VEKTOREN 12. Klasse – Grundlagen

hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Aufgabe mitgebracht die die Grundlagen der Vektorrechnung behandelt schauen wir uns das ganze mal gemeinsam an zeige rechnerisch Teil A der Punkt P liegt auf der Geraden g um die anderen Teile kümmern wir uns gleich wir starten erstmal mit Teil A wir sollen also zeigen dass dieser Punkt P auf unserer geraden liegt und dazu müssen wir uns den Punkt einfach schnappen und in die Geradengleichung hier für dieses x einsetzen das heißt auf der linken Seite von dieser Gleichung steht einfach unser gegebener Punkt P den schreiben wir einfach auf die linke Seite und rechts schreiben wir die geradeng Gleichung genauso ab wie sie eben gegeben ist und dann übersetzen wir das ganze in ein Gleichungssystem denn wir können das ganze ja zeilenweise betrachten also hier die erste Zeile ist eine 3 auf der linken Seite und auf der rechten Seite hab wir 4 + S* -4 in der ersten Zeile also 4 + S* -4 -4* S ist dann einfach -4s zweite Zeile 1 auf der linken Seite ist= 0 + S* 4 also 0 können wir weglassen S* 4 sind 4S und in der dritten Zeile haben wir die 3 auf der linken Seite und rechts haben wir 4 + S mal 4 schon wieder also 4- 4S das ist ein Gleichungssystem das wir jetzt nur noch lösen müssen das habe ich jetzt mal noch mal auf die nächste Seite geschrieben und dadurch dass in jeder Zeile wirklich nur s als Unbekannte vorkommt lösen wir jede Zeile für sich einfach nach S auf also in der ersten Zeile würden wir mal die vi hier nach links bringen indem wir -4 rechnen dann haben wir 3 - 4 sind -1 rechts haben wir dann nur die -4s stehen zweite Zeile passt soweit von den Zahlen da können wir jetzt erstmal nichts zusammenfassen schreiben wir erstmal ab aber hier haben wir auch wieder die -4 die wir eben rüberbringen können 3 - 4 sind -1 und rechts stehen dann nur die -4s okay jetzt geht's weiter dass wir jede Gleichung einfach nach S auflösen also in der ersten Zeile teilen wir durch die -4 wenn wir das machen erhalten wir für unser s den Wert -1 ge-4 also dur 4 zu plus 1 ge 4 sind ein vierel dasselbe in der zweiten Zeile da müssen wir diesmal durch 4 Teilen dann erhalten wir für s einen Wert von 1 ge 4 sind 1 vi es sieht gut aus und in der letzten Zeile teilen wir wieder durch -4 haben wier -1 durch -4 sind dann auch für unser s ein vierel und dadurch dass für s jedes Mal derselbe Wert rauskommt bedeutet das für uns dass unser Punkt auf der Geraden liegt also Teil A haben wir geschafft kommen wir zu teil B die Gerade g verläuft nicht durch den Ursprung okay machen wir uns mal eine kleine Skitze unsere Gerade g soll nicht durch den Ursprung liegen laufen das heißt unser Punkt unser Ursprung muss außerhalb der Geraden liegen der Ursprung hat er die Koordinaten 0 00 und dann läuft diese Aufgabe wieder auf genau das von Teil A hinaus dass wir jetzt einfach testen oder zeigen dass dieser Punkt diesmal nicht auf der Geraden liegt aber die Vorgehensweise ist genau dieselbe wir schnappen uns unseren Punkt und setzen den erstmal hier für das x in der Geraden Gleichung ein wenn wir das gleichungs System direkt aufstellen so wie wir es eben gemacht haben dann haben wir in der ersten Zeile die 0 auf der linken Seite und rechts nehmen wir die ersten Koordinaten also 4 + S* -4 sind -4s zweite Gleichung auf der linken Seite haben wir wieder eine 0 rechts haben wir die zweiten Koordinaten also 0 + S mal 4 das sind nur 4S und die dritte Gleichung startet mit einer 0 und hier haben wir 4 + S mal -4 also 4 - 4S wir lösen dieses Gleichungssystem nach S auf das heißt in der ersten Gleichung bringen wir mal die 4 auf die linke Seite indem wir -4 rechnen 0 - 4 sind -4 und rechts sind die -4s alleine zweite Gleichung passt soweit erstmal schreiben wir nur ab und in der dritten Gleichung da rechnen wir wieder -4 dann haben wir 0 - 4 sind 4 und rechts stehen die -4s alleine wir lösen jede Gleichung noch mal nach S auf indem wir durch -4 hier teilen dann erhalten wir für unser s den Wert - 4 ge -4 1 zweite Gleichung hier teilen wir durch 4 und für s erhalten wir dann 0 ge 4 ist 0 wir könnten jetzt schon auch hören wir machen gerade noch die dritte Zeile trotzdem wir teilen hier noch mal durch -4 und erhalten für s den Wert -4 ge -4 von 1 was ist hier jetzt passiert wir haben unterschiedliche Werte für das S herausbekommen einmal ein einmal 0 damit wissen wir automatisch dass unser Punkt nicht auf unserer geraden liegt also der Ursprung liegt nicht auf der Geraden anders ausgedrückt unsere gerade läuft nicht durch den Ursprung Teil C die Ebene durch die Punkte q r und s ist parallel zu einer koordinatenebene okay was sollen wir jetzt zeigen es geht um eine Ebene durch die Punkte q r und s also zeichnen wir uns einfach mal eine Ebene hin und da drin liegen eben unsere Punkte Q unser Punkt R und unser Punkt s so jetzt soll diese Ebene durch diese drei Punkte parallel verlaufen zu einer koordinatenebene was ist eine koordinatenebene wenn wir uns die Koordinatenachsen einmal hernehmen die X1 aachse die x2achse und die X3 aachse dann gibt es jetzt hier verschiedene Koordinatenebenen z.B die x1 x2 Ebene ist die Ebene zwischen der x1 und x2 Achse sozusagen die davon aufgespannt wird das ist die Ebene hier auf dem Boden dann gibt es auch die X2 X3 Ebene das ist die Ebene hier an der Wand sozusagen und die X1 X3 Ebene wä die Ebene die hier so schräg nach vorne gerichtet ist also immer die von den einzelnen Achsen aufgespannt wird unsere Ebene soll jetzt also parallel zu einer dieser drei Ebenen verlaufen das sollen wir zeigen dann würde ich sagen lassen uns unsere Ebenengleichung einfach mal aufstellen bzw zumindest mal uns die Richtungsvektoren von unserer Ebene anschauen also indem wir die Verbindung zwischen Q und R berechnen also den Richtungsvektor QR bilden und dasselbe auch mit QS machen also hier den Richtungsvektor von Q nach S bilden das heißt QR wie würde man das berechnen dann nimmt man ja den hinteren weektor R und zieht davon den vorderen Vektor Q ab das bedeutet in unserem Fall für QR erhalten wir r- Q also 0- 4 sind -4 in der ersten Koordinate 0- 4 also -4 in der zweiten Koordinate und 4- 4 sind 0 das ist unser erster Richtungsvektor von unserer Ebene der zweite Richtung Vektor QS auch den bilden wir hier genau dasselbe wir nehmen den Vektor S und ziehen davon den Vektor Q ab damit wir den Richtungsvektor QS erhalten haben wir dann also 0 - 4 sind -4 4- 4 sind 0 und 4- 4 sind 0 das ist unser zweiter Richtungsvektor von unserer Ebene wie Inter itieren wir diese Ergebnisse denn jetzt vielleicht schauen uns erstmal an wie so eine Ebene aussehen würde die z.B parallel zur x1 x2 Ebene liegen würde die hätte ja hier drin ihre beiden Richtungsvektoren und da ist es so die dürfen nicht in die X3 Richtung zeigen ne dadurch dass die eben parallel verlaufen soll zum Boden dann zeigt weder dieser Richtungsvektor noch diese Richtungsvektor irgendwie in die X3 Richtung schauen wir uns das mal bei unseren Richtungsvektoren an wie es da aussieht -4 -4 0 -4 0 0 beide Richtungsvektoren zeigen nicht in die X3 Richtung der hier zeigt zwar auch nicht in die X2 Richtung aber dafür übernimmt der hier diese Richtung von daher beide haben eine 0 bei der X3 Koordinate das heißt beide zeigen nicht irgendwie hierhin damit liegt unsere Ebene parallel zum Boden und damit haben wir die Aufgabe gezeigt Teil D die Punktmenge die so aussieht stellt keine Ebene sondern eine gerade da das sollen wir zeigen und das ist doch eigentlich komisch denn es sieht doch aus wie eine Ebenengleichung oder wir haben hier einen Punkt dann haben wir hier ein Richtungsvektor hier haben wir noch einen zweiten Richtungsvektor passt doch eigentlich für eine Ebenengleichung was kann denn hier jetzt das Problem sein na ja es ist nur eine Ebenengleichung wenn diese beiden Richtungsvektoren linear unabhängig voneinander sind also wenn sie in unterschiedliche Richtungen zeigen dann kann man damit eine Ebene aufspannen aber falls Sie linear abhängig voneinander sein sollten also in dieselbe Richtung zeigen sollten oder eben in die genau entgegengesetzte Richtung dann haben wir nur eine Information für eine gerade dann reichen die Informationen nicht aus und wir können keine ebene aufspannen das heißt für uns wir sollen jetzt zeigen dass es keine Ebene ist also zeigen wir jetzt dass diese beiden Richtungsvektoren line abhängig voneinander sind das machen wir ja so indem man sich beide nimmt also den 4 4 - 1 Richtungsvektor und dann schaut man jetzt ob er ein Vielfaches von dem anderen Vektor ist ein Vielfaches hiervon können wir so schreiben als R mal diesen Vektor hier und jetzt stellen wir das zugehörige Gleichungssystem auf so wie eben auch erste Zeile 4 = R* 2 sind 2R zweite Zeile 4 = R* 2 S 2R dritte Zeile - 4 = R* -2 s -2r wir lösen jede zah nach R auf indem wir in der ersten Zeile durch 2 teilen dann bekommen wir für unser r einen Wert von 4 geeil durch 2 sind 2 in der zweiten Zeile genau dasselbe wir teilen durch 2 erhalten für R auch hier 4 dur 2 sind 2 und in der dritten Zeile müssen wir durch -2 teilen dann erhalten wir für unsere R ein Wert von -4 ge -2 ja sind auch 2 also für unser R kommt jeweils diese Elbe Zahl raus das bedeutet dass unsere beiden Vektoren linear abhängig sind damit in dieselbe Richtung zeigen und damit dieser Teil hier keine Ebenengleichung darstellt so dann hoffe ich dass ihr jetzt noch mal ordentlich in den Grundlagen der Vektorrechnung drin seid falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut