Corrigé brevet mathématiques 2024 Amérique du nord ♦ Exercice 4 ♦ Pythagore Volume Terrasse Ratio ♕

bonjour et bienvenue sur j'aicompris.com alors l'objectif de cette vidéo c'est de s'entraîner sur cet exercice qui est tombé au brevet 2024 et son intérêt c'est que c'est un exercice qui est très classique ça mélange de la géométrie des calculs de volume des calculs de surface et également des calculs de prix donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause cherchez bien cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y origion cet exercice donc on a Monsieur et Madame Lambert qui veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin donc ici on a la terrasse vue en perspective et là c'est la même chose mais cette fois-ci la terrasse elle est vue de dessus alors première question on nous demande la longueur FJ FJ c'est ici donc on nous demande cette longueur là alors déjà regardons combien on a ici bah regardez là on a un rectangle puisqu'on a quatre angles droits et donc côté opposé et bien ils ont la même longueur et donc si ici on a 6 m et bien là on a 6 m également et maintenant comme ces trois points sont alignés c'est dit ici bah ça veut dire que cette longueur qu'on cherche ce bout là bien c'est la grande longueur donc 10 m moins ce boutl c'est 10 - 6 donc ici 10 - 6 ça fait 4 donc ici on a 4 m donc la longueur FJ elle vaut 4 m et maintenant il y a plus qu'à le rédiger et donc pour rédiger je commence par expliquer que comme ici on a un rectangle et bien cette longueurl elle est égale à celle-là et donc ici on a 6 m ensuite j'explique que comme ces trois points sont alignés et bien la longueur FJ c'est la grande longueur 10 m moins cette longueurl 6 m et ça ça fait 4 m voilà c'est ce que j'ai expliqué ici passons à la deuxième question cette terrasse on va la faire en béton et donc on va couler du béton mais si on veut pas que le béton coule partout et bien il va falloir mettre des planches tout autour c'est ce qu'on nous explique ici dans l'énoncé et donc la question c'est quelle est la longueur de planche qu'il va falloir acheter et bien pour le savoir il va falloir mesurer le périmètre de cette figure que je suis en train de repasser en rose ce qui correspond sur la vue de dessus au périmètre de cette figure donc que je suis toujours en train de repasser en rose et le problème c'est que pour avoir le périmètre de cette figure on connaît pas la longueur de ce côté et donc maintenant la question c'est combien mesure ce côté et ben regardez ce triangle ici on a un angle droit et donc on va pouvoir appliquer le théorème de Pythagore pour calculer cette longueur et donc on commence par écrire que ce triangle il est rectangle en F c'est ce que j'ai écrit ici et donc on va pouvoir appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle c'est ce que j'ai écrit ici donc on y va on prend le côté le plus long c'est celui qui est en face de l'angle droit c'est le côté GJ qu'on appelle l'hypoténuse et donc sa longueur au carré GJ au carré c'est égal on prend un des côtés qui touche l'angle droit donc par exemple GF au carré sa longueur au carré plus on prend l'autre côté qui touche l'angle droit donc on prend sa longueur au carré donc ça fait FJ au carré et voilà on a appliqué le théorème de Pythagore dans ce triangle et maintenant il y a plus qu'à remplacer alors GF GF c'est la longueur de ce côté-là mais comme on est dans un rectangle et bien la longueur qu'on a ici c'est la même que celle qu'on a en face ici donc là on a 3 m donc ça veut dire que GF mesure 3 m donc ici ça fait donc 3 o² + FJ mais FJ on vient de le calculer à la question précédente c'est 4 m donc + 4 + 4 au carré et maintenant il y a plus qu'à calculer 3 au Carr ça fait 9 + 4 car ça fait 16 et 9 + 16 ça nous fait 25 donc ça veut dire que GJ au carré vaut 25 mais nous on veut pas GJ au carré on veut GJ tout seul et donc ça veut dire que GJ et bien vaut AC 25 et vous savez que √ 25 ça fait 5 et ici les unités ce sont des mè donc ça veut dire que ce côtélà g J il mesure 5 m et donc maintenant maintenant on va pouvoir calculer le périmètre de la terrasse c'est ce que j'ai écrit ici et donc ça va faire 6 M 6 m plus 3 m plus ce côté-là 10 m plus enfin ce côté-là 5 m et maintenant il y a plus qu'à calculer 6 + 3 9 + 10 19 + 5 24 donc ça fait 24 m donc ça veut dire que le périmètre de la terrasse c'est 24 m et là on n'oublie pas de faire une petite phrase de conclusion pour cela on reprend la question on nous demandait quelle est la longueur de planche qu'on doit acheter au minimum et donc on répond il faudra donc acheter au minimum 24 m de planche passons à la question suivante Monsieur et Madame Lambert ils ont prévu de faire 4 m³ de béton et donc ils veulent s'assurer que le volume de la terrasse il