückgehen wäre dann eine Stammfunktion bilden, ja, und vielleicht da mal eben vielleicht das deutlich gemacht auch mit Beispiel, ihr habt jetzt eine Funktion f von x gleich einfach x², wieder gucken wenn ich gut schreibe, schwarz weiter f, ne f' von x wäre dann 2x f'' wäre 2 So, das wäre jetzt Etage runter ableiten und jetzt kann ich aber auch zu Groß f von x gehen und da sind wir dann bei der Stammfunktion So, und das vielleicht direkt mal angerissen jetzt mit Beispielen 1 Drittel x hoch 3, warum? Hier haben wir jetzt die Regel um von x hoch n als Ausgangsfunktion zur potenziellen Stammfunktion zu kommen, da nehmen wir dann x hoch n plus 1 dazu und vorne teilen wir 1 durch n plus 1 Es sieht wild aus, aber ihr kennt das hier 2 wird zu 3 und vorne schreiben wir 1 durch eben diese 3 und jetzt Achtung warum findet ihr dort ein plus c hinten dran? So, ist eigentlich ganz einfach wenn ihr habt muss ich mal gucken, sieht das gut aus als nächstes stellt euch vor, ihr habt die Funktion jetzt Groß f von x gleich 1 Drittel x hoch 3 plus 5 oder die gleiche plus 7 oder plus 1 immer 1 Drittel x hoch 3 plus, was ist da hinten mit der plus 1, der plus 5 der plus 7, ihr könnt euch ja so überprüfen dass das hier wirklich die Stammfunktion ist, dafür muss ja gelten, dass die Ableitung von Groß f genau die wieder ergibt und sowohl wenn da plus 7 plus 5 plus 1 auch minus 8 steht, dann kommt raus 3 mal 1 Drittel mal x hoch 2 ist gleich kürzt sich weg, x hoch 2 und das plus c hier hinten, und hier wäre der c Wert eben minus 8 ist dann kein konstanter Faktor, sondern fällt weg und deshalb habt ihr dann immer f von x die Stammfunktion ist gleich irgendetwas noch plus c das ist ganz wichtig und so könnte man direkt wieder ich könnte die ganze Nacht durchrechnen fällt mir gerade auf, die Analysis Leute, danke auch für den Chat ich werde jetzt im Nachgang wirklich mal gucken dass ich vielleicht, keine Ahnung ich plane von mir 20 Livestreams davon sind 5 Analysis, 5 Stochastik, schaue ich mal weil es ja echt ein großes Gebiet ist und immer Fragen kommen und nehme gerne eure Rückmeldung auf, nimmt man hier noch mit einen dazu, der im Chat Fragen beantwortet packen wir mathefragen.de mit da rein wo ihr parallel drauf zugreifen könnt mathefragen.de einfach drauf, Frage posten da sind immer irgendwelche tollen Helfer sowieso 24 7 mit dabei, wirklich teilweise auch nachts, finde ich ganz interessant und ansonsten merke ich halt gerade wow, das ist da kann man echt viel machen, jetzt mache ich mal eben kurz f von x groß f von x plus c das denke ich mir immer mit dazu also Start war x hoch 2 ist ein Drittel x hoch 3, jetzt kann man mal testen x hoch 4 würde zu x hoch 5 und vorne 1 durch 5 werden was ist jetzt hier gleiches Prinzip wenn hier steht 20 mal x hoch 7, dann haben wir x hoch 7 wird zu x hoch 8 und ein Achtel, aber 20 bleibt auch hier beim Bilden der Stammfunktion als konstanter Faktor erhalten so, was haben wir noch eine Zahl, bekäme ein x dazu, warum, 8 mal x abgeleitet wäre wieder 8 so, jetzt kann man sich beides wieder erbasteln, was haben wir wenn wir x Quadrat plus 10 haben dann hätten wir hier vorne, klar, ein Drittel x hoch 3 plus 10x nochmal, das plus c immer hinten dran habe ich hier oben ja hingeschrieben, was hätten wir noch 2x hoch 4 Minus, ein Klassiker 5x, was haben wir hier hier vorne, x hoch 5 und ein Fünftel, aber die 2 als konstanter Faktor bleibt erhalten was haben wir bei minus 5 mal x wir hätten x wird zu x hoch 2 und vorne 1 durch 2 und die minus 5 als konstanter Faktor bleibt erhalten dann habe ich vorhin gelesen ich glaube partielle Integration ist immer die Frage, was macht man im GK was macht man im LK, was hat man im Studium ich nehme mal eben einen Klassiker genauso wie es beim Ableiten spezielle Regeln gibt, haben wir beim Bilden der Stammfunktionen wir haben zum Beispiel f von x gleich nehmen wir mal x mal ich mach es mal einfach, e hoch x so, dafür brauchen wir ein Konstrukt genauso wie beim Ableiten wir ein u-Teil und ein v-Teil haben, brauchen wir so etwas jetzt auch, um eine Stammfunktion zu bilden und dort ist es so, dass Integral dx gleich, wir so ein Konstrukt hier haben wo wir haben u mal v Strich, dann u mal v und Teil ist schon integriert, das heißt partiell und dann hier u Strich mal v und das ist, da gibt es dann wieder Unterschiede, ob ihr eine e-Funktion oder eine l-Funktion habt hier haben wir jetzt x als u-Teil gesetzt und e hoch x als v Strich was passiert jetzt ist ja partiell teilweise, u bleibt erhalten, ja, mal v aus e hoch x wird wieder e hoch x, u Strich ist die Ableitung von x, wie ist die Ableitung von x, es würde eine 1 mal davor stehen, wäre 1 mal v ist immer noch e hoch x so, und jetzt haben wir hier hinten noch den Teil x mal e hoch x minus und hier jetzt auch, eckige Klammer heißt dann Stammfunktion, wäre e hoch x das Ganze könnt ihr dann x mal e hoch x minus e hoch x schreiben, komplett und natürlich immer noch plus c hinten dran gedacht nur mal angerissen, partielle Integration, dann gibt es noch Substitutionsmethode jetzt bin ich eigentlich den ganzen Bereich durchgegangen, Ableiten in Anführungsstrichen Aufleiten mal eine wichtige Sache vielleicht, da solltet ihr wirklich drauf achten was ist, wenn wir hier jetzt x, y haben und wir haben eine Funktion, ich geh das mal eben durch so, das ist jetzt, x wäre die Zeit von mir aus Stunden und y gibt dann den Wasserstand an ich reiß das auch mal eben an, um dann auch auszuloten im Nachgang, was ist interessant in Zukunft mal weiter zu rechnen, das ist ein Zusammenhang das ist jetzt nicht speziell rechnen aber wichtig ist, wenn wir jetzt hier f von x hätten was gibt denn f Strich von x an, ja klar, mathematisch die Steigung, aber was denn im Sachzusammenhang wenn das der Wasserstand hier ist der Wasserstand wird höher, dann wird der niedriger dann wird der wieder höher was heißt dann f Strich das wäre die Zu- oder Abnahmegeschwindigkeit so, und dann kommt oftmals dann als Zusammenhang was gibt denn hier jetzt wenn die Ausgangsfunktion mit x die Zeit in Stunden ist und y der Wasserstand von mir aus in Metern was wäre dann, von mir aus haben wir das Intervall von 0 bis 24 kompletter Tag und der Wasserstand geht von 0 bis was weiß ich, 100 Meter keine Ahnung, was wäre dann zum Beispiel das hier mathematisch machen wir mal 100 100 minus 80 durch 100 wäre es bei ne, ich muss es anders machen m ist gleich f von 24, ich weiß nicht genau, minus f von 20 durch 24 minus 20 das wäre ganz von Anfang nicht die Änderung in dem Moment also nicht die Zunahmegeschwindigkeit oder Abnahmegeschwindigkeit in dem Moment, in der gewissen Stunde sondern von 20 bis 24 also weiß ich nicht, von ungefähr hier bis hier dort die durchschnittliche Änderung und offensichtlich hier an dem Graph die durchschnittliche Zunahmegeschwindigkeit wie das Wasser reinläuft das mal angerissen zu dem Thema, was gibt der Meter, was gibt der was gibt die Funktion an was sind die x-Werte, was sind die y-Werte das ist relativ wichtig so, was haben wir noch wie lange bin ich eigentlich schon dran 35 Minuten schon, das gibt es doch gar nicht wie die Zeit vergeht bei Analysis so, ableiten haben wir durch vielleicht mal ganz kurz Thema Steckbriefaufgabe das ist auch Rekonstruktion von Funktionen ihr habt zum Beispiel, gegeben ihr habt einen Hochpunkt bei 2,8 und einen Wendepunkt bei 2,8 Hochpunkt bei 4,1 was kriegt ihr dort für Bedingungen raus, wenn ihr aufstellen sollt, ein Funktionsterm von einer Funktion vierten Grades auch hier mal nur die Vokabeln durchgegangen dritten Grades so, sonst reicht es nicht aus dritten Grades wäre ax hoch 3, das ist höchster Exponent plus bx² plus cx plus d abcd ihr braucht vier Koeffizienten also vier Bedingungen und welche Bedingungen lest ihr hier jetzt raus es sind zwei Punkte also habt ihr einmal f von 2 gleich 8 das wäre x-Wert, y-Wert dann habt ihr f von 4 gleich 1 x-Wert, y-Wert dann habt ihr f' von 2 gleich 0, warum wenn ein Hochpunkt an der Stelle 2 ist dann muss die erste Ableitung bei 2 die Steigung 0 haben warum gilt f' von 4 gleich 0 wenn wir einen Wendepunkt haben an der Stelle 4 muss gelten, dass die zweite Ableitung 4 eingesetzt gleich 0 ergibt, das sind jetzt wieder die Zusammenhänge, grafisches Ableiten, was ist ein Hochpunkt, was ist ein Wendepunkt und was ergibt sich aus diesem Paket, ihr könnt jetzt 2 und 4 jeweils einsetzen in die Ausgangsfunktion und was ihr dann noch braucht, erste Ableitung und zweite Ableitung und die wären erstmal f' von x gleich 3ax hoch 2 plus 2 2bx plus c und die zweite Ableitung gleich 6ax plus 2b und einfach nur mal vorgemacht 4 eingesetzt in die zweite Ableitung würde ergeben f' von 4 ist gleich 6 mal a mal 4 plus 2b gleich, 0 muss rauskommen und hier habt ihr dann eine Gleichung und wenn ihr insgesamt 1, 2, 3, 4 Gleichungen habt, dann könnt ihr entsprechend wieder lösen und kommen drauf. Das war jetzt angerissen. Was kann ich noch vormachen? Komm, ich mach noch eine Produktregel vor, weil das ist so ein Klassiker mit e. Ich mach mal eine jetzt mit Parameter. Ah, doch, wenn wir schon mal live sind, machen wir auch Scharfunktionen. Was heißt denn fa von x gleich ax hoch 2? Hier haben wir eine Funktion Schar. Warum? Wir haben jetzt hier einen Buchstaben, hier als Index geschrieben a, das kann auch fk von x gleich k mal x hoch 2 sein. Wichtig ist, eine Scharfunktion ist, ihr könnt ja jetzt, wenn zum Beispiel a ungleich 0 ist, könntet ihr für a gleich 1 einsetzen, a gleich 2 einsetzen, a gleich 3 einsetzen oder auch a gleich minus 4 einsetzen und jedes Mal kommt ja eine andere Funktion raus. f1 von x wäre dann x², f2 von x wäre 2x² und so weiter und dann haben wir eine Schar von Funktionen, die jeweils anders aussehen würde. Normalparabel, wenn die Werte größer werden, ich reiße es nur mal an, gestreckt und gestaucht ist da der Hinweis, oder bei Minus dann gespiegelt und ihr seht eine Herrschar an Funktionen und das ist vielleicht nochmal Funktionsscharen, auch hier jetzt nur mal kurz angerissen, f a von x, wie leite ich dann ab? f a Strich von x, nicht, also da haben wir a x², die Ableitung wäre 2ax, warum? a ist zu behandeln wie eine Zahl und als konstanter Faktor bleibt a erhalten. Wow! Ich teste. Und x² abgeleitet ist ja, die 2 nach vorne multipliziert und oben eine abgezogen ist 1. Jetzt wichtig, was ist, wenn da steht a² x², da wollen viele aus dem a² ein 2a machen, aber a² multipliziert, setzt mal für a eine Zahl ein, ist wieder eine Zahl, bleibt beim Ableiten als konstanter Faktor erhalten, deshalb 2 mal a² mal x. Sowas trainiert man separat, warum dann eben auch klar ist, was ist mit x hoch 4 plus a² minus ax. Vorne ist klar, 4x hoch 3, das plus a² ist nicht multipliziert, a ist hier zu behandeln wie eine Zahl. Parameter hört ihr da auch oft und deshalb ist das hier eine Zahl, die wegfällt beim Ableiten und minus a mal x ist dann minus a, ja, x abgeleitet fällt weg, also nur noch minus a. Komm, noch ein