八下數學 14 等差級數(5)：歷屆試題終極全攻略、會考求和題型一次講完、大考邏輯與 Sn 公式深度結合｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 今天晚上我們要上的是國二的數學 目前的進度是等差級數的歷屆試題 音量OK嗎? 可以 我們看講義的第45頁 我們今天嘗試把歷屆試題上完 因為上完之後 是康軒版吧 他有一個等比級數 這一次沒有安排到 但是我老師會再做講義跟做教學 所以在下週一 禮拜五沒上課 因為禮拜五老師有事情就沒上課 然後禮拜一的時候 我們會教那個等比數列 所以你等比數列等比中項 什麼叫等比第二項 你不會的話沒關係 下禮拜一我們會做教學 然後接著我們就會上下個章節 那關於那個等比的部分的話 如果你有買那個下一次講義 我就把那個等比級數的資料 直接附進去 我們就沒有再另外再收費了 好我們看那個來 等差級數在45頁的第一題 題目說 已知A1加A2加到A31 跟B1加B2加到B31 它都是等差級數 何謂等差級數 它是等差數列 然後全部累加 就稱之為等差級數 然後而且它說這兩個都有31項 其中A2加B30 A2加B30是29 A30加B2是-9 問你說這兩個等差級數的 和相加結果是多少 有時候我們題目這樣子看 那就是很無法去理解 它到底出什麼東西 你就把題目整理一下 好現在第一題 它是說等差級數 A1加A2 一直加嘛 然後最後加加加加加 加到什麼去了 加到A31去了 A30跟A31 它說全部就共31項 對不對 另外一個是B系列的 它是B1加B2 然後一直加加加加加 再到後面呢 也是B30跟B31 那題目給的已知也很奇怪很妙 它說它說A2加B30是29 A2加B30等於29 再來是A30加B2會等於-9 有趣 A2加B30是29 A30加B2又是-9 那問你說這兩個等差級數 它們的和相加是多少 就是這兩個等差級數的和相加 也就是說它是要求這個 A的等差級數總和跟B的總和 兩個加起來看答案多少對不對 怎麼這樣出 好來既然這樣出我們再看這邊的 它給這個對不對 給這個好不好用 哎好用了你看哦 A2跟B30 A30跟B2 有沒有覺得哪裡怪怪的 A2 A30 B2 B30 有沒有 所以怎麼做呢 我就把這兩個先相加 把它加起來你看哦 A2加A30 就全部這兩個相加 這兩個相加變什麼結果 我把它整理一下 它變成了A2加A30 再加上B2 B2先寫好了 再加B30 就會等於什麼 29加-9 29加-9是20 對不對等於20 它寫到這邊的時候你就想了哦 哎這邊很可疑哦對不對 A2加A30是什麼東西 有沒有我們學等差中項對不對 你看哦 這兩個的等差中項是誰 它不就2加30除2 2加30叫32 32除2 16 它的等差中項是16 所以呢這兩數相加 等於中間兩倍 等於等差中項兩倍 所以等於兩個A16 這如果你忘記我加寫給你看 比如說ABC乘等差對不對 我們說A加C除2 A加C除2等於B不是嗎 對不對 換句話說兩遍都乘2怎麼樣 A加B A加C就是2B 有沒有 A加C兩個是等差中項兩倍 一樣的道理 等差中項是16 這兩數相加是兩個A16 這樣ok吼 應該這樣看哦 那後面這個也可以這樣子整理啊 對不對 所以呢 B2加B30的等差中項 啊不就B16 2加30 32除2變16 對 所以這兩個相加是中間的兩倍 所以兩個B16 兩個B16 然後等於20 接著我把它都除2 除2之後得到什麼結果呢 得到這個結果 A16加B16會等於10 要這幹嘛吼 來來來 要這要幹嘛 你再看哦 哪邊叫A16 我們把它標一下 哪邊是A16 A1 A2 A3 A到後面 A到中間的時候A16 對不對 這邊呢 B1 B2 B3 B到中間那邊B16嘛 對不對 那A16 B16有什麼 有什麼樣的特別嗎 你再注意看一次哦 1 是首項 對不對 31是末項 1加31除2 是不是16 哎沒錯 所以這個A16呢 是整個這個整個等差數列的等差中項 它是A1跟A31的中項 也是A2跟A30的中項 也是A3跟A29的中項 有沒有中間中等差中項 所以 這個就等於平均數嘍 等於我不是我說過嗎 等差中項的概念叫平均數 所以 這兩個相加 的總和是10的話 那這兩個又是整個平均數的位置 那有幾個 從一開始23456到31結束有31個 這31個平均是10哦 那總和多少 31 乘以10 就10乘31哦 所以答案是310 所以這兩個等差數列的總和 答案叫310 好如果同學你這邊看不懂 再說一次哦 因為這兩個都在中間的位置 對中間位置 中間的等差中項 就很像平均數的概念 所以這兩個加 這兩個加 這兩個加哦 它的平均在這裡啊 就是10 如果這個是10的話 平均什麼意思 就是說 這樣加也10 叫平均嘛 哦這有幾個 有31個啊 所以10乘以31 答案就是310 哦所以第一題答案總和310 好 這樣有沒有問題啊 這是那個 等差極數的第一題哦 好再看那個第二題 第二題啊題目說呢 甲乙兩等差極數 的首項都是 都是6 首項都是6 甲乙的公差相等 然後呢 甲極數 跟乙極數 的和相差二分之三 若比較 哦看錯字了 甲乙兩 一開始那個念錯了 它是甲乙兩等差極數的 項數都是6 不是首項都是6 首項都是6 後面又問這個什麼 誰首項答的不是有問題 是我剛剛念錯了 再來一次哦 甲乙兩等差極數的 項數都是6 就甲有6項乙有6項 那甲乙的公差相等 所以 甲跟乙的公差相等 而且呢 甲極數 就是說甲的公差 跟乙的公差 是一樣的答案 只要甲乙公差都相等 那甲極數的和 跟乙極數的和 相差二分之三 若甲乙的首項 較小的首項是1 那較大的首項是多少 它一共是6項對不對 然後呢又說 甲極數的和 跟乙極數的和 相差二分之三 我們這樣想像一下好了 第二題 它是有甲乙兩個等差極數 一個是甲的 甲的全部加起來叫S甲 那就6項 跟乙的做比較 減掉S乙的 你問說相差是 相差多少 相差二分之三 對不對 那你這兩個極數的 公差都相同 它的總和卻差了 二分之三 有6項 我就把這個 這個二分之三去分攤到6項去 因為它的6項就差 整個6項的累計 會差二分之三 那每一項會差多少 我就把這二分之三 去除以6 除以6等於怎麼樣 乘倒數 六分之一 我們把它約分一下 約分之後變什麼 變四分之一 代表說 它這兩個等差極數 每一項 都差四分之一 有6項 所以乘以6之後 它會差二分之三 這樣懂意思嗎 所以我剛剛為什麼要除6 因為它們兩個等差極數 的總和就差二分之三 分攤到6項去 每一項會差四分之一 每一項差四分之一 它說加以的首項 比較小的首項是1 那另外一個首項多少 那就差四分之一 你說你比較小的首項是1 另外一個首項 就跟它差四分之一 所以加四分之一就好了 叫做1又四分之一 或四分之五 答案選A 關於這個有沒有問題 這個是第二題 如果沒問題我們就講 第三題 它說有一個等差數列 前九項的和是54 一是七項的和又36 這等差數列的公差是多少 其實這題很漂亮 你解法對就很漂亮 你解法不對就會花一點時間 但是一樣可以解的出來 你看它題目的意思 這個等差級數 等差數列 前九項的和是54 前九項 就S9 S9就什麼意思 就是A1 A2一直加 加到A9 多少 它是54 這我是故意寫的 我為什麼要這樣做 等一下先把它學起來 再來一是七項的和36 就第一項 跟第四項 跟第七項 的和是36 我們當然找簡單的先下手 它問公差是多少 你今天這兩個 這兩個哪個比較簡單整理 這一個對不對 為什麼你看喔 一加七是八 八除二不剛好是四 就是四沒有錯 所以A1跟A7的等差中項 就是A4 換句話說 A1加A7會等於 兩個A4 沒錯吧我們剛好學過這東西 等差中項我們做了 項數三加除二 所以一加七除二是四 所以A1加A7除二 會等於A4 代表說這兩個相加是 中間的兩倍 等差中項兩倍 兩個A4 兩個A4加一個A4 比如說我把A1跟A7換兩個A4 兩個A4加一個A4幾個A4 三個A4 所以三個A4會等於36 那A4答案是多少 A4答案是12 還不夠啊 它要求的是公差多少 那我們再看喔 這邊的話 S9叫前九項的總和 它說是54 前九項的總和 是54可是你看喔 這個是A1 這是A9它的中間是誰 它叫A5 A5為什麼很關鍵 因為A4跟A5 就差個公差不是嗎 所以我只要把A5求出來我就有公差啦 所以就開始想剛好用A5 A5是它的等差中項 這整個數列的等差中項 等於是平均數的答案啊 所以A5答案多少 A5的答案 就是 這九個加起來是54 平均54除以9 所以答案就是6 所以A5答案是6 因為A5是整個數列等差中項 因為1加9除2 也是5 2加8除2也是5 3加7除2還是5 所以這A5是整個等差集數的中間項 也是平均數的答案 所以54除以9 A答案就是6 A4叫12 A5是6那公差多少 比如說公差答案是6 就公虧一虧 公差多少再看一次 公差怎麼做 後減前 A5是後 A4叫前 後項減前項 6減掉12 所以答案是負6 所以選擇是A 所以題目是不是簡單 簡單但是要小心 不然就很容易寫錯 再來我們看 下一題 第四題 第四題來 其實這邊題目都不難 但是就是需要時間去消化它 你會發現其實題目都還滿好玩的 沒有你想那麼難 但等差集數的題目坦白說是比較 跟等差數列相比 是有比較難一些些 但其實想一想也沒那麼難 只要你把題目都稍稍品味過 細細讀過之後 其實沒有這麼難 好我們看第四題 第四題它這樣說 它說從1到99 有49個偶數 不是50個偶數嗎 那是1到100吧 1到100才分為50個奇數 50個偶數 所以1到99它就沒有100 所以只有少一個 所以它有49個偶數 這樣沒錯 它有49個偶數 偶數就是24680 到哪邊結束 到98結束 所以一共49個 49個偶數裡面 它挑了48個 挑48個 一個沒有挑 其他全挑了 那平均是 這是48個的偶數 48個的偶數 我寫個偶就好了 這有48個 它任選的 相加之後總共有12分之5 那問你說 未取的數字為多少 這個時候呢 很容易做 其實這48個 相加是這個答案 48個的平均這個答案 那這48個的總和就有了 因為平均數乘以48 跟它的總和 我就那個49個偶數的總和 扣掉48個的這個總和 答案就是那個漏掉的 就是沒有挑的那個偶數 這樣概念有嗎 所以我們先找什麼 先找1加2加一直加到98 1加2 不是1啦 它是連續偶數 24680 連續的偶數 瘋了有沒有寫1呢 它是2加4加6 一直加 最後加到是98 沒有到100 所以才49個嘛 好所以用什麼提醒公式 上底2下底48 98啦 奇怪中邪了 上底2下底98 乘以高 高有幾個 題目說49個偶數嘛 所以乘以49 再除2 那把它算出來 那98加2 100乘以49 再除2 100除2是50 所以50乘以49 50乘以49 答案是多少 05945 減42450 所以這49個偶數 相加是2450 我再扣掉48個的總和 所以我們現在要解什麼呢 48個平均49又10分 12分之5 這48個的總和多少 48個去乘上平均數 49又12分之5 好不好乘好難乘 48乘19就很想 就很想逃避現實 那怎麼辦呢 換個方式來解好了 這個還差多少變50 差12分之7 有沒有它加12分之7 就進位變50 所以我就用這樣寫 48去乘上50減掉12分之7 我的目的只是 不想去算那個48乘49 因為我覺得不好乘 所以把它改一下 50用50去改它 這兩個減完變它嘛 是一樣的意思 開始利用乘法對減法的分配率 順便複習一下 48乘50 2400 對吧 48乘12分之7 你要先約分 12跟48約分不就是 4728 2400減28多少 2372 那它問你說它差個偶數 那我就把那個49個的偶數 總和是2450 這48個的偶數總和是2372 所以用2450減掉2372 2450 減2372 這個新算可不可以 不行我也不行 2450 減掉2372我一定要比算 新算我也沒辦法 好開始減了不夠減就跟它借 這要一藉藉到10 這邊都410減248 又不夠減再跟它借變3 14減掉78 所以它漏了那個偶數 叫做78 所以答案選這個 第四題 第五題 表演臺 一共有15排的座位 其中第一排有30個位置 之後 每一排都比前面一排 多兩個座位 某校有1到25班 每班20個人 按照以上的方式 安排學生入座 怎麼安排呢 按照班級的先後順序 先排第一班 第一班做完排第二班 每班20個人 然後第二個是說 前排的座位都排滿之後 才換下一班去補位置 然後問你說 哪一班的學生 全部都剛好坐在第八排 那這個題目的話 我把座位圖畫一下 這個是 第五題 表演臺在這裡 位置是 很大的演講廳 很多位置 現在第一排 第一排有幾個位置 30個位置 再來是第二排 這樣排 每一排都多兩個位置 32個位置 再來第三排 排到這邊 34個位置 這是第一排 第二排第三排 到第八排 這是第一排 第二排第三排 第四排到第八排 然後說第八排的話呢 哪一班可以剛好把它坐滿 他怎麼坐的 因為每班是20個人 所以看第一排30個位置 第一班就坐 20個位置 坐完之後還有10個位置 換第二班去坐 第二班有20個人 就擠到第二排去 前面這10個位置 那我就想了 他竟然問的是第八排 第八排 哪一班全部都坐在第八排 那我先從 第一排第二排第三排 到第八排的總和 算S8 S8就是 1到8排全部加起來 那我們的首項就是30 公差就2 那沒有末項我就套公式2 2分之N乘2A1 加N-1乘D 同學還熟悉 所以是2分之8 乘上2個A1 2乘以30 再加上N-1 就8-1 乘以公差2 我們把它算出來 看到底有幾個位置 前八排到底幾個位置 2乘以30變60 60再加上 8-1是7 7-2是14 60加14 74 74又乘到 2跟8約分 212 248 所以變成是4 去乘多少 74 4乘74 44 16 進 147 28 296 所以這八排一共是296個位置 296個位置 每班是20人 那我就把296除20 296 除20 除20是1 20 96 4 相減16 也就是說 你這個第 20排的時候 排到第14班 還剩16個位置 那問題是 他夠排這個 20個 因為每一班20個人 14班 排到14班 還沒有排完296個 還有16個位置 我很在意說 那第八排到底幾個座位 要確認一下答案 就要求A8 確認一下A8的結果 A8代公式 就A1加N-1乘D A1是30 再加上N-1 8-1是7 公差是2 72 14加30 44 第八排有44個位置 後面有16個 是14班坐完之後 14班去坐的時候 還有16個位置 你往前推他夠不夠坐 44扣掉16 44扣16 這邊是8 28 有時候14班的話 會從前面的12345678開始排行 因為他的全班20個人 後面16個是別班的 是15班的 所以這個14班的話 可以坐滿這個第八排 因為他還夠坐 所以答案 選的是14班 選的是C 關於這第五題有沒有問題 排座位的問題 好再看那個第七 第六題 第六題他說要求 這個等差級數的和 這看起來就是一個小題目 這題目本身不難 這有點像我們的回家作業一樣 這很簡單的 同學都一定可以做得出來的 來看那第六題 等差級數呢 他求的是 4加7加10 加到100 第六題 4加7加10 一直加 加到100 總和是多少 就這樣子而已 問總和而已 那這邊我們就關心那個像數到底有幾像 因為你現在怎麼樣 你現在知道首像知道末像 可是你沒有高沒有像數 要求像數怎麼求 用末像減首像除公差 加1 n像數n怎麼求 末像100減首像4 公差都是3 7減410減7都3 除以3之後加1 末像減首像除公差 加1 100減49696去除以3 3232加1變33 所以一共會有33像 好再來呢 我們就用梯形公式啦 用那個上底4 下底100乘以高 一共33像 再除2 那4加100 就104 104除2 52 52乘33 答案多少 32635156 加起來 6171 1716 所以答案選的是C 這是第六題 好再來我們看第七題 好第七呢 這一題呢 他是說如圖 有若干位學生在排出正五邊形的隊形 他由內而外 然後呢排出了六圈 而且呢 他的學生人數呢 剛好排完就排六圈 以致最內圈的 每邊有三個人 往外每邊 增加兩個人 由內而外 比如說 來我先畫一下 這個圖比較有概念 他有圖啦只是我黑板沒有圖 第七題喔 他是個正五邊形的排法 一開始是都三個人 排出一個正五邊形 這樣正五邊形 有正嗎有啦 不管了這樣正五邊形 三個三個三個 三個正五邊形 然後呢 再下一圈的時候再下一層 他說這是第一圈 第二圈的時候呢 每邊是五個人 就每次加兩個 所以357下去 五個人什麼意思啊 就每邊五個啊 我先畫五邊形好了 沒人家搭不起來 他是排正五邊形 然後變成是五個 五個喔就一二三四五 一二三四五 他這樣排 越排越多 他問你說排了六圈 全部有幾個人 要找規律 像這個話呢 一二三一二三 每邊都三個 可是你數一下幾個人 一二三四五六七八九十 我們用算法怎麼算 他每邊三個有五個邊 所以我們的算法應該是 三乘五 沒有錯 可是有問題會重複數 一二三 數過了齁 一二三 一二三又被重複數 所以會有說 這五個頂點會被重複數 要扣掉五 三五十五 所以內圈的第一圈是十個人 你看下一圈喔 他是一二三四五 五個五個五個 他是五乘五 可是也不對喔會有重複數 頂點會被重複數 一二三四五 又重複數 因為他被重複數了 扣掉五個頂點被重複數 二十五扣五 二十 他是按照什麼規律 三五七 七乘五減五 也是一樣他有規律 每邊排七個五個邊乘五 頂點會重複數扣五 七五三五三五扣五變三十 所以他是有規律的喔 你的內圈第一圈是十 十二十三十 四十五十 到六十 所以他問你說 這個全部學生有幾個人 那就很容易啦 累加第一圈十個 第二圈二十再三十 最後呢第六圈是六十 他的總和多少 用梯形公式上底十 下底六十 乘以高六圈喔 乘六再除二 二個六月份之後答案是 三乘以七十 兩百一 所以全部兩百一是人 這樣有沒有問題 這是那個第七題 要求那個每個學生排排站之後 的人數有多少 好再看那個第八題 我今天可以把 題目講完耶 都把這個講完之後我們就安排下禮拜一來教等筆 等筆 目前我看到好像只有康軒版在排 漢寧版沒看到耶 是不是確定一下吧 就漢寧跟南一我沒看到這個章節 到底把他塞哪邊去 到底說康軒有教的每個版本都會教啊 不會只有康軒一個人 這邊單獨教等筆 等筆數列喔 可是我看其他版本都沒看到 超級詭異的 好看那個第八題喔 第八題呢 八題目是鋪磁磚 我簡單畫好不好 因為這題喔 這題有點複雜 圖畫的複雜題目不會複雜 是圖畫起來 我沒有辦法畫那麼仔細 這個是樓梯的側面 那每一個樓梯側面呢 他都給他鋪了四塊磁磚 這再分割一次啦 就四塊嘛 所以這邊是四塊 這邊是八塊 這邊幾塊 這邊就十二塊 十二塊磁磚 往下鋪喔 所以第一階鋪四塊 第二階八塊 到最後全部鋪了幾個磁磚 一百一十二個磁磚 什麼叫磁磚 這個算一個 這樣就四個 這邊全部鋪了一百 一百一十二塊磁磚 可是你看我們每一階 這一階 後面一共幾階 這一階就四個 四個磁磚 這個也四個 那我就直接把一二先除以四 那除以四之後多少 四二八四八三十二 代表說二十八個 這種東西 兩個加三個 一加二加三 加到多少的時候 會變成二十八 我要求 問幾階嘛 問這n多少 一加二加三 這種題目有時候數字也不是很大 慢慢加也可以 那我們現在不要那麼慫了 我們就套公式好了 套那個等差極速公式 就是沒有末項的 公式第二個 二分之n乘2a1 加n減1乘d 所以它是有n項 n就n階我不知道幾階 所以二分之n n個樓梯n階 乘上2a1 二乘1再加上 n減1n是未知數 公差也是1 然後加起來答案是二十八 我們把它整理一下 第一個雀斑母 兩邊都乘二乘二之後變五十六 這邊要做整理 它是二一二 然後拆掛號 有拆跟沒拆一樣 因為乘一所以是n減一 拆掛號了n乘上n n平方 二減一是一 一又乘到n加n 五六往前移 減五十六等於零 馬上可以使用 十字交乘法 所以你看五六怎麼放 八七五十六 相減扣到一 所以這是八跟七 n跟n 再來符號怎麼給 這邊負的一正一負 一號這邊又正的 最大的給正 這個正這個負 所以它是n加八乘n減七 展開變這個 n加八 乘上n減七 會等於零 n的解多少 負八或者是七 我們相數哪裡有負的 就不合了所以答案就七 所以會有七階 可是它是這樣 一是第一階第二階第三階 一加二加三我們加到相數 是七相所以它一共會有 七個階梯 一共有幾階答案叫七階 這是第八題 這邊有問題 還有一題我把它講完好了 就剩這一題把它留著很奇怪 很孤單的一題把它上完好了 看蔣毅德最後頁 第四十八題 他說他買了一包宣紙 在練習書法 每星期一寫一章 星期二寫兩章 星期三寫三章星期四寫四章 星期五五章星期六六章 星期七都七章沒有星期八 不然怎麼寫八章呢 寫七章 某年的五月一日開始寫 練習書法 五月三十日結束的時候 他累積的宣紙章數 超過一百二十章 那問你說 五月三十日的這一天 可能為星期幾 請抽出所有可能的答案 並說明你的理由 第二題 感覺來勢洶洶的 我們先把它整理一下 一二三四 五六 日 我們先看一下它的規律 有時候題目在想怎麼去處理它 它這個呢 五月三十日 假設我們就剛好那麼巧 五月一號禮拜一 五月二號禮拜二 我們看到什麼結果 十十一十二十三十四 十五十六十七十八 十九二十二一 二二二三 二二四二五二六 二七二八 二九 三四 好所以你看 我們先分析題目的意思 我們再來去想我們怎麼寫比較順手 像這個呢假設五月一號就禮拜一 五月三十就變禮拜二去了 他說禮拜一寫一章 禮拜二寫兩章 有沒有注意到我們這邊會有怎麼樣 會有完整的四個周 對不對 就這個 這樣完整的四個周 這個完整的四周 你注意看 它一共寫了幾章 這可以算怎麼算呢 禮拜一就一章禮拜二二章禮拜三三章 加到後來禮拜七就七章 對不對一加到七 但是我四周都一樣的 乘以四看總和多少 用梯形公式 上底是一下底是七 乘以高 七個除二 不要忘記還有乘四 那個乘四是因為有四周 二跟四約分是二 那前面這樣 複乘多少 八七五十六 五六乘二一百一十二 也就是說呢這四周就寫了 一百一十二章 還剩兩天還沒有寫 他說他寫超過了一百二十章 一百二十章 我這邊已經有一百一十二章 一百二十減到一一二 等於八 比如說呢這兩天相加 要超過 八章以上常規數超過一百二 對不對 比如說我日期都往後延了 這如果往後延一天的話 從這邊寫一好了一二三 那這個時候二八就跑到這邊來 對不對也是完整的四周 有沒有注意到 變成這個意思喔 如果這邊寫一好了這邊寫二 那時候二八會跑到這邊來 不是嗎因為禮拜一去 那也是一個完整的四周啊 禮拜二開始這樣循環到這邊剛好結束 也是完整的四周 所以這四周一百一十二是基本量 是後面那兩天 相加超過八章 你看喔 他是說二九號 三十號這兩天 相加要超過八章 好這個時候 我們看一下他打的喔 這兩天喔 比如說我們剛剛說一二 一加二就三不行嘛太少了 二三呢 三四呢 四五呢 五六呢 六七呢 七一也可以考慮啊 這禮拜天跟禮拜一 因為我們說這兩天相加 他必須要大過 大過八一加二 沒有超過八 小於八 到這邊呢四加五可以喔 四加五答案是不是九 大過八五加六十一 大過八六加七十三 大過八 七加一剛好是八不行 要超過八因為超過一百二十章以上 所以你會發現三十號的這一天 可能是禮拜五禮拜六禮拜天 大家問你說理由為什麼可以這樣寫喔 所以五月三十號呢 可能星期幾答案是 星期五六日 五或六或日 都可能讓他的累加的章數 超過一百二十章以上 這樣有沒有問題 好 是在那個軍醫室嗎 那我抽空去看一下 看你有什麼問題喔 那我們就今天把那個歷屆題目 剛好把那個 八年級的課程 目前等差數列級數都講完 但是康軒版多了一個等比 等比數列 那等比數列的話呢 老師禮拜五因為沒有上課 所以在下禮拜一的時候呢 我會教那個等比數列 那等比數列的教材會直接就 附送在那個 在那個下一個單元的課程內容裡面 你就不用再另外再買 我就把它附上去好了好不好 那我們今天上到這裡了 掰掰