est bien inférieur à 4 m³ et bien pour le savoir on va calculer le volume de cette terrasse et on va vérifier s'il est bien inférieur à 4 m C alors cette terrasse c'est ce qu'on appelle un prisme droit la face du dessous et la face du dessus elles sont identiques et les faces latérales ce sont des rectangles et comment on calcule le volume d'un prisme droit je vous l' rappeler ici le volume que j'ai appelé V et bien c'est l'air de la base que multiplie la hauteur et la base on l'a ici c'est la face du dessous ou encore la face du dessus puisque ces deux faces elles sont identiques et comme ici la terrasse on l'a vu de dessus et bien la base on l'a ici et donc maintenant il va falloir calculer l'air de la base c'est-à-dire l'air de la figure qu'on a ici et ensuite il y aura plus qu'à multiplier par la hauteur qui fait 15 cm alors pour calculer l'air de cette figure deux méthodes premièrement cette figure c'est un trapèze parce qu'on a deux côtés parallèle et il y a une formule pour calculer l'air d'un trapèze mais si vous connaissez pas l'air du trapèze et bien on va faire une deuxième méthode cette figure elle est composée d'un rectangle et d'un triangle et donc on va calculer séparément l'air de ce rectangle et l'air de ce triangle et ensuite il y aura plus qu'à les additionner alors l'air de ce rectangle et bien c'est très simple c'est donc longueur fois largeur 6 x 3 ça fait donc 18 m² maintenant l'air de ce triangle comme c'est un triangle rectangle son rir c'est la moitié de l'air de ce rectangle ce côté-là FJ on a vu c'est 4 m et ce côté-là c'est 3 m donc l'air du rectangle c'est 3 x 4 et comme on en prend la moitié pour avoir l'air du triangle c'est 3 x 4 / 2 3 x 4 12/ 2 ça fait donc l'air de ce triangle c'est donc 6 m² et donc l'air totale de cette figure qui est la base et bien c'est 18 m² plus m² 18 + 6 ça fait donc 24 m car donc l'air de la base c'est 24 m car et donc pour avoir le volume de la terrasse reste à multiplier par la hauteur de la terrasse qui fait 15 cm mais faites attention aux unité ici tout est en M donc les 15 cm il faut les mettre en m et 15 cm en M ça fait 0,15 m donc ici il faut multiplier par la hauteur 0,15 m et si vous faites le calcul 24 que multiplie 0,15 ça fait 3,6 et quand on multiplie des mè² avec des mètres ça fait des mè cues et donc le volume le volume de cette terrasse il fait 3,6 m³ et 3,6 m³ c'est bien inférieur à 4 m³ et donc pour rédiger j'écris que l'air de la base c'estàd l'air de e j g e jgh c'est égal à l'air du rectangle E FGH e FGH plus l'air du triangle fjg fjg ensuite j'ai remis le calcul de l'air du rectangle et le calcul de l'aire du triangle et ça me donne 24 m² au total et donc le volume de la terrasse c'est 7ette r que multiplie la hauteur et ça me donne 3,6 m³ et donc on a bien un volume de la terrasse qui est bien inférieur à 4 m³ ce qui termine cette question passons à la question suivante on nous dit pour faire 1 m³ de béton il faut 250 kg de ciment alors faisons un petit schéma 1 m³ pour 1 m³ de béton et bien il nous faut 250 kg de ciment et vous comprenez bien que si on veut deux fois plus de béton par exemple 2 m³ de béton et bien il faudra deux fois plus de ciment donc 500 kg aut a dit on est dans une situation de proportionnalité si on multiplie la quantité de béton par 2 et bien la quantité de ciment est également multiplié par 2 mais nous on veut pas 2 m³ de béton on en veut 4 et donc ça veut dire que la quantité de béton par rapport à 1 m³ elle a été multipliée par 4 donc la quantité de ciment elle est également multipliée par 4 et 4 x 250 et bien ça fait pile 1000 donc ça veut dire que pour 4 M CUB de béton il faudra donc 4 x 250 c'estd 1000 kg de ciment donc c'est la réponse qu'on attendait pour 4 m³ de béton il faut 1000 kg de ciment et pour rédiger je commence par expliquer que la masse de ciment est proportionnelle au volume de béton ensuite je remets mon petit tableau de proportionnalité et enfin j'oublie pas de faire une petite phrase réponse pour faire mes 4 m³ de béton et bien il faut 1000 kg de ciment et ce résultat qu'on vient de trouver que pour faire 4 m³ de béton il faut 1000 kg de ciment ce résultat je le note bien ici parce que j'en auraai besoin dans la prochaine question passons à la question suivante on nous dit que pour faire du béton il nous faut du ciment du gravier et du SAP c'est ce que j'ai écrit ici et le ciment le gravier et le sable on nous précise qu'ils sont dans le ratio 2 7 5 2 pour le ciment 7 pour le gravier et 5 pour le sable et ça veut dire quoi qu' sont dans le ratio 2 7 5 2 7 5 ça veut dire que si par exemple on veut 2 kg de ciment bah il nous faudra 7 kg de gravier et 5 kg de sable et on nous demande combien il va falloir de gravier et de sable pour faire ses 4 m³ de béton