Mathe RÄTSEL Geometrie – Wie groß ist der Radius?

hallo ihr Lieben heute habe ich euch dieses Rätsel mitgebracht bei dem wir den Radius des gegebenen viertelkreises berechnen sollen der Viertelkreis ist hier schön eingezeichnet zusätzlich bekommen wir noch die Angabe dass dieses Stück was hier so senkrecht drauf steht die Länge un hat das Stück was wiederum senkreicht auf dieser Strecke hier steht hat die Länge 16 und das letzte Stück hier unten die Länge 12 das sind alle Angaben die wir bekommen damit könnt ihr gerne mal ein bisschen rumprobieren wie ihr hier vorgehen würdet ich zeige euch jetzt mal einen Weg wie man hier rangehen kann und zwar ist der Radius ja auch schon eingezeichnet den wir herausfinden sollen immer vom Mittelpunkt zum Kreisrand der befindet sich immer hier unten genauso hier vom Mittelpunkt zum Kreisrand aber wir können auch immer vom Mittelpunkt zum Kreisrand an jeder beliebigen Stelle gehen und da würde ich euch immer empfehlen wenn da so signifikante Stellen eingezeichnet sind würde ich immer den Rad mal einzeichnen zu dieser Stelle das funktioniert dann meistens gut dass man da z.B wie hier ein rechtwinkliges Dreieck erschaffen kann aber nicht nur hier an der Stelle sondern auch hier trifft das ganze ja auch den Kreisrand und deswegen würde ich auch da vom Mittelpunkt zum Kreisrand einfach mal den Radius einzeichnen okay jetzt müssen wir mal schauen von unserem Dreieck hier was haben wir davon denn gegeben wenn wir das mal einzeichnen wir kennen die Seite hier die ist neun lang diese Seite hier ist unser gesuchter Radius ist eh lang wie sieht's mit der dritten Seite von unserem Dreieck aus zu der wissen wir nicht viel wir können sie aber unterteilen denn von hier bis hier wenn wir hier mal so eine Hilfslinie einzeichnen die hier auch so senkrecht drauf steht ist das Ganze also dieses Stück ist ja 16 lang das heißt dieses Stück ist damit auch 16 lang und dann können wir das unterteilen in den Teil den wir kennen von dieser Seite und die Länge von diesem Stück hier unten kennen wir nicht dann können wir die einfach mal x nennen die ist noch unbekannt aber von dieser gestrichelten Linie die jetzt ein bisschen schlecht gezeichnet ist weil die hier so unten drunter liegt aber die soll hier schön mit der 12 Anschließen von der gestrichelten Linie wissen wir dass sie neun lang ist und dann können wir das hier unten mal einzeichnen und dann haben wir nicht nur dieses Dreieck hier gebastelt mit unserem Radius sondern wir haben ja auch hier den Radius eingezeichnet und haben dann auch hier ein kleineres rechtwinkliges Dreieck von dem wir okay die Seite hier nicht kennen aber von der Seite wissen wir dass sie 9 + 12 lang ist also 21 und das Stück okay können wir auch nicht das heißt x aber wir haben zwei Dreiecke und zwei Unbekannte wir haben sogar zwei rechtwinklige Dreiecke und auf die können wir einfach mal den Satz des Pythagoras draufhauen starten wir mal mit diesem Dreieck hier ein rechtwinkliges Dreieck da ist unser rechter Winkel das heißt gegenüber die Seite das da ist die Hypotenuse Pythagoras sagt nimm die eine Kathete und quadriere sie also X + 16 und quadriere das Plus die andere Kathete zum Quadrat also 9 zum Quadrat ist dann die Hypotenuse zum Quadrat also in unserem Fall R Quadrat das ist Pythagoras an dem ersten Dreieck hier und dann machen wir Pythagoras noch an unserem zweiten Dreieck da haben wir hier den rechten Winkel das heißt gegenüber dann ist das hier die Hypotenuse also auch wieder R und Pythagoras sagt nimm die eine Kathete und quadriere sie also x zum Quadrat plus die andere die hier 9 + 12 also 21 lang ist und das ganze ist dann die Hypotenuse zum Quadrat also R Quadrat wir haben ein Gleichungssystem zwei Gleichung zwei Unbekannte das können wir doch lösen und zwar vielleicht rechnen wir erstmal die Zahlen hier aus 9 hoch 2 also 9 x 9 sind 81 und 21 x 21 kann man dann auch mit Taschenrechner ausrechnen sind 441 ansten ist unser Gleichungssystem sehr lieb zu uns denn seht ihr auf der rechten Seite hier steht jeweils R hoch 2 also auf der rechten Seite steht dasselbe das bedeutet dass wir hier das gleichsetzungsverfahren anwenden können denn dann muss automatisch diese Seite genauso groß sein wie das was hier steht weil ja beides jeweils R hoch 2 groß ist und die schnappen wir uns einfach die zieh ich auch einfach jetzt mal hier runter dann muss ich nicht abschreiben also das hier muss genauso groß sein wie das hier und damit haben wir eine Gleichung in der nur noch x vorkommt und diese Gleichung können man nach X umstellen indem wir vielleicht zuerst mal die Klammer hier auflösen da können wir die erste binomische Formel für verwenden wir schreiben die mal ganz kurz noch mal auf damit wir noch mal wissen wie sie geht A + B in Klammer hoch 2 ist a hoch 2 + 2 x A* B + B hoch 2 und das verwenden wir jetzt um hier die l aufzulösen das heißt x wird quadriert Plus und jetzt kommt dieser Zwischenteil den man gerne vergisst 2 x a mal B also 2 x x* 16 Plus und dann wird die Zahl hinten quadriert also 16 zum Quadrat die + 81 hier nicht vergessen und dann kommen wir schon zur rechten Seite aber das sieht eigentlich gut aus da machen wir erstmal noch nichts das lassen wir mal so stehen auf der linken Seite können wir aber ein bisschen was vereinfachen 2 x x x 16 also 2 x 16 sind 32 und das X hinten dran um den Teil hier mal ein bisschen schöner hinzuschreiben 16 x 16 können wir ausrechnen das sind 256 wenn wir das mit der 81 noch zusammenrechnen kommen wir auf 337 und dann sehen wir dass auf beiden Seiten x²rat vorkommt wenn wir also - x² rechnen hebt sich das x²r auf beiden Seiten raus also nur dieser Teil mit X plus die Zahl bleibt links übrig und rechts tatsächlich nur die Zahl okay eine einfache Gleichung da ist unser x wir lösen weiter auf wir bringen die Zahl nach rechts indem wir -337 rechnen dann stehen die 32x alleine da und 441- das ergeben 104 um letztendlich nach X aufzulösen teilen wir noch durch die 32 damit das X wirklich alleine steht und als Lösung 104 ge 32 ergibt sich ein Bruch von 13 vi4 wir haben unser x gefunden aber das war letztendlich gar nicht gesucht x war ja nur dieses kleine Stück was wir nicht kannten gesucht war eigentlich der Radius aber das macht nichts x hilft uns s auf jeden Fall um den Radius letztendlich berechnen zu können denn wir haben hier eine Gleichung in der der Radius vorkommt und auch das X vorkommt das heißt für dieses x können wir einfach unser gefundenes x einsetzen und den Radius berechnen also R hoch 2 ist nichts anderes als x zum Quadrat also 134 zum Quadrat was wir gerade gefunden haben und dann noch die ein die 41 40 hinten dran wenn wir die rechte Seite ausrechnen einfach in Taschenrechner rein kommen wir auf einen Bruch von 72251 wunderschöne Zahl aber das ist noch nicht unser R denn das Quadrat muss noch verschwinden aber es ist ja eine Gleichung wir können einfach auf beiden Seiten die Wurzel ziehen dann erhalten wir für unseren Radius einen Wert von Wurzel von diesem Bruch das ergibt dann 85/ vi aber mathematisch gesehen sobald wir die Wurzel bei einer Gleichung ziehen erhalten wir auch noch eine zweite negative Lösung wir schreiben die einfach nur hin aber negativer Radius macht in unserem Fall ja keinen Sinn deswegen nur die 85/44 das ist unser Radius wenn ihr möchtet könnt ihr das dann noch als Kommazahl hinschreiben 21,25 ergibt das und damit haben wir die Aufgabe gelöst dann hoffe ich dass euch Spaß gemacht hat like das Video gerne und wir sehen uns beim nächsten Mal macht's gut