Beispiel, direkt mit e, nehmen wir e hoch ax hoch 3, da hätten wir jetzt, noch was dazu, a hoch 3 mal, hätten wir a hoch 3 als konstanter Faktor bleibt erhalten, e hoch ax hoch 3 und noch multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion vom Exponent wäre 3 ax hoch 2. Und das könnt ihr jetzt zusammenfassen, jetzt kommen wieder Potenzgesetze, a mal a hoch 3 ist a hoch 4, 3 bleibt, x² mal e hoch a x hoch 3 und hier in der nächsten Version zum Ableiten hättet ihr dann u-Teil, v-Teil Produktregel. Wow, ich glaube ich kann ganz viele Livestreams machen zum Rechnen. Ok, schreiben wir mal auf mich, dann gehe ich jetzt noch ein bisschen in Q&A, 2-3 Minuten, ich gehe noch ein bisschen in den Chat, also super interessant, keine Schleichwerbung für Apple machen, klappt aber easy. So Leute, kurz noch gerne in den Chat, hab bald Abi, wie grafisch aufleiten geht in die Playlist rund ums Ableiten, dort habe ich ganz viele Beispiele zum Thema Stammfunktionen grafisch bestimmen, kann ich aber auch nochmal ein Live zu machen, speziell zum Thema Ableiten, Stammfunktionen bilden, ich versuche mir mal einen Plan zu machen für die nächsten Monate, gibt es feste Zeit, wenn Daniel live ist? Guter Punkt, ich werde mal gucken, vielleicht sage ich einfach jeden Donnerstag fix und der Rest wird irgendwie variabel sein, weil es ist ja echt viel zu machen, kannst du bitte auch die Ortslinie, Ortskurve, Kurvenschar diskutieren, Normale und Tangente eingehen, super, wird alles nochmal notiert, gehe ich alles durch, gebündelt findet ihr das alles übrigens in den Heften, entweder sind sie hier schon unten drunter verlinkt, oh ne, ich hab noch den alten Merch Shop, der muss weg, kannst du eigentlich die Beschreibung ändern? Ja gut, ich mach's im Nachgang, werde ich's unten ändern, aber gut zu wissen für die Skripte, klassisches Abi Beispiel, Aufgaben rechnen, ja, können wir machen, also wirklich Komplettversion, ja, die Pflanze wächst oder whatever, der Reich ist voll oder streng mathematisch, kann ich auch aus meinen Klausurentrainern rausziehen und dann einmal komplett durchrechnen, wenn ihr Fragen habt, Abi Beispiele wären auch super, sowohl wahrscheinlich, ihr könnt mal auch reinschreiben, ob für Analysis, Stochastik, lineare Algebra oder analytische Geometrie, was euch da lieber ist, Abi Beispiele, auf jeden Fall, kannst du nochmal Extremwertaufgaben, genau, könnte ich auch nochmal anreißen, Extremwertaufgabe im Sinne von, du meinst wahrscheinlich nicht nur einfach den Extremwert bestimmen, sondern der Flächeninhalt von einem eingebauten Dreieck maximal, solche Geschichten, ist notiert, E-Funktionen auswählen, Stochastik ist besser, auf jeden Fall, Stochastik ist das Schönste, was es gibt, kannst du was zu E-Funktionen machen, auf jeden Fall, die Playlist habt ihr wahrscheinlich schon durch mit 100 Videos, vielleicht werde ich die Livestreams ein bisschen spezifizieren, also vielleicht heute Livestream, E-Funktionen dann im Nachgang bereitgestellt mit Aufgaben, vielleicht auch Abi-Aufgaben speziell dazu, der Gedanke kommt mir jetzt, da gucke ich auch nochmal rein, was in den Abi-Statuten ist, Studium ist nochmal eine Extra- Geschichte, was man da rechnen kann, ich habe ja 25 Lernhefte, eigentlich könnte ich jeden Tag live gehen, sehe ich gerade, es gibt genug zu rechnen, nochmal der Tipp für euch, wird auch hier die Beschreibung noch nacharbeiten, mathefragen.de ist für euch 24 7 online zum Fragestellen, antwortet nicht jetzt nachts immer einer innerhalb von 5 Minuten, aber grundsätzlich bekommt ihr da auch super Hilfe bis zum Studium, Stream ist noch abzurufen später und es wird mehr Streams geben, hau gerne rein, zu welchen Themen nehmen wir alles auf, gehen wir durch, ich versuche die auch zu planen, ich versuche die auch vor anzukündigen, das war heute einfach mal ein Test, wie ihr gesehen habt, ich könnte jetzt wieder mal eben den Test machen, Gero, kannst du mal eben nochmal auf zack, zack, zack, so und ich habe zum Beispiel gehört, Extremwert, wahrscheinlich Extremwert-Probleme, sprich, ihr habt hier so einen Funktionsausschnitt und dann seid ihr im ersten Quadranten, zack, zack, zack, ich gucke immer zeitgleich rauf, ich weiß nicht, wie es versetzt kommt, ich mache einfach weiter, hier wird ein Punkt im ersten Quadranten beschrieben, dieser Punkt ist dann u und f von u und zwar irgendein x-Wert bei der eigentlichen Funktion f von x, wie auch immer diese Funktion heißt, eingesetzt und dieser Punkt dann der Punkt den Punkt nenne ich jetzt p, ist u, f von u, dieser hier ist u0, das ist der Punkt q und der Ursprung bilden ein Dreieck und ihr seht, das Dreieck ist rechtwinklig und wie muss der Punkt hier gewählt werden, damit dieser Flächeninhalt maximal ist, klassisches Extremwert-Problem. Flächeninhalt vom Dreieck ist ein Halb Grundseite mal Höhe und der Flächeninhalt in Abhängigkeit von u wäre in diesem Fall ein Halb, wir nehmen das als Grundseite, die Länge wäre u und die Höhe ist der y-Wert also mal f von u und dann haben wir hier unsere Zielfunktion, wo es dann weitergeht. Einmal wieder zurück, das ist so das, was ich meine mit testen, switchen, kann man gerade auf irgendetwas eingehen, dann mal was vorrechnen, könnte ich mir auch vorstellen, dass man einmal eine Live-Stunde macht, es kommt irgendeine Frage, keine Ahnung, kannst du was jetzt zum Beispiel zu Täler-Reihen machen, sind wir eher im Studium veranlagt, würde ich mal eben vormachen, McLaurin, Täler-Reihe, McLaurin, die einfache Version, dann zu Täler-Approximation, was ist dafür wichtig, Playlist ist am Start, wisst ihr Bescheid, mathefragen.de, mal online, Hefte auch und Live-Streams werden jetzt verstärkt kommen und im Nachgang auch bereitgestellt und wie ich die Live-Streams aufbaue, ich kann mir wie gesagt gut vorstellen, die vielleicht ein bisschen später zu machen, wahrscheinlich könnt ihr auch mal im Nachgang reinschreiben, lieber um 18 Uhr in der Woche, wie sieht es am Wochenende aus, ich arbeite gerne auch am Wochenende durch, Samstag, Sonntag, machen wir mal Sonntag drei Stunden Power-Live-Stream, alles möglich, ich versuche es dann auch so zu klastern, Abi, Studium, whatever und auf jeden Fall eine coole Geschichte, super Ausstattung hier, ich fühle mich wohl und wir gehen es im Nachgang durch, war ein super Test, wie gesagt, teilt den Live-Stream auch im Nachgang, wenn er jetzt hier gleich hochgeladen wird, schreibt unten auch in die Kommentare nochmal Themen, Uhrzeit gerne, was ihr euch noch wünscht und dann haben wir als Ziel, weiß ich nicht, größten Mathe-Live-Stream aller Zeiten, whatever, regelmäßig Live-Stream und dann Mathe-Vokabel erkannt, Gefahr gebannt, dann meldet sich jemand, soll ich noch, ja, Can, du darfst ins Toilette gehen, das ist ja der Klassiker hier, jetzt musst du nicht warten extra, also, schön, dass ihr dabei wart, Live-Stream, hier geht online auch die nächsten, genau, dann ein bisschen tiefer in die Aufgaben, ich hab's notiert, Abi-Aufgaben wirklich durchrechnen, für entsprechende Themengebiete, ob jetzt Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben, Integralrechnung, vielleicht komprimierter nochmal Aufgaben, war heute, wie gesagt, ein Test, freue mich auf eure Rückmeldung und sage, bis demnächst, relativ zeitnah, im nächsten Live-Stream. Jetzt ist wichtig...