mais on vient de voir que pour faire 4 m³ de béton il faut 1000 kg de ciment et donc dans mon mélange je veux pas 2 kg de ciment j'en veux 1000 et maintenant ce qu'il faut comprendre c'est que quand on nous dit qu'on est dans le ratio 2 7 5 on vient d'expliquer que ça veut dire que si par exemple on prend 2 kg de ciment il nous faudra 7 kg de gravier et 5 kg de sable mais ça veut dire également que si on multiplie la quantité de ciment par 2 et bien la quantité de gravier sera également multiplié par 2 et la quantité de sable également autrement dit là encore on est dans dans une situation de proportionnalité donc ici on a les proportions pour 2 kg de ciment mais moi je veux pas 2 kg de ciment j'en veux 1000 et pour passer de 2 à 1000 il faut multiplier par 500 500 x 2 ça fait bien 1000 et donc si la quantité de ciment est multipliée par 500 et bien la quantité de gravier également et la quantité de sable également et maintenant il y a plus qu'à calculer 500 x 7 7 x 5 35 et je rajoute 2 0 ça fait 3500 kg et pareil pour le sable 500 x 5 5 x 5 25 et je rajoute les deux zé ça fait 2500 kg et on n'oublie pas de faire une petite phrase réponse donc pour faire 4 m³ de béton et bien il faut 3500 kg de gravier et 2500 kg de sable dernière chose si on avait pas vu que pour passer de 2 à 1000 il faut multiplié par 500 il y a une autre technique qui est très classique c'est de se ramener à 1 c'est ici à 1 kg de ciment et donc si on prend 1 kg de ciment par rapport à 2 on a divisé par 2 et donc si on a divisé par 2 la quantité de ciment bah la quantité de gravier est aussi divisé par 2 7/ 2 ça fait 3,5 et pareil la quantité de sable elle va être également divisé par 2 et 5 / 2 ça fait 2,5 et du coup maintenant il y a plus qu'à passer de 1 à 1000 et ça c'est très simple pour passer de 1 à 1000 on fait x 1000 et donc pour le gravier on fait x 1000 et 3,5 x 1000 on retrouve que ça fait 3500 et pareil pour le sable on fait x 1000 et 2,5 x 1000 on retrouve que ça fait 2500 donc ici il y avait deux techniques très classiques soit on passait de 2 à 1000 directement en multipliant par 500 soit on passait par 1 et ensuite on fait x 1000 c'est comme on préfère passons à la dernière question maintenant Monsieur et Madame Lambert ils souhaitent peindre la partie supérieure de la terras c'est-à-dire cette partie- làà et on avait vu à la question 3 que l'air de cette partie c'était 24 m² et pour cela ils vont devoir acheter de la peinture et l'objectif c'est que ça coûte le moins cher possible alors maintenant ce schéma cette vue en perspective j'en ai plus besoin et donc je vais l'enlever alors pour savoir ce qu'on va devoir acheter on nous dit qu'il va falloir faire deux couche de peinture donc ça veut dire qu'il va falloir peindre deux fois cette surface donc 2 x 24 m² ce qui fait 48 m² il va falloir peindre 48 m² ensuite on nous dit qu'un l de peinture permet de recouvrir 5 m² je l'écris 1 L de peinture permet de recouvrir 5 m Carr mais moi je veux pas faire 5 m² je veux en faire 48 des mè²r donc pour savoir combien ça fait de L bien je regarde dans 48 combien de fois on a 5 et donc je prends 48 et je le divise par 5 et si vous faites le calcule 48 / 5 ça fait 9,6 donc ça veut dire que pour 48 m² et bien il faudra 9,6 l de peinture maintenant pour avoir ces 9,6 l on nous propose deux types de pot soit le pot a qui contient 5 L donc pour avoir 9,6 l il faudra en acheter de soit un pot qui contient 10 L donc la première solution c'est d'acheter un pot B qui contient 10 L et donc du coup on en aura assez et avec le pot B bah ça va nous coûter combien le PO il coûte 129,90 €. 2è possibilité c'est d'acheter deux pot a à 5 L et deux pot a ils vont nous coûter combien et bien faites attention le premier pot il coûte 79 €90 € plus le deuxè pot mais c'est indiqué ici on a - 50 % sur le deè article identique et donc le deème comme il est identique il coûtera la moitié 50 % c'est la moitié donc 79,90/ par 2 et maintenant il y a plus qu'à faire le calcul 79,9 + 79,90/ 2 ça fait donc ici pour l'avoir en décimal on clique ici ça fait 119 119,85 € et regardez par rapport à la solution B 129 c'est plus donc ici la solution avec deux Pota elle est moins chère donc c'est la bonne solution à choisir et donc voilà je vous ai rédigé ce qu'on vient d'expliquer au brouillon ce qui termine cet exercice donc voilà cette vidéo est terminée j'espère que vous avez bien compris et pour continuer à vous entraîner je vous propose cet exercice qui était au brevet le suivant de celui qu'on vient de traiter et qui permet cette fois-ci de s'entraîner sur scratch donc cher chez le bien et vous aurez la solution dans la prochaine vidéo et comme d'habitude si vous avez apprécié cette vidéo n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos