八上數學 29 平方根與近似值(4)：歷屆會考基測題 1-5 題解析｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是東東老師 那今天晚上我們要教的是國二的數學,就是平方根跟計式則的部分 那因為下禮拜就要斷考了,所以今天我們就會盡量把那課程都做個段落的結束 所以那個平方根如果還不熟悉的話 平方根很重要 因為我們後面講那個像是勾股定理、三高定理、畢氏定理 都講同一個定理 勾股定理、三高定理、畢氏定理都同一個 然後他會跟 我們後面的解方程式都會有影響到 所以這平方根一定要學好來 好,那剛放完連續假期 那因為下禮拜也是,我們每次都這樣子刻意安排 就是學校會安排在10月10號之後 再來排一次的第一次的斷考 那剛好同學可以利用這個假期的時候 再把一些不熟悉的科目把它做個補強 好,那我們看一下那個 講義的 講義的第13頁好了 那個13頁的第13題 他說根號 根號的4B-3 這個東西喔 他會是 8的 正平方根 8的正平方根 根號4B-3會是8的正平方根 那我們會想的啊 什麼叫平方根 平方根跟開根號有關係嗎,來 開根號歸開根號,比如說 16開根號答案多少 叫16開根號 答案叫做4 那16的平方根呢 平方根就要加正負啦,所以問你說 16的平方根會多少 你就要寫正負的 根號16 答案叫正負4 那什麼叫平方根 平方根是說 比如說這個正負4好了 正負4它是16的平方根 所以16的 平 方 根 就是正負4,對不對 正負4 換句話說他會這樣問你啊 為什麼要平方根就是說 根就是解的意思 就是說 誰的平方 誰的平方的解 是正負4 所以正負4平方之後變什麼 變16 那如果問你說後面這個好了 16的平方根是誰 就是 誰平方之後變16的 答案就正負4 這樣概念有建立起來嗎 平方根的概念 因為這很重要 那回到這邊來 根號4b-3是8的正平方根 那我們先不要看前面,看後面就好了 那8的平方根 8的平方根會有誰 8的平方根不就正負根號8 對不對 如果前面不要看 8的平方根 正也不要看 8的平方根不就正負根號8 那8的正平方根呢就根號8 所以8的平方正平方根 就是所謂的根號8 那根號8跟他有沒有一樣,一樣的啊 所以根號8等於什麼 等於4b-3 根號4b-3 所以根號8等於根號4b-3 再來怎麼做呢 再來直接把根號去掉,為什麼根號可以去掉 因為兩邊都平方 我可以這樣做啊 兩邊都二次方 把根號給去掉 所以去掉之後呢 8就等於4b-3 再把它整理一下 -3一過來加3 所以11等於4b 那b答案多少呢 b答案就是4分之11 那這個就是 第13題的做法 下一個問題 平方根的部分 平方根的概念還不熟悉 再看一下前面的課程 如果說有不懂的話隨時可以提出來 我再把詞再把它做 更詳細的解說 好我們看那個第二題 第二題的話呢 懷根影像你好 名字好長 看那個14題 根號1到根號2一直到根號100 根號1根號2 根號3一直到根號100 第14題 他說大於4又不小於7 大於4又不小於7 的數 大於4寫小於7 大於4小於7的數會有幾個 那你開根號的結果會大於4小於7 我就想 在S的範圍呢 他是大於4 但是會小於7 大於4小於7 的結果會多少 對 開根號之後大於4小於7 開根號之後 所以是根號X 開根號的結果 開根號以後會大於4小於7 那S的範圍怎麼找 都平方 這平方變什麼 平方變16 這平方之後變什麼變X 這邊平方變什麼變49 好知道了 所以那個 就說 我開根號要大於4小於7 變成說我根號裡面這個數字呢 他可以大於16 小於49 按照我們這邊答案來看的話會從17開始 對 到48結束 這些答案都符合 發售有幾個是嗎 好問幾個兩個做法齁因為我們剛已經把答案都寫出來像這個喔 如果你要找幾個整數的話 從17開始 到48結束因為頭尾都不算 所以只有17到48 我就用48減到47 48減17 減17啦不是17 48減17 今天怎麼講的跟寫的都不一樣 48減17 但是呢因為頭尾都算所以還要再加1 什麼頭尾都算 因為17我也算嘛 17也算48也算17181920一數到48 這兩個我都算 有點像算日期一樣所以 相減還要加1 那48減17 答案是31 31加1呢 答案是32 會有32個答案符合這個條件 所以答案要寫32個 比如說我們會從根號17 到根號48 都符合 大於4小於7的結果 那我剛剛怎麼做的 我先設個未知數在X 開根號之後 它的範圍在4跟7之間 可是根號處理掉啊 所以都平方 平方變16平方根號就不見了 平方變19 然後再來求解 這是第14題 好下文題 為什麼會有一個 Youtube的符號跑出來 真有趣 再來 怎麼按的 來看那個第15題 15題它是一個那個敘述題啊 就敘述它是非題對跟錯 正確的會有誰 它有四個選項 那我們一起來看一下那個 第一個假選項它說 我先把它擦掉好了 講第三次囉 來我們看那個 第15題喔 它的描述裡面正確的會有誰 15題的第一個假選項 它是說 如果呢如果 A等於B的次方 那則是A是B的平方根 如果A等於B的次方的話 應該是說 B是A的平方根為什麼這樣說 因為你 平方之後變成A嘛 所以說 A的 A是誰的平方 叫B的平方 那麼這個時候B就是所謂A的平方根 平方根是說 平方的解 就是 它 平方根是說 這個東西平方變成它平方根 所以 如果照這樣解讀的話變成說 B會是A的平方根 所以B平方會等於A 這樣清楚嗎 所以那個假的話是不對的 如果你認為那個是A是B的平方根的話 那變成說A平方等於B 那跟題目的意思會不一樣 好看以的這個所以假不對 以的這個喔 A為正數 那A的平方根呢就所謂的正負根號A 沒有錯 如果A本身是個正數的話 問你A的平方根 你要開根號還要怎麼樣 還要加正負對不對要加正負啊 所以 他寫正負根號A是對的正確 好再來秉的這一個 這個對喔 秉的這個 0的平方根為0 0有平方根嗎 有 0的平方根就是正負根號0 那答案正負0正負0就0 所以有的所以沒有錯 0的平方根是0 好再來丁 他說 所有 正數開根號的值都會變小 也未必有 譬如說1就沒有啦 1開根號怎麼樣 還是1啊 所以相等 沒有變小 他是正數嘛 所以這個不不成立喔 所以 呃 答案錯的就是 啊不他要選正確的 他要選1丙 好看那個第16題 16題的話呢 這題也不錯耶16題 他說x是整數 然後呢 50小於等於x小於等於100 要寫出能使這開根號 成為 整數的 所有x的值喔 呦好吧 看一下好了 欸題目呢 第16題喔 他的x的範圍 他是50小於等於x小於等於100 x最大值是100 最小是50 然後呢我們要希望呢 根號的x減79 會成為整數 會成為整數的所有的值 成為整數就開根號開的出來對不對 那我想的喔 如果是100帶進來呢 最大不就100 我們先試算一下 如果是100帶進來好了 100減掉x的100 那100帶進來之後是100減79 21 問題是開根號21開不出來 對 根號21開不出來 那他想的啊 那根號21以下的呢 好那我剛剛講那個就是說那個 他的x的範圍在50到100之間 然後這開根號開出來呢 題目要求說 他要成為整數 會變成整數 那要成為整數的話呢 我還想的啊 他的最大值不就100 如果100帶進來之後 減79變21 那再來還有誰可以帶 還有99可以帶 如果99減79呢 那就變20 有沒有發現我們的值是越排越小 最後到哪邊 最後到0對不對 所以變成說 你要找一個比根號21小的數 他說找出x所有的值喔來 所以比根號21小的數 還開的出來的會有誰 所以要找什麼 要找完全平方數 比如說像哪些呢 比根號21小的 比如說像是根號 根號16 4是16嗎 還有誰 339 還有根號9 還有誰呢 還有根號 22次方 224 還有呢還有根號1 還有誰 還有根號0 是不是 我看哪些答案符合 因為不是全部都對啦 所以再試一下 好再來 這邊列出來之後呢 開始找了喔 比如說 x減79 可以等於哪些答案 可以等於16 9 4 1 0 對不對 那s要大於50 所以我們都寫 a減79等於16 符合嗎 好 a減79 會等於9 不符合 s減掉79 會等於4 a減79 會等於 1 a減掉79 會等於0 加s的減 分別是多少 這麼多個 好來 s的減呢 第一個 79一過來加79 那16加79 就是95 對不對 所以s答案是95 可不可以 可以啊 比100小 大於50 一過來加9 加79 加79變什麼 變成 88 可以喔 加79 變83 也可以喔 一過來加79 變80 可以 一過來加79 就79 所以答案會有這些 1 2 3 4 5 都符合 所以s答案分別是 79 80 83 88 95 都會讓這開根號 變成整數 好 16題我們這樣做 好 這樣ok嗎 這裡 42頁來 42頁這邊的 歷屆試題的第一題 他說 這裡面的等式呢 哪一個是成立的 好來 這個是送分題 比如說 根號2 的二次方 等於2嗎 B選項 那 根號3 的三次方 等於3嗎 C選項 根號4的四次方 等於4 還有一個 豬選項 根號5 的五次方 等於5 好 這裡面答案呢 哪個正確 那這個擺明就送分了嘛 不是嗎 來 根號2的二次方是2嗎 當然是啊 我們說二次方 開根號什麼意思 它次方乘二分之一 這個次方乘二分之一 二乘二分之一 不就一次方 那就ok啦 這開根號之後 如果真的要開 會變這樣子 二分之三次方 因為次方都除了 這開出來之後 變什麼結果 是要去除以二次方 這開出來呢 二分之五 可是我們現在 目前國中 沒有學到分數的次方 所以這個兩個答案都不對 包含這也不對啊 一開出來 應該是二次方 所以只有A對 好 這是第一題 很快的把它秒掉了 好 看那個第二題 第二題是說 有一個正方形 它的面積為 20平方公分 它的周長是X 那X的值 會介於哪兩個 整數之間呢 誒 這裡有意思啦 其實這裡 它 它的出題的目的 是要使用 十分逼近法 還記得嗎 十分逼近法 再來第二題 它說正方形 的面積 是20 它的周長 這個正方形的周長 是X 那X的範圍 會介於哪兩個 連續的整數之間 哪兩個整數之間 來 那我們怎麼做呢 當然是要先求它的邊長 那你看喔 誰的平方是20 開根號嘛 所以它的邊長多少 叫根號20 可是我們的周長呢 找到周長 根號20 四個加起來 四個根號20 所以 它的周長就叫做 四根號20 所以S會等於這個 X會等於 四根號20 到底什麼鬼啊 怎麼整理它 我們這樣做 把它變成根號 這個4就不要了 變成根號多少 那這要怎麼把它 變成根號多少呢 我們要這樣做 開根號呢是說 這4為什麼開得出來 它平方之後跑出來 變成4嘛 所以你要把這個4 給塞進來的時候 要加平方變回去 所以它變成的是 根號裡面呢 20 再去乘上 4的二次方 至於為什麼要這樣寫 你就這樣想喔 我們開根號是說 它要出來的話 要經過這個次方乘二分之一 所以你這個跑出來 變成4 所以你看嘛 這個二次方除二 變成4的一次方 會寫到前面去 那你要把它塞回來的話 就要平方之後乘後面去啦 所以要20乘以4的二次方 會變多少呢 整理一下 根號的 4是16嘛 16乘20 320 我們使用十分逼近法 會想說 它會介於哪兩個 連續的平方數之間 320喔 會介於哪兩個 平方數之間 就是誰的平方 誰的平方 二次方 還有誰的平方 二次方 會卡在這個數 就是這根號320的一個 近似值大約多少 好 那 剛纔想的喔 我們有去 上午叫我們背那個 11平方開始背 想不想背啊 11平方121 12平方144 13平方169 14平方是196 15平方225 16平方256 11平方289 18平方324 有沒有 18平方是324 超過了 17平方多少 289 對不對 所以是小於它 答案這兩個之間 所以那個是要背的 答案在17跟18之間 所以選的是 B 這是那個 歷階題目 所以我之前有講 那個要背的 有沒有背起來 如果沒有背 再記得 要把它背下來 從11開始的平方數 到19的平方 18平方324 19平方多少 361 這要背得很快 這不能思考 這要先背下來 有背就贏了 沒有背 你就在那邊沉半天 就很累 這是第二題 好我們看那個第三題 歷階第三題 好第三題的話呢 下面來一個等式 會不成立 又來了 這題目 這種類型題目 它百考不厭 根號3 8次方 等於3的4次 你認為正確嗎 如果不對的話是為什麼 根號的 -5的6次方 開根號出來之後 變-5的3次方 它說哪個不成立 我們把錯的挑出來 那根號的 3的4次 乘以5的10次 會變成 3的2次 乘5的5次 你認為這樣OK嗎 好來做選項 根號 -4 的4次方 去乘上-5 的8次方 開出來之後 變-3的2次方 乘上-5的4次方 好這哪個不成立 來 第一個 我們開根號 開出來的數 它絕對不會是負數 因為根號 最小最小誰啊 根號0 就0對不對 根號1還1喔 那根號2多少 1.14 1421很多 後面就無窮無盡了 那根號裡面不能放負1啊 所以根號值最小是0 那整數的話 如果不要0就是1 所以根號出來最小是0 這絕對是很像 最好就是0的意思 所以你看這個A選項 開根號之後呢 它的8直接除2變44可不可以 當然可以喔 再來這個B選項 開根號是次方除2沒錯 可是你除2之後呢 變3次 這個會導致 這個3次方乘出來變什麼 負的 負的會怎麼樣 會小於0 可是我們根號最小最好是0 不能比0小 所以B就錯了 那錯哪邊呢 錯在這邊 不能是寫-5的3次方 你要寫正5的3次方 為什麼要寫正5的3次方 因為這個偶數次 會變成正的 所以這相當於是5的6次方 所以開出來是5的3次方纔對 所以B這樣寫不對 好再來C好了 C這樣可不可以啊 當然可以啊 這兩個次方都除2 所以2次跟5次 再來豬選項 這兩個次方都除2 除2之後變2次跟4次 可不可以 可以 雖然他這樣寫喔 可是你看喔 這個乘出來答案正的吧 因為是偶數次啊 變正 偶數次變正 所以一樣都正的 這個沒問題 所以只有B有問題 所以答案選B 這樣B不對 B回不成立 好我們看那個 第四題 第四題有點像是考十分逼近法 給一些參考的數字 然後去判斷一下 他的根號的近似值 來我們看那個 好第四題的話呢 他這邊是有點類似像是 求十分逼近法的概念 來出題的 他說9.97的2次方 會等於99.4009 所以他不用里程喔 這題目給的已知喔 99. 寫錯了 99. 4 009 然後再來是 9.98的2次方 會等於99. 6004 再來是 9.99的2次方 會等於99. 8001 這都已知喔 然後說求根號 的 997 000 之值喔 他這個值喔 他的個位數 好這 9997000呢 他這個數字呢 是介於這個之間 對 99 997000 這是996004 998001 997000 他介於這之間 可是這個不對啊 這99.6004 他不是996004 所以必須要給他乘以萬 要乘以萬這裡要乘以萬 這兩邊乘以萬 左邊要不要乘以萬 他要乘以萬 可是這個乘以萬的時候 不能直接乘以萬 他要乘以百纔可以 因為他要經過二次方的 所以一萬開根號變什麼 變一百 所以等於是9.98 換句話說這個東西啊 他是998的二次方 會變成996004 然後這個呢 999的二次方 會等於多少 998001 所以這個997000 他就卡在這兩個之間 那我同時開根號之後呢 怎麼開 一起開啊 這開根號 開下去了 這要不要開 這也要開根號 所以開根號之後呢 這個數值就卡在 998跟999之間 所以要問各位數字 答案就是8 這樣講比較順啦 好看那個第五題 來第五題 第五題是數線的題目 他問你說那個 11減掉二根號39 他最接近什麼數字 那這題還是要使用到那個 十分逼近法 好我們看那個第五題 第五題的話呢 他題目是說 有ABCD四個點 然後途中各點的位置呢 判斷一下 哪一點所表示的數 事實上這個要怎麼做 這個要去做那個 二根號39的十分逼近法 至少逼到小數第一位 看他答案大概多少 所以我們現在要處理這個是 二根號39 他的範圍怎麼找 那他會變成什麼東西呢 我們剛剛有說過 你要把前面這個數字啊 要塞進來要加二次方 所以他等於根號的39 乘上二的二次方 二的二次不就是 所以39去乘以4 變根號多少 39去乘以4 就49 36 進156 變根號的156 那根號156呢 我們再去找他的 近似值大約多少 近似值大約多少來 根號156 156開根號 他會介於哪兩個平方數之間 我們說12平方是144嘛 對不對 12平方是144 12平方跟13平方之間 所以12點多 12點多少呢 12點多少 那就取近似值就好了 不然就看他 跟12.5做比較 12.5的平方乘出來 跟他做比較 看誰比較大 12.5去乘12.5 552 15 進2 520 12 625 乘2的話是 250 乘1的話是125 然後全部加起來 552 16進1 51 156 156 點25 所以這是156 點25 他會大於156 對不對 代表說那個開根號之後呢 這個值會比較小 比他還要小 他沒辦法進位 所以大概12.4左右好了 我們大概取12.4 變成說這個近似值啊 他不會到12.5嘛 12.5就是156.25 他沒有這麼多 他只有156 所以你開根號之後呢 就12.4多 所以根號156 的值啊 大約12.4 所以呢 用11扣掉他 所以11減掉12.4 大約多少 相減 12.4減掉11 變成負的1.4 所以我們找那個座標 他在負1.4附近的 負1.4附近的是哪一個 負1.4的 負1.4附近的 只有一個答案啊 答案只有B啊 所以答案選的是B 這樣找就很精確了 這是第五題 這樣有沒有問題 好那剩下的話 我們就禮拜三 再來處理他 所以目前講到的是 那個歷屆實體的第五題 好那我們今天燒這裡了 拜拜