LOGARITHME - CALCULER DES FONCTIONS DÉRIVÉES

l'objectif ici est de devenir très solide sur dérivée des fonctions logarithme allez viens avec moi calculer F prime x des fonctions dérivées tu fais depuis un petit moment la nouveauté ici c'est qu'on va te glisser ln mais les autres propriétés restent vrai en fait donc tu as deux cas de figure soit tu as ln x pur soit tu as ln de U avec U en fait une expression quand dans le ln tu as autre chose que X et ce sont deux formules différentes est-ce que tu connais la première c'est quoi la dérivée de ln x bah c'est 1/ x j'espère que tu l'as créé très fort derrière ton écran et la dérivée de L de U bah là c'est u prime en fait tu dérives ce qu'il y a dans le ln u prime sur u voilà ça c'est les deux formules qu'il fallait connaître plus toutes celle d'avant donc c'est parti on va dériver ces trois fonctions là un petit point de situation très important en fait tu sais que pour avoir le droit d'entrer dans ln il faut être strictement positif c'est pour ça pour les deux premières en fait l'ensemble de définition et donc de dérivabilité ici c'est 0+ infini exclu parce que dans le ln il y a x ça c'était numéro 1 mais ici pourquoi j'ai mis R parce quee ce qu'il y a dans le ln x² + 1 qu'est-ce que tu peux me dire de x² bah c'est un carré donc toujours positif et si tu fais + 1 bah il est encore plus positif ah ouais donc dans tous les cas quoi qu'il arrive ce qu'il y a dans le ln c'est toujours plus donc je peux donner n'importe quelle valeur de x donc défini sur R parce que j'espère que tu sais que l'ensemble de définition c'est un des points un peu clés des fonctions logarithme donc cette parenthèse était importante ok on dérive F comment est-ce qu'on va s'y prendre bah le plus important avant de dériver c'est se demander C quelle forme c'est de quelle formme ici bah c'est une somme tu as 2 ln X et tu as X en fait à chaque fois je t'ai glissé des petits trucs pour te faire des rappels de F prime et le premier rappel c'est en fait quand tu as un nombre qui fait fois est-ce que tu sais ce qui se passe quand un nombre multiplie qu'est-ce qui se passe quand on dérive et ben il reste quand un nombre multiplie il reste quand on dérive donc ce 2 qui multiplié il reste il y a plus qu'à dériver ln x c'est quoi la dérivée de ln X est juste là c'est 1/ x donc ça fait 2 X 1/ X et ensuite la dérivée de X c'est -1 ok donc ça c'est pas très joli 2 X 1/ X il s'écrit 2/ X et là même si on te le demande pas qu'est-ce que tu fais tu laisses pas comme ça c'est pas très joli parce que généralement on veut quoi de f'e X pourquoi on calcule F prime x la dérivée parce qu'en fait on cherche les variations de la fonction et en fait le signe de F Prim x me donne les variation de la fonction donc pour le signe de F Prim sa généralement tu sais il faut la compacter au maximum faut que tu a une forme compacte quelque part et là forme compacte ça veut dire quoi bah ça veut dire qu'il faut mettre au même dénominateur comme ça tu as qu'un seul bloc c'est plus simple pour trouver le signe donc tu là en fait en théorie tu laisses pas comme ça je répète même si on te le demande pas tu mets au même dénominateur et qu'est-ce que ça donne donc si tout le monde est sur X et ça donne 2 - X sur X bien plus joli et pour en trouver le SIG c'est beaucoup plus simple tu en conviendras et voilà on a calculé F Prim x maintenant on faire g et toujours la même chanson c'est quoi le plus important avant de dériver c'est se demander c'est de quelle forme c'est de quelle forme donc ok il y a un + 7 qui traî mais c'est pas ça le plus important tu as X à de X attention te fais pas voir c'est de quelle forme bah c'est un produit c'est u x V et c'est quoi la dérivée de U x V ben c'est u Prim V + UV prime donc tuis ne confonds pas quand tu as un nombre il est spectateur il reste mais quand c'est x bah c'est pas une constante c'est pas un nombre donc ça change de forme donc ici c'était u x V et je suis vraiment très gentil je t'ai même mis le dé tail de U et V comme c'est la première j'ai pris mon temps donc u c'était X et V c'est ln x on a bien u x V la dérivée de X c'est 1 et la dérivée de ln x c'est 1/ X et une fois que tu as ça regarde tu as juste à vraiment remplacer dans les cases on me dit c'est u prime x V donc 1 x ln x + u x v'e + X X v'1/ X voilà l'intérêt d'avoir écrit U et V c'est que voilà comme je t'ai dit on met dans les cases et on a très rapidement la dérivée mais c'est pas très joli on laisse pas comme ça 1 x LNX bah ça fait ln X et X X 1/ X dis-moi que tu vois directement dis-moi que tu vois tout de suite bah je peux barrer les X tu vois x c'est comme X sur 1 je peux barrer les X donc il reste juste + 1 je vais me rendre compte que j'ai oublié quelque chose pardon tu l'as vu ou pas bah il y a un + 7 qui traînait quand même je l'ai rapidement dit mais je l'ai pas redit parce que justement je voulais faire la différence entre un nombre qui fait fois il reste mais un nombre qui fait plus ou moins sa dérivée c'est 0 donc en théorie i y a un + 0 parce que la dérivée de + 7 c'est 0 pardon donc voilà donc g prime de X = ln x + 1 et c'est terminé j'ai calculé g prime de X dérivons h à présent on va faire un tout petit effort de rédaction h est de quelle forme c'est de quelle forme bah c'est précisement ln deu bah oui il fallait bien qu'elle tombe h est de la forme ln de U avec U qui vaut quoi bah u c'est l'équipe qui a dans le ln dans le ln je t'ai dit il y avait x² + 1 donc u vaut ça que vaut u prime quand tu dérives x² + 1 qu'est-ce que tu obtiens bah tu obtiens 2x j'espère que ces petites dérivées tu coule dans tes veines tu les sors spontanément j'espère bah voilà regarde on va appliquer la formule la dérivée de LNU c'est u prime sur u j'ai u prime j'ai u donc va directement pour tout x appartenant à r virgule h'e X é= en haut je mets u prime et en bas je remets u tu vois voilà pas hyper compliqué tu vois tu connais ta formule c'est calculer les petites dérivées ça sort tout seul on a calculé h Prim x j'espère que dérivé de logarithme maintenant tu as tout compris en tout cas on le vérifie tout de suite parce que maintenant c'est à toi Jer je te mets un exercice où tu dois calculer des fonctions dérivées montre-moi que je sa bien expliqué je compte sur toi