最新課綱~八上數學：第三次段考 南一習作精選(3)

歡迎收看數學簡單,我是張老師 那今天晚上我們要上的是國二的數學 目前上的是段考前的複習 那教的是那個南一的一些習作精選題 那剛剛那個標題可能有放錯 等一下再來改好了 我們看一下那個在南一的習作 怎麼掉一張 南一習作我們看一下那個 上次講到第66頁 我們現在從那個67頁 習作67頁講起來 那67頁的話呢這邊的話 67頁這邊是減一些 一元二次方程式 那我們挑幾個題目來說說好了好不好 我們先看那個第四題 在那個看前面多簡單 因為像那第一題要用 用那個英式分解法的 十個教程法可以處理它 所以本身不難 那第二題的話呢 第二題好題目來第二題 x 平方 減掉六倍的 x 加一等於一 好同學有時候看題目變這樣看的 所以老師這樣出很玄 一定有什麼特別的意義在 要怎麼去處理它要想很久 其實想都不用想的知道嗎 這個是故意這樣子擺 讓你去拆括號整理過 因為這個根本就沒辦法解 所以要變怎麼寫 變成 x 二次 拆括號 -6x 負正得負-6 一往前移-1等於0 所以變成x 二次-6x -6-1變-7 -7等於0對不對 然後開始想了啊 我們在解方程式的時候呢 方法有三種 第一種叫英式分解法 第二種公式解 第三種就是配方法對不對 你看嘛這可以英式分解嗎 先試一下 何謂英式分解 就是利用那個十字教程法來處理它 看喔 十字教程法 7有辦法分解相減抽到6嗎 有嘛 717對不對 所以7可以分解717 然後x就xx 7-1不就6 好再來符號怎麼給 這個負的表示符號一正一負 叫一號 這邊用負的喔 所以最大的這樣乘 交叉乘 最大要給負 最大要給正 這樣寫絕對不會錯 所以它一定是 x-7 乘上x加1 會等於0 這個時候x的解多少 答案是7 或者是負1 一元二次方程式求解 這個應該沒問題喔 好再來第三題那一題喔 我有講過類似的 就是這個括號不要亂刪掉 刪掉答案就少一個 記得要把它補回來 好看那個第四題 第四題倒有意思 有意思要講 第四題不錯 我們看那個第四題 它題目呢這樣寫的喔 第四題 題目是說 x-√11 的平方 會等於169 然後要求x的解對不對 同學同學同學 看這邊來喔 我問你喔這種題目啊 你要不要拆括號 你要不要給它拆括號 你拆括號你想一想 它的2ab會有√11跑出來耶 對不對 變成2√11x 你會瘋了嘛 那當然不能這樣做啊 怎麼辦 馬上兩邊同時開√右邊加正負了 這樣知道嗎 所以遇到這種題目的時候 不要拆括號 不傻傻拆括號 沒辦法做了 兩邊直接同時開√ 右邊加正負 所以寫很快 x-√11 就等於正負13 √169變13 然後把這個-√11擺第一個 所以x的解 就變成了√11 加減13 因為不能加也不能減 所以答案結束了 有兩個答案 一個答案叫√11加13 另外答案是√11減13 所以這裡切記啊 不要亂來 好再看那個下一題啊 下一題的話呢 這一題 這一題很明顯的 我寫出來有沒有知道怎麼做的 我們再複習一次 看那個在南一席座67頁的最後一題 這一題題目 你在考試的時候 只要遇到這種類型的 不用懷疑了 知道嗎 你就要這樣做了 來看第五題 他說x² 加6x 減掉4891等於0 你看這題 我們說那個解方程式有三招 第一招用的是因式分解法 或稱為十招整法 可以分解嗎 行不行 4891分解相減做到6 慢慢去試 當然是很累 所以不要了 在第二步 第二步公式解 公式解看一下你就昏了啊 b²-4ac b²ok啊 -4ac頭都痛了 所以不要做 第三步 第三步叫做配方法 對不對 好怎麼配呢 先把那個x²的係數要變成1 這個是1啦 馬上跳第二步 第二步要把誰移走 把常數向移到等號的右邊 要把他移走對不對 所以把這個-4891往右邊移 往右邊移之後變什麼 變成正的4891 所以前面都照抄 這位置保留 變成正的4891 我把這-4891移過來 變正4891 那左邊怎麼辦呢 左邊開始啦 第三步 要配成完全平方式 你在配的時候呢 要加這個值 一半的二次方 什麼叫一半 一半就是法6除2嘛 不是一半 就是3 所以你要加上3的二次方 不要偷加喔 要加一起加 兩邊都加3的二次方 所以左邊呢 就變成了x加3的完全平方 右邊變多少 變成4891 再加3平方是9 4891加9變4900 這數字不錯 兩邊同時開根號 右邊加正負 所以x加3 就會等於正負根號4900 4900開根號就70啊 所以正負70 兩個答案 所以把x的這個加3移過來 來第一個負3 負3加減70 所以x答案多少 你要分兩個算 你不要給我寫正負73 或正負67 那都錯的啦 你要分兩個算 負3加70 是67 或者是 所以答案是67或負73 你不要亂寫 我們正負67正負73都不對 要加起來對 所以答案是67或者是負73 那這個是 我題目呢 這是那個第67頁的題目 好看那個68頁來 68頁 68頁這邊是要判別 那個根的情況 就是他們的解的情況 他的判別方法就帶那個 帶那個判別式 判別式就是b平方減4ac 你去算一下 如果他的判別式 b平方減4ac大於0 那就相例兩個根 如果等於0就重根 如果小於0 那就無解 所以這個題目我們做過就不行了 這類似題目 那我們來換下一題好了 下一題是說 這題好玩 也沒什麼大變化了 不過這題就當做同學參考 我們看那個下一題 這是習作題目 在那個 南一習作的68頁的中間第三題 題目說sf5 是這個方程式的解 他的解 然後m答案多少 所謂的解就是怎麼樣 他的答案 他的答案可以怎麼樣 可以帶進來對不對 你就把那個 就後面涼涼的 你的衣服翹起來 等一下我把它調一下 因為那個麥克風先擋到 覺得背後一股寒意 怎麼覺得冷冷的感覺 好 好調整好了 把那個s用負5帶進來 那你負5帶進來變怎麼寫 變成這樣寫 他是 變這樣寫 負5 s再負5 加m 平方等於36 好那在下一步呢 下一步也是一樣 不要傻傻的把它乘出來 不是啦 你要看這裡喔 這已經到了什麼步驟了 平方根步驟了耶 所以兩邊同時開根號 右邊加正負對不對 這邊呢 負5加m 開根號 二次方沒了 這邊呢 不但要開根號 還要加正負 所以是正負根號36 叫做正負6 你要求m嘛對不對 那m就留著啦 負5移走 把它丟掉好了 所以m就會等於 丟過來擺第一個 負5一塊變正5 後面的加減6照抄 所以m答案有兩個 第一個呢 他叫做m加5加6 5加611 或者是5減6 負1 所以m答案是11或負1 那這是那個 這是第三題了 好 再來看那個底下的第四題 好這也不錯啦 那應用到那個 完全平方式的時候 會有什麼特性 所謂的完全平方式 也就是他會出現重根 因為重根就是因為 我們在做音式分解的時候 把它變成了完全平方式嘛 對不對 才會有重根啊 所以像這個這一題啊 他題目就說 第四題 他說x平方 加m加2 他說可以配成x的 完全平方式 有時候他會變成這樣子 他會變成這樣子的二次嘛 叫完全平方式 那既然是完全平方式 那我們怎麼做 我們就這樣想的嘛 完全平方式 所以判別式 他的判別式 b平方減4ac 會等於0 那你要想誰是a誰是b誰是c 這個a啊 a就是係數啊 1 b b是這邊嘛 -2m 他的c常數項叫m加2 位置自己記一下 a b c是這三個 a b c是係數啦 就x二次的係數是a 一次的係數是b 常數項是c 這a b c 然後代公式啊 是完全平方式啊 所以判別式為0 判別式叫做 b平方減4ac 這個的二次方 叫-2m平方 減掉4ac 4乘以1 乘以c 會等於0 好接著就很有耐心的啊 就把它算出來對不對 這個的平方多少 他叫4m平方 拆掉後 -4乘以m叫-4m -4乘以2叫-8 等於0 馬上全部除以4 m平方減m減2 等於0 有沒有辦法使用 因式分解法求解 當然有 2怎麼分 相減湊到1 就212啊對不對 所以2跟1 m跟m 大家跳電一下 負的 所以呢 一正一負 那中間用負的 最大給負 最大給正 這樣寫絕對不會錯啊 所以它是m減2 乘上m加1 會等於0 那m的解多少 兩個 第一個m就是2 或者是負1 我覺得如果老二算得太快的話 表示你前面都不熟啊 回去把前面課程再看一下 所以答案2或負1 這是那個習作的68頁的題目 好習作69頁來 嗯 欸這題好玩欸 它說呢 已知 一元二次方程式 兩根均為整數 a又是一位數 好那a是誰 像這種題目呢 它的可能性會有很多 你就要一一去排除它 然後把那可能答案給寫出來 那基本上呢 如果兩根是整數的話 就是可以用那個因式分解法 十日交乘法 去把它分解出來 才會兩根都整數嘛對不對 如果兩根你都無法這樣分解出來 那兩根可能就是不是整數啦 所以可以使用十日交乘法分出來呢 那就整數了 就整數解了 而且它的x二次的係數是1 所以更加堅信的 你要把18分解完之後 去湊答案對不對 來 唉呦 所以你看喔 第五題喔 它說 已知一元二次方程式叫做 x平方加ax 加18等於0 的兩根都是整數 而且a要大於0 所以a是正數啦 a要正數 如果它沒有說a大於0 為什麼 因為這邊是正18 正同號 可以同負號啊 所以a可能是負數喔 所以它故意的它寫a大於0 然後a又是一位數 好為什麼要這樣說 因為你看喔 你18的分解法有幾種 有好幾種 第一個 18可以是 你看x二次就1 1嘛 18可以18乘1 對不對 18還可以怎麼樣 還可以9 2 18 18還可以6 3 18 還有沒有就沒有了嘛對不對 那這幾個裡面你看喔 它說這個是正 所以都同號 對不對都同號 a又大於0 a又正 所以都同號都同++ 全部都是正正 那你去驗算一下 像這兩個驗算之後呢 它的一次象系數變多少 18加1 19 驗算一下 9加2 11 驗算一下6加3 9 所以發現呢 a答案多少 a答案叫做正9 因為a大於0 a有一位數 所以a答案是9 如果這一題喔 它沒有這種限制 它沒有說a大於0 又沒有說a是一位數的話 答案有六個 哪六個 可以正負19 可以正負11 可以正負9 為什麼會有負的跑出來 因為你可以怎麼樣 負18 負1 負負得正 負18加負1 負19 有沒有 所以這兩個可以都是負負的 也是符合的 這樣知道嗎 可是它題目限定說a大於0 所以答案挑正的 又挑一位數 所以答案甚至可以選 叫做正9 如果它沒有限制的話 會有六個答案 有正負19 正負11 正負9 這是那個 第五題喔 好 看那個第六題 第六題應該是應用問題喔 它說呢 有大小兩個正方形 小正方形的邊長 比大正方形的邊長少2 面積合為30 那大正方形的邊長為多少 像這個題目喔 同學看你啊 就是看你喜歡射哪個是X 那如果你是射小正方形X的話 不要忘記喔 它最後的題目的目的是要求 大正方形的邊長 所以同學他回答很快 馬上把A算出來就寫答案 那就錯了 所以我建議說這一題第六題 如果你射了X 跟題目問的不一樣 你自己要特別小心喔 它說呢 小正方形的邊長 比大正方形的邊長少2 也就是說 只有兩個正方形 一個大的 一個是小的 小的比大的還要少2 那它說要問那個大正方形的邊長 那就直接把大正方形的邊長射X 那小正方形的邊長變少2 就A減2 那題目說呢 這兩個正方形的面積合為30 面積合就是平方相加的 求面積SX X的平方 求面積這個 A減2是A減2 A減2的平方 面積合是30 有沒有 列好了 再來求解 那解出來X就是大正方形的邊長 所以如果說你是把這個 小正方形的邊長射X 大正方形是A加2的話 不要忘記你A算出來之後還有加2 那答案才會對 那我現在直接把大正方形的邊長射X 所以回答出來就不會錯了 因為它是問那個大正方形的邊長 有聽懂嗎 好再來這邊要猜過後要求解啦 這裡有代乘法公式 就是A平方-2AB加B平方 所以它是X平方 然後-2AB-4X再加4 30往前移 -30等於0 整理一下 變2X2次 -4X 4-30-26 我會建議說全部都除了 把它先變小一點 除了之後變X2次 -2X -13等於0 你有辦法把13分解湊到2嗎 如果你有很厲害我湊不到 沒辦法了 所以只好使用公式解 公式解就是先求判別式 判別式叫做B平方-4AC B平方2平方是4 減掉4乘A乘以C是-13 結果你看喔 負負得正的喔 這邊是4乘13是52 52加4是56 因為我們到最後會寫根號56嘛 所以先寫 然後等一下比較好作答 根號56 劃減多少 56可以是4乘以14 二根號14 因為是4乘14變56嘛 啊4開得出來啊 好再來呢 靠公式啊 所以公式寫叫做 X等於2A分之-B 2A A在這裡212 分之-B 負的-2變成2 加減這個 二根號14 因為加減 加減根號 判別式B平方-4AC 已經算好是56 所以根號56變這個 再把它抄下來喔 好全部除以2之後呢 它是2加減 更正一下 除以2之後是1加減根號14喔 都除以2之後呢 1加減根號14 可想而知減的一定不合啊 所以大正方形的邊長 叫做1加根號14 所以它的邊長自己做到 1加根號14公分 目前這個是習作 南一的習作 欸有個應用問題耶 來看一下好了 計算體 欸不錯來看計算體 南一的計算體喔 它題目說阿源家有一塊 長80公尺 寬50公尺的長方形農地 它將農舍規劃 於農地的西北角 農舍的長跟寬 分別叫農地的長跟寬 都短了X公尺 而且呢 農舍面積又佔 農地面積的十分之一 那這個農舍的長跟寬 它分別是多少 這題目怎麼這樣問咧 再看一次喔 它有一塊農地 長80 寬50 然後呢 它的農舍是說 距離那個長跟寬 都少了X公尺喔 然後變成一個農舍 然後這個農舍呢 又佔農地面積的十分之一 好來 我們先把圖畫一下好了 我還滿抽象的喔 來第一題喔 這是農地 農地是多少 長80 寬50 畫太大了 等一下沒地方要解 這是農舍 它農舍是說 離這邊距離喔 是X公尺 離這邊距離 也是X公尺 這是它的農舍 農舍的位置是這一塊 那這一塊面積又佔 全部的十分之一 好 那就 就怎麼辦呢 來 這邊是80喔 所以扣S以後呢 這邊多少 這邊是80-X 這裡是50 扣S以後呢 這邊的長度 就是50-X 所以農舍面積 可以透過這邊長乘寬來做計算 就是80-X乘50-X 所以80-X 去乘上50-X 是農舍面積 那農舍面積呢 它說又是這個農地的十分之一 這農地是長方形的 是長乘寬 所以80乘50的十分之一 80乘50的十分之一 等施成立啦 然後除X的解 好 乘吧 我們就用力一乘 80乘50 85 40 4000 80乘X 減掉80X -S乘50 -50X 負負得正 SX X二次 右邊喔 右邊就是4000乘十分之一 400 往前移 往前移之後呢 變X二次 -180-50-130X 4000減掉400 3600 加3600等於零 有沒有辦法使用 時效乘法 讓3600相加湊到130 130跟30 不對啊 130 360 360 18 185 180 50 180 50 180 180 50 50 180不行啊 相加湊130 3600怎麼可以湊相加湊到130 5跟 5跟260不行 10 10跟 10跟360差不多 20 18 20 180 差更多 360 6636 60 60 60 60很接近耶 不會是有根號吧 沒有根號啊 所以可以湊得出來 再想一下多少 想不到 想不到就看啊 公司寫的配方法 那就配方法好了 我沒有想到耶 我想不到要怎麼湊 可以湊到130 湊不到耶 配方法啦 配怎麼配呢 第一個呢 要加前面這個 先把常數移走 所以變成X平方 減掉130X 會等於負的3600 好正的一塊變負的哦 那這邊要怎麼辦呢 這邊要加這個值一半二次方 一半是65嘛 所以加65的平方 要加一起加 兩邊都加65平方 所以左邊呢 就變成了X 減65的完全平方式 右邊要找地方偷算了 不然版面很亂哦來 這負3600 65乘65多少 65乘65 4225哦 所以4225 再扣掉3600 多少 625 兩邊同時開根號 右邊加正負 650的平方 25的平方 所以X減65 會等於正負 25 正負25 正負25之後呢 把那個減65移過去 所以是正65 會變成正65 移過來擺第一個 正65加減25 65加25 90 或者65減2540 可以90嗎不行 因為90就太寬了嘛 這50而已90拋上去的不行 50就掰掰剩40 如果是40的話 什麼意思呢 他問農舍的長寬 如果答案是40的話 你要去扣 40是說X答案是40 所以呢 他的50扣40 他的農舍寬是10 長哦80扣40 所以他的 長是40 所以農舍的長跟寬 40跟10 那我們現在知道答案是40對不對 所以剛剛可以分解得出來 40跟90沒有想到 那邊算半天 你看40對不對 所以3600 90跟40 SX相減 因為都是同號正 都同負號減減對不對 所以你看 當初如果馬上想到 就可以分解他的 他就想不到就照配方法 這個寫的馬後炮 因為根本想不到 那同學有夠厲害想得到 你就標配方法直接用意思分解法 這是第一題 這樣OK嗎 來看第二題 第二題他說他用那個 竹籬壩去圍一個 大長方形的牧場 中間有一道竹籬 將其分割成兩個長方形的區域 各留一個 一公尺的出入口 椅子竹籬的長度 是82公尺 牧場的總面積是288 回答下列問題 其實這一題我剛剛看一下 發現覺得不錯耶 因為這個題目在前面的題型 都很少見過同類型的 所以看到那種不同的題目 就滿開心的 來我們看一下第二題 我先把圖畫一下好了 他的牧場的設計 跟以前我們那種感覺 這題目出的方式 都有點不大一樣 你看喔 他呢竹籬壩 這樣圍的喔 我把他畫正好了 因為他畫斜的 我把他畫比較正 這是竹籬壩 當然這邊也是竹籬壩 這邊是竹籬壩 這也是竹籬壩 是這樣設計的喔 這樣設計的喔 然後呢 這邊是沒有圍喔 沒有圍這邊是一公尺 這邊是空的當作出入口 就是讓牛群可以 出入去吃草 一邊種牛一邊種馬 牠就可以出來吃草 然後呢 他的竹籬的總長度是82公尺 這個白色的線線 他的長度 是82公尺 那這個牧場的面積呢 是288公尺 牧場的面積喔 牧場面積就全部啦 288公尺 然後問你說 牧場的 寬 他是說 假設中間的竹籬場是X的話 請用 請將牧場的寬用X來表示 這引導式的問題喔 他說直接把那個 中間的竹籬場是X 中間竹籬是這裡 中間的都給他是X XXX的話 那那個 牧場的寬 他牧場的寬是說 這邊到底有多寬對不對 來 我們剛剛說那個白色的線線 看得到的線全部加起來是82 還差這兩個沒有對不對 把它補起來 因為這樣的一個周長假設你把它補起來之後 是不是還差這兩個沒有算到 所以這82 這個要先加2 82加2變84 這84纔能夠連這個都封起來 封起來之後呢 扣掉這三個不要 扣掉之後再除2 就變成上跟下所以除2之後變成寬 寬要這樣寫啦 84-3X除2 再來是要求那個竹籬的實際長度 中間竹籬長度 就是X答案多少用面積求 他說整塊面積是多少 全部是288 那就長乘寬對不對 我們的長 長這邊 這是寬還是長 他說這是寬寬已經有了這個 所以2分之 84 -3X 這個 這是他的這樣的長度喔 乘上這一個乘上X 等於面積288 對嘛288 288 好再來就求解啦 那求解當然就拆光好 慢慢整理他享受一下那個 解題的樂趣喔 所以這乘進來之後呢 變成了2分之 84X A乘以-3叫-3X 平方等於288 好全部乘以2 反正看到分數就去分母啦 好全部都乘2 那乘2之後呢 你看喔前面乘2喔 前面乘2之後是 84X-3X平方 右邊乘2 因為乘2分母沒了嘛 這邊乘2288乘2多少 288乘2喔 2816 進位12816 17進12576 等於576 往前移喔 所以排一下-3X平方 加84X 減576 等於0 這可以被刪除嘛5加7 18可以被刪除全部處理上了 用3去約分一下 那不但處理3一邊處理3一邊 把他變號好不好 把他變正的喔所以給他處理-3 處理-3X平方 處理-3 -28X 處理-3變正了喔 576去處理3多少 處理3 31327 3927192 192怎麼分解 可以相加 湊到28 192不是很大 所以我們決定使用英式分解法求解2 英式分解法去看他到底成分會有誰喔 192分解完 相加湊28理論上這X 應該整數解了除非他有根號 用2除 96 48 24 12 後悔了 22 相加湊28 1238 2244288 24跟8 湊不到相加湊到28 數字應該學區很大 2244288 32加6 32 不行啦超過了 2244288261616 OK 這四個是16 後面這四個是後面三個是12 16乘12192 16加1228OK了喔 所以XX 1612 正同號負同負號 所以變成X答案呢 是16或者是12 都合嗎 有沒有不合的 應該沒有都合 所以呢他的那個 阻力場這邊的長度 可以是16公尺或12公尺 這沒有不合 如果有不合就要跟他說為什麼不合 沒有不合就兩個都行 好這個是那個藍衣的一個計算題 好 那再來的話就是統計圖表比較簡單 我看一下有沒有什麼特別要講的 統計圖表 其實統計圖表大概算簡單 應該難 難度都不大 好不然我們下次再來講總實體好了 把它再看一看好不好 好那我們今天上到這裡囉 掰掰