Montrer qu'une suite est convergente ♦ Théorème de convergence monotone ♦ Limite récurrence spé math

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com Dans cette vidéo, on va traiter un type d'exercice qui est très classique. Il s'agit de démontrer qu'une suite est convergente. Et vous allez voir que cet exercice est très complet. Déjà, il mélange les suites et les exponentielles. Ensuite, il va falloir savoir faire un raisonnement par récurrence. Ensuite, savoir trouver le sens de variation d'une suite. Et enfin, savoir conclure que la suite est convergente. Donc maintenant, comme d'habitude, appuyez sur pause. Essayez de faire tout seul cet exercice. Et on se retrouve juste après pour la correction. Donc allons-y. Première question. On nous demande de démontrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs. Autrement dit, il faut démontrer que pour tout entier naturel n, et bien un est strictement positif. Et cette propriété qu'on va démontrer, et bien on va lui donner un nom. C'est la première étape du raisonnement par récurrence. On va l'appeler Pn. Voilà, c'est ce que j'ai écrit ici. Et donc maintenant, on peut attaquer la première étape du raisonnement par récurrence. L'initialisation. Il s'agit de vérifier que cette propriété Pn est vraie pour la plus petite valeur de n possible. Et comme n, c'est un entier naturel, ça commence au rang 0. Donc il faut vérifier que quand on remplace n par 0 dans Pn, et bien c'est vrai. Donc on va le faire au brouillon. Je remplace n par 0. Et donc ça me donne P0. C'est quoi P0 ? C'est le fait que U0 soit strictement positif. Mais U0, on connait sa valeur, c'est 1. Donc je remplace U0 par 1. Pour le moment je suis au brouillon. 1, c'est bien strictement positif. Donc ceci est vrai. Et donc ça veut dire que P0 est vrai. Et donc ça veut dire que l'initialisation est terminée. Il y a juste à rédiger ce qu'on vient d'expliquer au brouillon. Et donc j'écris initialisation U0 vaut 1. Donc U0 est strictement positif. Et donc P0, cette propriété, est bien vraie au rang 0. Ce qui termine l'initialisation. Et maintenant on peut passer à la deuxième étape, l'hérédité. Alors l'hérédité, il s'agit de démontrer que si, j'insiste bien, si la propriété est vraie au rang n, alors elle est encore vraie au rang d'après. Autrement dit, Pn plus 1 est vraie. Alors Pn, Pn, elle est écrite ici. Et donc je vous conseille d'écrire Pn plus 1 sur votre brouillon. C'est ce qu'on va faire ici. J'écris Pn plus 1. C'est quoi Pn plus 1 ? Je prends Pn et à la place de mettre n, je mets n plus 1. Et donc ça nous donne Un plus 1 est strictement positif. Donc nous, on doit démontrer que si Un est positif, alors Un plus 1 est encore positif. Ça c'est très simple. Regardez la définition de la suite. Si Un est positif, si ceci est positif, on multiplie par l'exponentiel d'un nombre réel. Et l'exponentiel d'un nombre réel, c'est toujours positif. Et donc un positif que multiplie un positif, l'ensemble est positif. Et donc on en déduit que Un plus 1 est positif. C'est ce qu'on voulait. Et maintenant, il n'y a plus qu'à le rédiger. Et donc j'écris soit un entier, j'insiste bien, un entier n supérieur ou égal à 0. Alors pourquoi 0 ? Parce qu'on veut montrer cette propriété à partir du rang 0. Ensuite j'annonce ce que je vais faire. J'écris supposons Pn vrai et montrons que Pn plus 1 est vrai. Donc on a supposé Pn vrai. Donc on a supposé ceci vrai. C'est ce que j'ai écrit ici. Et comme on l'a supposé vrai, j'ai mis par hypothèse. Ensuite je rajoute que l'exponentiel d'un nombre réel, c'est toujours strictement positif. Et donc si on multiplie deux nombres strictement positifs, et bien on obtient un nombre strictement positif. Et donc ça veut dire que comme ceci c'est Un plus 1, et bien donc Un plus 1 est strictement positif. Et d'où on en déduit que Pn plus 1 est vrai, ce qui termine l'hérédité. Et faites attention, on n'a pas démontré que Pn plus 1 est vrai, on a démontré que si Pn est vrai, alors Pn plus 1 est vrai. C'est ça l'hérédité. Et là, il faut comprendre qu'on a terminé. A l'initialisation, on a montré que P0 est vrai. Et ici à l'hérédité, on vient de démontrer que cette propriété est héréditaire. C'est-à-dire qu'elle se transmet d'un rang au suivant. Et donc comme P0 est vrai, grâce à l'hérédité, la propriété va se transmettre au rang d'après. Et donc on en déduit que P1 est vrai. Et toujours pareil, grâce à l'hérédité, la propriété va se transmettre au rang d'après. Et donc P2 va être vrai, et ainsi de suite. Et donc cette propriété va être tout le temps vraie. Et maintenant il n'y a plus qu'à faire une phrase de conclusion. Et donc j'écris P0 est vrai et Pn est héréditaire. Donc par récurrence et le raisonnement qu'on est en train d'utiliser, et bien pour tout entier n supérieur ou égal à 0, et bien notre propriété Pn est vraie. Et donc on a bien démontré par récurrence notre propriété. C'est-à-dire que tous les termes de la suite sont bien strictement positifs. Ce qui termine la question A. Passons à la question B. On nous demande de trouver le sens de variation de cette suite. Alors je vous ai rappelé ici la méthode la plus classique pour trouver le sens de variation d'une suite. On commence par calculer Un plus 1 moins Un. Ensuite il faut trouver le signe de Un plus 1 moins Un. Et pour cela il faut penser à factoriser. Et si Un plus 1 moins Un est tout le temps positif, ça veut dire que la suite est croissante. Et si c'est tout le temps négatif, ça veut dire que la suite est décroissante. Donc allons-y. Alors déjà je vais le faire au brouillon. Donc on calcule Un plus 1 moins Un. Alors Un plus 1, on l'a ici. C'est Un que multiplie exponentiel moins Un. Donc ça c'est Un plus 1. Et il reste moins Un. Et là on me dit qu'il faut penser à factoriser. Et regardez ici, j'ai un facteur commun. Et donc je mets Un en facteur. Et facteur de quoi ? Il me reste exponentiel moins Un. Il me reste donc moins Un. Il me reste donc moins 1. Si vous n'êtes pas à l'aise, redéveloppez. Et vous verrez qu'on tombe bien là-dessus. Donc ici on a Un plus 1 moins Un. Et comme ici c'est Un plus 1 moins Un, maintenant il faut trouver son signe. Alors Un, on a démontré à la question précédente qu'Un était tout le temps strictement positif. Maintenant reste à trouver le signe de la parenthèse. Alors Un est strictement positif. Donc moins Un, c'est strictement négatif. Et l'exponentiel d'un nombre négatif, pensez à tracer la courbe de l'exponentiel. La voilà, elle coupe l'axe des ordonnées en 1. Et donc l'exponentiel d'un nombre négatif, ça veut dire qu'on est dans cette zone. Si on prend un nombre négatif, l'exponentiel est plus petit que 1. Donc ça veut dire que l'exponentiel, j'insiste bien, d'un nombre négatif, eh bien ceci, c'est plus petit que 1. Et si on prend un nombre plus petit que 1, et qu'on lui enlève 1, eh bien ça veut dire que le résultat ici, il va être négatif. Et donc la parenthèse, elle va être négative. Et une parenthèse négative que multiplie un nombre positif, eh bien plus fois moins, ça fait moins. Et donc ça veut dire que tout ceci, c'est négatif. Autrement dit que Un plus 1 moins Un est négatif. Et si c'est négatif, ça veut dire que cette suite, elle est décroissante. Et maintenant, il n'y a plus qu'à le rédiger. Et donc pour rédiger, j'ai remis exactement le calcul qu'on avait fait. Et ensuite pour trouver le signe, je commence par rappeler que Un est strictement positif. Et donc si Un est strictement positif, eh bien moins Un est strictement négatif. Donc ceci est négatif. Et si vous n'avez pas compris, je le refais. Pour savoir l'exponentiel d'un nombre négatif, eh bien je trace la courbe d'exponentiel qui coupe l'axe des ordonnées en 1. Et donc si on prend l'exponentiel d'un nombre négatif, si on prend un nombre négatif, on est dans cette zone. Et donc l'exponentiel est plus petit que 1. C'est ce que j'ai écrit ici. Et ensuite pour avoir l'exponentiel de moins Un moins 1, eh bien ici j'ai juste à regrouper le 1 à gauche. Et donc on en déduit que la parenthèse, la parenthèse, elle est négative. Et donc si on fait le produit, eh bien l'ensemble est négatif. C'est pour ça qu'on en déduit que Un plus 1 moins Un est négatif. Et je rajoute devant ce calcul qu'il est valable pour tout entier naturel n. Et donc ça veut dire que ceci est tout le temps négatif. Et donc ça veut dire que la suite, elle est tout le temps décroissante. Alors la technique qu'on vient d'utiliser, calculer Un plus 1 moins Un, c'est la technique la plus classique. Mais quand on a une suite qui est strictement positive, j'insiste bien strictement positive, et qu'en plus on a des multiplications, eh bien dans cette situation, il y a une autre technique qui va souvent plus vite, c'est de calculer Un plus 1 sur Un. Donc ça, je vais le faire à la fin de la vidéo en bonus. Passons à la dernière question. On nous dit en déduire que la suite est convergente. Et quand on vous dit en déduire que la suite est convergente, eh bien vous devez absolument penser au théorème de convergence monotone que je vous ai rappelé ici. Quand on a une suite croissante majorée ou décroissante minorée, eh bien dans ces deux situations, on peut en conclure directement que la suite est convergente. Eh bien ça, c'est exactement ce qu'on vient de démontrer ici. On vient de démontrer que notre suite est décroissante et minorée. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire que tous les termes de la suite sont plus grands qu'une certaine valeur qui est fixe. Eh bien justement, on vient de démontrer que tous les termes de la suite sont plus grands que zéro. Donc cette suite est minorée par zéro. Donc notre suite est minorée par zéro et elle est décroissante. Donc les deux conditions sont remplies et donc on peut en déduire directement que notre suite est convergente. Et maintenant, il n'y a plus qu'à le rédiger. Donc voilà, je vous ai tout rédigé ici, ce qui termine cet exercice. Je voudrais faire deux remarques. Ça veut dire quoi ? Que la suite est convergente. Ça veut dire qu'elle a une limite finie. Donc ce théorème, il permet de justifier que la suite a une limite finie. Mais ce théorème de convergence monotone, il ne permet pas de donner la valeur de la limite. Et deuxième chose que je voudrais dire, c'est que la suite est décroissante et elle reste tout le temps supérieure ou égale à zéro. Mais il ne faut pas croire pour autant que la suite va forcément tendre vers zéro. Sans calcul supplémentaire, on ne peut rien dire de plus. On peut juste dire que la limite, elle, va être supérieure ou égale à zéro. Mais on ne peut rien dire de plus sans faire de calcul supplémentaire. Donc maintenant, comme prévu, on va refaire la question B. On va rechercher le sens de variation de cette suite, cette fois-ci, en utilisant la méthode UN plus 1 sur UN. Alors je rappelle la méthode, quand on a une suite strictement positive, j'insiste bien, strictement positive, et bien au lieu d'utiliser la méthode UN plus 1 moins UN, et bien on peut utiliser la méthode UN plus 1 sur UN. Donc on commence par calculer UN plus 1 sur UN, et ensuite on regarde si UN plus 1 sur UN est plus grand ou plus petit que 1. Si UN plus 1 sur UN est plus grand que 1, ça veut dire que la suite est croissante, et si c'est plus petit que 1, ça veut dire que la suite est décroissante. Donc allons-y, calculons UN plus 1 sur UN. Alors pour le moment, je le fais au brouillon. UN plus 1 sur UN. Alors ça nous donne, UN plus 1, on l'a ici, donc ça fait UN que multiplie exponentielle de moins UN divisé, donc ici on a UN plus 1, et divisé par UN. Et vous voyez qu'ici, on peut simplifier par UN, et donc il nous reste exponentielle de moins UN. Donc ici, on a UN plus 1 sur UN. Maintenant, il faut regarder si ceci c'est plus grand ou plus petit que 1. Alors rappelez-vous, UN est positif. Donc moins UN, et bien moins UN, et bien donc c'est négatif. Et donc ici, on a l'exponentielle d'un nombre négatif, et rappelez-vous, la courbe de l'exponentielle, je la trace ici, elle coupe l'axe des ordonnées en 1, et donc si on prend l'exponentielle d'un nombre négatif, si on prend un nombre négatif, et bien son exponentielle, elle se situe ici, elle est en dessous de 1. Donc ceci, c'est inférieur ou égal à 1. Et comme c'est inférieur ou égal à 1, ça veut dire tout simplement que cette suite, elle est décroissante, et vous voyez que ça va beaucoup plus vite que tout à l'heure avec UN plus 1 moins UN. Donc voilà, je vous ai tout remis au propre ici. J'ai juste rajouté devant le calcul qu'il est valable pour tout entier naturel N. C'est important de le rajouter. Et donc voilà, on a donc terminé cet exercice. J'espère que vous avez bien compris, et comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos.